CHAPITRE IV

Lieux terrestres définis par des conditions astronomiques.

Quels so)U les lieux de la terre pour lesquels une étoile de déclinaison U) se lève on se couclte en même temps que pour un lieu donné?

Solution : Soient :

'£(,, Ço la longitude et la latitude du lieu donné Z;

4', 0 — d'un lieu cherché quelconque A.

Lorsque l'étoile se couche |iour le lieu Z, son angle horaire f(j est donné par la formule générale

(1) cos z = sin ç sin 'J) + cos o cos Si) cos f,

dans laquelle il faut faire z = 90", o = (^q, t = Iq. Au même moment l'angle horaire de cette étoile pour le lieu A est t^ + !!, si on compte les longitudes positivement vers l'est et à partir du méridien de Z. Les coordonnées ;|, o de A S(jnt donc liées {)ar la relation {i) dans laquelle on a fait préalahlement z ■= 90°, t ^=z t^ -\- li', c'est-à-dire par l'équation

(2) tg 9 .tg lO -j- cos (li' + fo) = 0,

qui représente le grand cei'cle ZAZ' ffi<J- •''>r>) ayant pour pôle le point K 011 la terre est coupée jtar la din'clidii allant de son centre à l'étoile au moment ou celle-ci se couche pour Z.

On peut d'ailleurs vérifier cette équation par le trian^rle PAE dans lequel

PA = 90° — 9, PE = 90° — iP, AE = 90'>, APE = t = ZPE — ZPA = t^-h 'I,

et qui donne immédiatement

0 =: sin 9 sin 3^ + cos o ces ^ ces (f^ + H!).

Pour tous les lieux situés sur le demi-cercle rnZ'm' l'étoile E se lève; elle se couche pour tous ceux qui sont situés sur le demi-cercle opposé wZw'; elle rase l'horizon pour les lieux m et m' .

A quel moment sidéral 6 du i*'" méridien A, voit-on, de deux points donnés A' (H!', o'), A''(^'', ç-') de la terre, une étoile désignée E {X, <S):

i" Sous la même distance zénithale z; ?° Sous le même azimut a.

Calculer z et a.

Solution : Prenons pour sphère céleste la sphère terrestre ellemême, et soient à l'époque 0 : -

6', H" les heures sidérales locales en A', A"; t' , t' les angles horaires de E en A', A'.

On a d'abord les relations évidentes

(1) G' = f + .1,, 6' = f + A., 9 = e' -+- iX' r= 0' + r,

en comptant les longitudes 1', .i' dans le même sens que les angles horaires et de 0° à 360°.

Les triangles sphériques PA'E, PA'E (fig. 56) donnent ensuite

(2) cos z = cos i-£ cos 9' + sin i£ sin 9' cos t' ,

(3) cos z = cos ^ cos 9' 4- sin 2 sin 9' cos f,

Si nous posons

(4) f + o'=2s, 9" — cp'=2d,

et si nous éliminons cos z entre (1) et (2), nous avons

(6) cos^sinssind — sin^cosssind.cos3cosT + sin^sinscosdsin5sinT = 0,

équation qui détermine t. Après i on calculera t', t\ par les relations (5); puis 6', 6", ô par les relations (1); enfin z par l'une ou l'autre des équations (2), (3).

L'équation (6) peut s'écrire

(7) cos (t + (1^) = cos (]; cot ^ tg s sec 5, en prenant

(8) tgd/ = tgS.tgscotd.

La condition de possibilité du problème est

cos^ t}^ cot' ^ tg' s séc' S <: d ,

ou, en substituant à cos ^ sa valeur en fonction de tg «1^ ou tg o tg s cot d et résolvant par rapport à cot^ $,

(9) cot' $ < cot' s. cos' 0 + cot' d sin' 5.

Géométriquement, cette condition exprime que le parallèle céleste E'E décrit pai' l'étoile, dans son mouvement diurne, rencontre le grand cercle II', perpendiculaire à l'arc A' A" en son milieu I.

