CHAPITRE III

Mouvement diurne de trois étoiles au moins.

Calculer les coordonnées cquatoriales «, p d\i pôle A et le rayon spJiérique p du petit cercle passant par les positions E (,ii, f£), E' {A' , T), E" {A", •£") de trois étoiles données.

Solution : 1° Les trianyles spliériques PAE, PXE' ,PkE'' (fig. 53) formés respectivement par chaque étoile avec le pôle P de la sphère céleste et le pôle A du petit cercle, donnent les relations immédiates

cos p = cos l£ cos j) 4- sin ^ sin p cos {A, — a), cos p = cos '£' cos j) -h sin i£' sin ]) cos (,4>' — a), ' cos p = cos ^l'V'os p + sin ii"'sin p cos (,{/' — a),

on bien,

' x cos 'I + y sin 2" cos Ai + c sin $ sin A, = 1,

(1) / X cos 'I' + ?/ sin 'I' cos .|/ + z sin IJ?' sin .1,' = 1, ( X- cos T ^- ;/ sin ^"cos ,1," + : sin Tsin ,1" = i,

en posant

(2) cc = cos p.séc p, y =:sin7J cos a séc p, :: = sinp sin a sécp,

la résolution par logarithmes des équations (1) donne aisément X, y, z, et on tire des équations (2), pour le calcul de p, a, p, les

formules

tg a = - •

° X cos a X sln a

cos p sin p cos a sin p sin a

CU.T) p

* or» -Il '^

Entre 0 et 2-, la formule (3) donne pour a deux valeurs «' = a, a" = a + •::. Les valeurs correspondantes de p entre 0 et z, données par les formules (4) sont de la forme p' = ^, p" =1 - — îî. Celles de p fournies par les formules (5) entre 0 et :: et correspondantes aux systèmes a', p' , a", p" sont également supplémentaires p' = y, ç," = z — ";'. Le problème admet donc les deux solutions

qui répondent aux deux pôles diamétralement opposés A', A" du petit cercle.

REMARQUES

1° La détermination du rayon d'un micromètre circulaire se fait à l'aide de n équations analogues à {\) où (A — a) est la demie durée du passage de l'étoile dans ce micromètre. «

2° Au lieu de résoudre les équations (1) par logarithmes, on peut avoir immédiatement le résultat à l'aine des formules de Cramer. En posant

sin $'sin ^'sin LV — X!) = A, sin fP'sin y? sin (A- — d.") = B, sin -ï sin ;j?' sin (,{.' — .l> ) = C,

sin ^ (cos ;i' — cos T) = a, sin T (cos <!"— cos y? ) = ^^ sin l£'(cos '£ — cos T) = y.

On a

A cos 'i + B cos 'I' + C cos T

a sin ,1, + (5 sin .h' + ysin Ar

A cos i£ + B cos ^' + G cos <£" '

^ a cos Ji 4- 3 cos ,1/ -h Y cos J{,''

^ —~ A cos :X + B cos 'l'- + G cos f '

Dans le calcul pratique, il convient de poser

A + B + C= L, d ou x= + -->

a sin Al + t^ sin J/ 4- y sin .h' = M, M

a cos ,h -H (3 cos .1/ + Y cos A" =■ — N,

N A cos JJ + B cos 'I' -h G cos U^" r= p. ^ = + p '

et les inconnues a, p, p seront données par les formules très simples

tg p =: ±

cos s = ±

Corollaire.

A quelle heure sidérale 6 trois étoiles données E (A), ^), E' (^Is', f '), E" (^^", f ) sont-elles vues, d'un lieu de colatitude 9, sous la même distance zénithale ?

Solution : Le problème n'est possible que si l'un des pôles A' , A' du petit cercle déterminé, sur la sphère céleste, par les trois étoiles, passe au zénith du lieu, c'est-à-dire que si, 9 étant compté de 0 à 180° du pôle nord au pôle sud de la sphère, on a

(1) tg^ ?

relation où p, x, y, z ont le même sens que dans l'exercice précédent.

