REMARQUE GÉNÉRALE
Il arrive assez souvent que pour déterminer quelques angles inconnus d'un problème, soit, pour simplifier, deux angles seulement <f, t, on a un certain nombre d'équations qu'on peut réduire au premier degré :
iax + by + ez + ... ■+- fa + gv ... = m, a'x -hb'y + c'z + ... + f u -h g' v ... = m' , a' X + h''ij + c"z + ... + /"u + g"v ... — m",
en posant, par exemple.
^ X = cos î, y = sin 9 cos t, z = sin 5 sin t, ( n = cos%, ... V =1 m\- s.
les quantités a, b, c, ...,/", g, ...,«(,, a' ,b\ c' , ...J' , g' , ...,m' , ... étant connues, soit par la théorie, soit par l'observation.
Les inconnues x, y, z, ...,ii, v, ... ne sont pas alors indépendantes. Elles sont liées par certaines conditions (3) résultant de l'élimination de 9, t entre les définitions (2), telles que
1° Si le nombre des équations (ly est strictement égal à celui des inconnues 5, t, c'est-à-dire à 2 dans notre hypothèse, et inférieur à celui des inconnues auxiliaires x, y, z, u, ..., il faut les résoudre directement pur rapport à 9, t, ce qui peut conduire en général à une équation A d'un degré supérieur au 1*^''.
2" Mais si le nombre des équations (1) est éi^al ou supérieur à celui des inconnues auxiliaires x, y,z, ..., u, r, ...; il faut calculer celles-ci par la méthode des moindres carrés, ce qui n'est qu'un problème du l'^'" degré; s'assurer que les valeurs obtenues ainsi pour a-, y, z, ..., M, r, ..., satisfont aux conditions (3;.; (>nfin tii'er 9 et t des deux équations (2) les plus commodes.
En effet, à toute solution du problème astronomique, répond, par hypothèse, une solution x, y, z, ... de (1) satisfaisant à (3), et réciproquement, toute solution x, y, z, ... de (1) vérifiant (3) donne pour s et t une solution astronomique.
En général le système (i) n'aura qu'une solution x, y, Z à laquelle pourront répondre un ou plusieurs systèmes de valeurs de ç, t.
On pourra ramener le l^"" cas au 2*^, s'il est permis, par des observations nouvelles, d'augmenter le nombre des équations (1) distinctes. On abaissera ainsi le problème jusqu'au premier degré, en écartant les solutions de l'équation A étrangères à la .question astronomique.
En multipliant ainsi le nombre des équations (1) il est clair qu'il faudra éviter de se placer, pour les observations fournissant des équations nouvelles, dans des conditions si particulièrement liées à celles des équations primitives, que le système (1) reste indéterminé par rapport à x, y, z, ... auquel cas il faudrait revenir à la détermination directe de ç-, t. Il suflira que les époques d'observation, les coordonnées des étoiles observées, etc., soient, pour les équations additionnelles, indépendantes des mêmes quantités pour les équations primitives.
Si le problème astronomique admet une solution, on ne pourra jamais d'ailleui-s rendre le système (l) incompatible par l'adjonction d'équations nouvelles du problème, c'est- à-diro d'équalions admettant cette soliitiun.