Si la condition (9) est remplie, l'équation (7) donne pour - les deux solutions

T^ = — ib + cc, Tj = — (1/ — a,

où 'h et a désignent les arcs entre 0 et -, satisfaisant respectivement à (8) et (7). A chaque valeur de t répond une valeur pour z et 6.

Les deux solutions se réduisent à une seule si les cercles EE', II' se touchent ou si l'inégalité (9) se transforme en égalité; elles disparaissent si ces cercles ne se rencontrent pas ou si l'inégalité (9) cesse d'avoir lieu.

2" Les triangles PA'E, PAT donnent

(1) cot $ sin <p' = cos o' cos t' — sin t' cot a, ]

(2) cot ^ sin 9" = cos 9" cos t" — sin t° cot «,

et, après l'élimination de cot «,

(3) cot ^(sin ©' sin t" — sin 0" sin i' ) =cos 9 ' cos t' sin t" — cos 9" cos (' sin t' ,

ou, en introduisant les quantités s, d, 0, t précédemment définies,

^ 2 cot ^ (sin s cos cl sin 5 cos - — cos s sin d cos 0 sin -c) ^ = cos s cos c? sin 2o + sin s sin d sin 2t.

Si l'on pose

X ■= cos T, ?/ = sin T,

a; et y seront donnés par l'intersection du cercle

(5) x^ + y' = i et de l'hyperbole

(6) xytgfE — ccsinocotgd + î/cosccotgs + ïsin2ccotgscotgdtg^ = 0.

La question est donc ramenée à la résolution d'une équation du 4® degré. ^

REMARQUES

L — Si l'on cherchait le lieu des points x, y, z de la sphère céleste vus de A', A" sous le même azimut, on poserait

(7) ce = sin *£ cos -, y = sin 'S sin t, z := cos ^. L'équation (4) deviendrait alors

(8) sin2o(x- + y-) + Ixy tg s tg d — 2xzsin 0 tg s + lyz cos 5 tg d = 0. Le lieu cherché est à l'intersection de la sphère céleste

X* + xf- + c^ = 1, '*

et du cône (8) dont le sommet est au centre de cette sphère.

L'intersection du parallèle céleste z = cos ^ avec le cône (8) donne la solution demandée.

II. — Cet exercice double ne diffère pas au fond des exercices 63« et G4û dont les deux étoiles sont remplacées par deux lieux terrestres et le lieu terrestre par une étoile.

Soiis quels azimuts a ou a' , et quelles distances zénithales z ou z' , une étoile donnée E {X^, T) est-elle vue au même moment par les divers liahitants d'un méridien ou du méridien opposé?

Solution : Soient (fig. 57) :

P, P' les pôles nord et sud de la sphère céleste 0 que nous supposons

coïncider avec la sphère terrestre ; P/uP', Pm'P' deux méridiens opposés; i, '£' leurs longitudes, comptées de 0° k 360" et de l'est à l'ouest à

partir du premier méridien; t, t' les angles horaires de l'étoile E, respectifs à ces méridiens

opposés, au même moment ; B l'heure sidérale du premier méridien à ce moment.

En un lieu m, de colatitude ç, comptée de 0° à 180" en allant de P vers P', pour un habitant du méridien P»(P', on aura les formules

(f) t = Q — 'jL~A^,

(-) cos z = cos $ cos (f + sin '£ sin o cos t,

(3) cot ^ sin 9 = cos ç cos t — sin t cot a,

(jui résultent immédiatement, la première de définitions posées, les deux autres de la considération du triangle sphérique PEm et qui donnent indépendamment l'une de l'autre soit la constante t, soit les deux fonctions a, z de la variable ç.

z est compté de m vers E de 0° à 180°.

a est compté positivement de 0° à 360°, à partir de la direction sud îîîP' jusqu'à la direction wE, de gauche à droite, pour un ])ersonnage fictif ayant les pieds en 0 et la tète en m. •

En un lieu m' de colatitude 9', sur le méridien oppo.sé, on aura

de même

(5) cos z' = cos ^ cos ç' + sin ^ sin ©' cos t\

(6) cot ^ sin 9' = cos 0' cos (' — sin V cot a' .