Suivant que l'on aura

o =12^' ou ç = j/, l'heure sidérale cherchée sera

6 =z a' ou 0 = «", a', a" se calculant comme il vient d'être dit.

On a mesuré les distances angulaires c', B", o", ... d'une étoile inconnue E (^, ^) aux étoiles co7imies E' (,{,', :X'), E" (A/, ^''), E" {X", $'"), ■•• Calculer les coordonnées équatoHales Ai, ^ de la première.

Solution : 1° Les divers triangles formés par le pôle P de la sphère céleste ffig. 54), l'étoile inconnue E et chacune des étoiles données E', E', E'", ... donnent immédiatement les relations

cos o' = cos '£ cos •!' + sin '£ sin ^' cos (.-b' — A>), cos S" = cos se cos ^' + sin 'I sin ^ cos (M — J{y), cos S'" = cos se cos T + sin ^ sin T cos (,IV" — A-.),

bien

! cos B' = a; cos '£' + // sin y?' cos ,!>' + z sin S?' sin AV, cos B" = X cos i£" 4- y sin sS" cos A/' + z sin l£' sin Jh",

(^) i cos B'" = X cos 2"" + y sin iî'" cos .1,'" + z sin SE'" sin Jb'

en posant

(2) X — cos li?, 1/ = sin if cos A^, z = sin i? sin ^,.

La résolution du système (1) par la méthode des moindres carrés,

donnera les valeurs les plus probables de x, y, z. On tirera ensuile des équations (2) les formules

cos 'S, = X, cos A) = y coséc îî, sin A) = - coséc ^,

qui fourniront une solution unique, car ''£ est nécessairement compris entre 0 et ::, tandis que Jh est donné à la fois par son sinus et son cosinus.

2° Si le nombre des mesures se réduisait à deux, celui des inconnues Jb, 'I, il faudrait, aux deux équations (1) correspondantes, joindre la relation

(3) X^ + if + z' r= 1,

qui résulte des égalités (2). La détermination de x, y, z serait alors ramenée à une équation du second degré qui conduirait, pour ces inconnues, à deux systèmes de valeurs x' , y' , z' et x", y", z".

Désignons par d la distance angulaire de E' et E", aisément calculable par la formule

cos d =z cos <!' cos il" + sin T sin 2" cos (^' — jb").

Si l'un quelconque des trois arcs d, S', o" est plus petit que la somme des deux autres, les arcs décrits de E' , E" comme pôles, respectivement avec o' , S" se couperont en deux points Ej , E^ répondant à la question. Les deux systèmes x\ y' , z' , x" , y" z" seront réels. A chacun d'eux répondra une solution unique donnée parles équations (2) : E^ {Adi,^i) répondant à x' , y', z' ; E^ (À)^, 'J!^) répondant à x", y\ z\

Pour choisir, entre Ej et E^, la vraie position de E, l'observateur a dû remarquer si l'étoile inconnue est au-dessus ou au-dessous de l'arc E' E" par rapport au pôle ou à l'horizon.

Faute de cette remarque ou de tout autre équivalente, jointe aux mesures, l'incertitude du choix est complète,

3« Si l'observateur a pris seulement trois distances angulaires, toute incertitude disparait et le problème s'abaisse du second au premier degré; alors les inconnues (.1), 'I) sont données par les expressions suivantes obtenues en résolvant (1) par ies formules de

Cramer :

sin T' sin 'I" sin {^"' — ^" ) = A,

sin T sin T" sin (A)' — .{;'") = B,

sin T sin 'I' sin (A," — .{V ) = C. sin T (cos S'" cos i£" — cos S' cos U?'") = a, sin iT" (cos s' cos iT" — cos B'" cos T ) = ,3, sin l£""(cos 8" cos ■!' — cos S' cos 'T) = v

Acoso' + B cos o" + G cos o" ''~^ \^^^¥TBcosr + C^^^"'' ^^cosi'+Bcoso" + Ccoso"'= L,

asin.^' + psin.V + y si n ^V ^""■^Acosf'+Bcos^' + Ccosif'"' ^^in^^' + ^^in^V'-f vsinA/"= M, xcosA^' 4- gcos.i;' + Y cos M" À cos a" 4- B cos a"' + G cos M^'"' '^°'^^' + hCos.1,"+ ycos.1,"'=:=-N.

