Mouvement résultant. — La composition du mouvement
relatif de l'étoile e sur sa conique, autour E, avec le mouvement
(Tentraînement de E ou de la sphère céleste, donne le mouvement
apparent ou résultant de l'étoile, tel qu'il est observé à l'équatorial.
df\ Lorsque '£ tend vers 0° ou 180°, -z- tend vers — 1 ou + 1. Si donc
dt
l'étoile E est très voisine d'un pôle, les mouvements relatif et d'entrainement \^ 1 et \^ 2 (fig. W et 4i) sont sensiblement circtdaires et uniformes, de même vitesse absolue, mais de sens contraires. Le mouvement résultant \^ 3 est de même sens que \^ 2, aussi sensiblement circulaire et uniforme autour de la position ajiparente p de P, position qui se construit en prenant sur le méridien de l'observateur l'arc Pp = Ro- Si E est au pôle même, les cercles \ 2, \ 3 se réduisent aux points P, /), et %^ 1 est un cercle décrit de P comme centre avec Rq pour rayon.
Ainsi la réfraction change tout : position de l'étoile, grandeur et
direction de la vitesse de son mouvement diurne. Au point m d'élun-
gation maxima, par rapport à P, du mouvement diurne apparent
d'une étoile voisine du pôle, la direction de ce mouvement est celle
du cercle horaire vrai Pm de ce point.
Désignons (fig. 39) par v la vitesse linéaire diurne résultante de e
sur la sphère céleste; par i l'angle, avec Ey, de la parallèle Et' à sa
direction, angle compté de Ey autour de E, comme t autour de P,
c'est-à-dire positivement dans le sens rétrograde. Les vitesses linéaires
relatives et d'entraînement de e, estimées suivant les axes Ex, Ey,
dx dy ^ . ,
étant respectivement —— et o, -— et sin U*, en prenant pour unité la d t d t
vitesse diurne vraie d'une étoile équatoriale, on a évidemment
. . dx . . ^ dy
t' sin r = —5 V cos t = sin ^ -\ — -- >
dt dt
d'où l'on tire les séries
V = sin ^ ^1 -^ . - a- + — a^ - ^^3-^ a* 4- ...^
tang i = — — coséc ^ (1 — ^ + h" — l'î^ + ^y — -..),
en posant
2 a = 2 coséc i? — ^ + coséc' dt
^ = coséc fi" -4ne
Reportons-nous un instant aux expressions (16), (17) de — ■> — • ^ ^ ^ ^ ' dt dt
Si coséc '2 n'est pas très grand et si, en outre, (cos t -f- cot J? cot ç)
n'est pas très petit, c'est-à-dire si l'étoile n'est ni une circompolaire
trop voisine du pôle, ni prise trop près de l'horizon par l'observateur,
a et |3 seront inférieurs à l'unité en valeur absolue, généralement de
l'ordre de K, pour tout lieu 0 habitable. Sous ces conditions, celles
mêmes de la i)ralique ordinaire, les séries précédentes sont applicables
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. l'25
et se réduisent, après suppression des petits termes, en K% K^, ..., à
^ ' dt
cl oc
(20) i=.làiv^i:= - coséc2-y-=:Ktang!pcoséclJ?cos''^séc-($— '|)sin(,
en posant
(21) tang <b = tang 9 cos f ; d'où résulte
cos^ <l) séc- (i£ — '^) = cot* 9 coséc* lî (cos f + cot 0 cot 'I)--.
L'angle d/ n'est pas autre chose que la projection sphérique de PZ ou ç sur le cercle horaire PE.
L'angle i a toujours le signe de sin t ou — sin t, suivant que l'observateur est ou non dans notre hémisphère boréal. Il s'annule lorsque l'étoile traverse le méridien. Il prend des valeurs égales et de signes contraires en môme temps que t. Lorsque l'étoile se lève ou se couche, (1 + tang ^ tang ç cos t) est nul et la formule (20) donnerait i =z 90°, si elle était encore applicable; ce qui n'a lieu évidemment qu'entre les limites de t correspondantes à z =: 0°, 80° ou ;: = 100°, 180°.