Mais toujours, à une circonférence près,

et l'un des deux angles f , t' , soit t, est nécessairement inférieur à r. Les méridiens PwP' et Pm'P' sont ainsi respectivement à l'est et à l'ouest de l'étoile E; nous les appellerons méridien oriental et méridien occidental.

MÉRIDIEN ORIENTAL : f <; Z.

La différenliation des formules (2), (3), après quelques réductions faciles, ou, plus simplement, l'application des formules différentielles connues (la l'-e du 3« type et la 3^ du ler type de notre tableau B, page 13 du Cours), au triangle PEM, en faisant dans ces formules

gaz=0, cb = c5, oc = lz, cA = — oa, cC = 0,

conduisent également aux relations

d(4= sin a cot z.do = sin' a.coséc $ coséc ^cos z.do, dz = — cos a . d 9 .

Le facteur coséc ^ coséc t ou son inverse sin ^ sin t étant toujours positif, on voit que les signes de da et dz seront toujours respectivement ceux de cos r et — cos a et ne changeront que pour les valeurs de 9 qui annulent ces deux cosinus. Or, la relation usuelle

(7) sin z sin a = sin ^ sin t,

qui nous a déjà servi tacitement à passer de l'une à Tautre des deux

ClIAP. IV. — LIEUX TERRr:STRES. 197

iMrmes de da, jointe aux équations (2), (3) montre que cos 3 = 0, : = ^ pour la seule valeur ^^ de s définie par

1 8) tg ç, = — cot 2! séc t,

répondant au point c où la valeur a^ de a est donnée par ■ ; » ) sin «e = sin <£ sin t ;

l't que cos a = 0, a = ~ pour la seule valeur de ç^ de ç définie par

i 10) tg Oç = tg- ^ cos t = — cot ç„

iVpondant au point q où la valeur z^ de z est donnée par (11) sin Zg = sin l£ sin t.

On a donc

Ç5^ < - , Og = '^, ± ^^ suivant que tg ^ cos i < 0,

fn

prenant ensemble les signes supérieurs ou les signes inférieurs. Vai d'autres termes, les directions Oe, Oq sont rectangulaires et, fil parcourant le méridien considéré de P en P' , on rencontre e avant iiu après q suivant que tg ^ cos t est positif ou négatif.

Soit Q le pôle du cercle méridien considéré. Le grand cercle QE .nupe ce méridien en q et si nous désignons l'arc Eq par d nous aurons toujours

sin rf = sin ^ sin t,

ag = ^j Zg = d; a, = do\iT. — d, ^e = ^ '

L'arc d est d'ailleurs, en même temps que t, plus petit ou plus grand que - et comme sin d est inférieur à sui f, on a

d<t si t<^,

en prenant ensemble les signes d'une même ligne horizontale. Il est facile maintenant de suivre le tableau des variations de a et z

lorsque 9 varie de 0 à 7:, c'est-à-dire lorsque m marche de P vers P', en remarquant que les valeurs initiales de cos z, cos a, z, a, pour (f = 0, sont

cos z^ = cos ^, 2o = %

cos «0 = cos t, «„ rr: t,

et que, par suite, cos z aura toujours de P en e le signe de cos 'I, de e en P' un signe contraire; tandis que cos a aura toujours de P en g le signe de cos t, de q en P' un signe contraire.

tg 'Jl cos t

de P en e

de e en P '

/cos z ) a

de P en q

deqenP'

/ces a

croît de < à 71 — d en passant par „ en 7

décroît de n — d à n — t

décroit de ^ à rf

croît de d à Ti — ^ en passant par ^ en e

croît àe t 3l d

décroit ded à t: — t en passant par „- en q

croit de S à d

en passant par „ en c

décroît de d à TT — ^

décroit de ^ à d

croit de rf à 7ï — t

en passant par" cnq

décroit de ^ à d

en passant par n ene croit de d à Tt — ^

croît din — dk

croit de 7t à d

décroît dedàn

en passant p;