83e Exercice.

Calculer les coordonnées géographiques d'un lieu où l'on a mesuré simultanément les distances zénithales z, z\ s" de trois étoiles commues E (^, ^), E' (.1,', $'), E" (Jh", T), à une époque sidérale G du premier méridien.

Solution : Soient a, p l'ascension droite et la distance polaire, à l'époque 0, du zénith du lieu. La longitude % et la colatitude o de ce lieu seront :

Calcul de a, p. — Les triangles PZE, PZE', PZE' donnent les trois relations

cos z =cos p cos ■£ -t- sin p sin ^2 cos (a — ,h ),

(2) . cos :;' = cos p cos $' + sin p sin 2' cos (a — ^'), ( cos -" = cos p cos 2" 4- sin p sin 'i"'cos (a — ,{;'),

CHAP. ru. — MOUVEMENT DIURNE DE TROIS ÉTOILES AU MOINS. 185

qui, en posant

I X= CCS p,

(3) ! y =z sin p cos a, \ z = sin p sin a,

deviennent :

' cos :; =: aï cos LÎ + )/ sin 2 cos ^h + .6 sin ^ sin J),

(4) j cos z' =^x cos 'I' -+- y sin l£' cos S:)' + z sin i£' sin J/, ( cos «"= aï cos :i"' 4- y sin ^i"'cos .i" + z sin l£"sin ,1.'.

Résolvons-les par les formules de Cramer et posons

sin '!" sin T sin ( JV — A, ' ) = A, sin 'X sin ^'"sin {^ — .V) = B, sin '£' sin i£ sin (Ai' — ,h) = C.

sin J? (cos 2" cos '£' — cos z' cos 'J") = x, [ sin T (cos .^ cos T' — cos 2" cos 5 ) = P, \ sin il'" (cos 2' cos 'J — cos 2 cos i£') = 7- On aura

puis

aî =

A cos 2 + B cos

s' + C cos 2'

A cos 'X + B cos

:!' + G cos r

a sin Ai 4- (3 sin

A^' + Y sin .V

A cos i? + B cos

X' + G cos r

a cos Al + ^ cos

Al' + Y cos A"

A cos l£ + B cos LE' + C cos T

tgp=z

X cos a X sin a

donneront aet j), déterminés sans ambiguïté puisque les signes de tg J9, cos p et sin a, cos a sont connus par (3), (6), (7).

En un certain lieu, on a observé les époques T', T", T'", ... d'un chronomètre de marche constante m, aux moments du passage

par une même hauteur d'une série d'étoiles connues E' (^^', ^'), E"(.V, ^"), E'"a"',a""), ...

On demande la colatitude 9 du lieu, la correction r du chronomètre et la distance zénithale commune z observée pour les étoiles.