Il est facile de discuter l'angle i en calculant ses dérivées partielles di di dt^ d'i'
. di ^ ,
1° -— • — On trouve aisément dt
di
(22)— = Kcot£pcoséc'$(cost+cotSi?cot9)-='(2+coti^cot2;cosf— cos^O-
di
Cette expression de -- ne devient infinie que pour le passage de
l'étoila par l'horizon, passage qu'il faut écarter; et elle ne s'annule que pour les valeurs de t qui vérifient Féquation
(23) cos- t — cot 'I cot ç cos t — 2 = 0.
Celte équation est toujours satisfaite par deux valeurs réelles cos ^, ,
cos tj de cos t, l'une négative, l'autre positive, .séparables par les substitutions dont voici le Tableau :
cos t.
(si (i) <: — i) 0) — 2 »-^
(si (i) > 1)
dans lequel m est la valeur du premier membre de (23) pour la valeur correspondante de cos t et w = cot 5 cot ^i'. Le signe »-* indique les intervalles où tombent les racines cos t^, cos t^ pour les trois liypotbèses w^ <; 1^ w -< — 1, o) :^* 1.
Pour 0)- -< i, c'est-à-dire pour les étoiles qui se lèvent et se couchent, fj et t^ sont imaginaires. L'angle i n'a ni maximum ni minimum; il croit ou décroît constamment du levei' au coucher et décroît ou croît constamment du coucher au lever, suivant que l'observateur est boréal ou austral.
Pour 0) <; — 1, c'est-à-dire pour les circompolaires toujours invisibles, f, est imaginaire, et t, a deux valeurs réelles, l'une — t,
entre — ^et 0" correspondante à un minimum ou maximum de i,
l'autre + t, correspondante à un maximum ou minimum, suivant que l'observateur est boréal ou austral.
Pour co >> 1, c'est-à-dire pour les circompolaires toujours visibles, tj est imaginaire, et t^ a deux valeurs réelles, l'une — -^ entre — r.
et — ^-^correspondante à un minimum ou maximum, l'autre + Tj
correspondante à un maximum ou minimum, suivant que l'observateur est boréal ou austral.
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. [21
di 2'^ —-;• — On met aisément cette dérivée sous la forme
di
(24) ;r^ = ^^ (^'ot ? cot if)- . coséc^ ^ sin t . yr^ p,
Cl j^
en posant
(25) a =r ces t + cot o cot ^,
(26) p = 2 tang- ^ — 3 tang © tang ^ cos t — 1.
Le signe de -^ ne change qu'avec celui de a~^ 13, lorsque, t et 5
étant fixes, $ varie de 0 à •;: en passant par la valeur p qui annule a; c'est-à-dire lorsqu'on imagine l'étoile E aller du pôle boréal au pôle austral en décrivant le cercle horaire et traversant Thorizon définis respectivement par f et ç.
Si l'on donne à ^ les valeurs 0, 'p^ z, on obtient pour [3 les valeurs
— 1, 2 séc' p^ — 1. L'équation ^ r= 0 a donc deux racines réelles comprises entre 0 et z et séparées par p. Désignons la plus petite par 2'j et la plus grande par ^,.
L'étoile allant du pôle boréal à l'horizon ou SÎ* de 0" à p^ le signe
de a reste celui de cot ^, tandis que le signe de [3 passe du négatif au
di positif lorsque ÎJ? passe par ^j. Le signe de —^ est donc celui de
— cot 3 sin i ou de H- col s sin f, suivant que $ est entre 0 et '^^ ou entre iîi et />. Autrement dit, pour y? = ii'j, l'angle i passe pai' un maximum ou un minimum suivant que cot s sin i est négatif ou positif.
L'étoile allant de l'horizon au pôle austral ou :i' de p à ISO", le signe de a reste celui de — cot 5, tandis que le signe de (3 passe du positif au négatif lorsque iT passe par Sf^. Pour îl^S?, , l'angle i passe donc encore par un maximum ou un minimum, suivant que cot 9 sin t est négatif ou positif.
6. La Table I, aux arguments t et ^J?, construite pour la colatltiide de l'observatoire de Besançon, 9 = 42° 46', pei'met de vérifier numé-
di di
riquement les résultats de la discussion des dérivées y ' —,-
i'28 LIVRE III. — LA TEI'.RE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
Table I.
L'angle i doit être pris avec le signe de t. Il est donné en secondes d'arc.