Solution: Désignons par <', i", t'", ... les angles, horaires des diverses étoiles -aux moments de leurs passages respectifs par la distance zénithale z; par r la correction du chronomètre à une époque ronde T choisie vers le milieu de la série. Nous avons :

t' =T + r' — ^', r'=z r + m {T — T), t" = V -\- r' — AV, )•" = r + m (V — T), r = T" + r'" — ,h'\ r'" = /• + m (T" — T),

et, par suite, si nous posons:

(1) i = T + r, nous pouvons écrire

t' =^t + x', f = t + a", t'" = t + a", et les équations

! cos S ^ cos $' cos ç + sin 'X' sin z> cos t' ,

(2) ' cos ^ = cos 'I" cos 9 -+- sin i£" sin 9 cos t",

c'est-à-dire

( 1 = X cos 'X' + V sin 'X' cos a' — Z sin û" sin a',

(3) j 1 = X cos r -h Y sin if cos a" — Z sin 'j?" sin a',

en posant

(4) X = cos 9 séc ^, Y = sin 9 cos t séc :r, Z =: sin 9 sin f séc j, étant résolues, par rapport à X, Y, Z par la méthode de Cauchy ou

r.HAI>, III. — MOUVEMENT DIURNE DE TROIS ÉTOILES AU MOINS. 187

ie des moindres carrés; nous calculerons t., o, z par les formules

tgf-=Y'

" ' "~ X cos i ~ X sin t'

cos 0 sin 5 cos t

sin 5 sin t

La formule (1) donnera r iM r = t — T. '

REMARQUE

L'observateur n'a pas be.soin de cercle divisé. Il lui sufiit d'un I luononiètre et d'une lunette montée altazimutalement pour se livrer an présent exercice. Il lui suffirait même d'une lunette pouvant >implement tourner autour d'un axe vertical avec lequel elle ferait un angle fixe compris entre 0° et 90°.

En un certain lieu, on a observé les époques T', T", T"-, ... d'un chronomètre de marche constante m, aux moments du passage ji"r un même azimut d'une série d'étoiles connues E'(,l3', 'i"),

0)1 connaît l'une quelconque des trois quantités : la colatitude z du lieu, la correction r de la pendule, l'azimut commu7i a; on demande les deux autres.

Solution : Adoptons les notations de l'exercice précédent. Nous aurons

(2) cot 'I' sin 5 = cos ç cos t' — sin t' coi a, (.3) cot 'T sin 0 =: cos 9 cos t'' — sin t" cot a,

188 LIVRE m. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.

Mais en remplaçant t' , t\ ... par t + x\ t + a", ... les équations (2), (3) peuvent s'écrire

cot 'X' sin © = (cos ç cos t — sin t cot a) cos *' — (cos ç sin t 4- cos t cot a) sin a', cot 'X' sin ç> =: (cos 9 cos t — sin f cota)cos x" — (cos 9 sin i + cos t cot a) sin x",

ou bien en'posant

l cot $' = X cos x' — Y sin x , \ cot T' = X cos;a" — Y sin a',

/^x ,. cos 0 cos t — sin t cot «, cos z^ sin t -I- cos t cot a

Sin o sin 9

On aura, pour déterminer X, Y par la méthode de Cauchy ou celle des moindres carrés, autant d'équations (4) que de passages. Les équations (5), mises sous la forme

{ cot s = X cos i + Y sin t, ^ ^ l coséc' 9 = (X' + Y^ 4- 1) sin' a,

donneront immédiatement deux des quantités o, a, t lorsque la troisième sera connue ; et, par suite, en tenant comple de l'équation (1), deux des quantités 9, a, r lorsque la troisième est donnée.

REMARQUE

Pour se livrer au présent exercice, l'observateur n'a besoin que d'une lunette montée altazimutalement, sans aucun cercle divisé, et d'un chronomètre sidéral. Il lui suffirait même d'une lunette pouvant simplement tourner autour d'un axe horizontal lixé en azimut.

Quel est lieu géométrique des points de la sphère céleste, c'està-dire des étoiles, qui se couchent ou se lèvent simultanément: jilus qénéraleynent, qui ont une hauteur commune donnée, à uno époque donnée, en un lieu donné.

Solution : Il nous suffira d'indiquer la .solution .sans en développer les formules. Le lieu est évidemment le cercle décrit du zénith du lieu, comme pôle, à l'heure donnée, avec une ouverlure de compas égale au complément de la hauteur commune donnée.