REMARQUES DIVERSES

i° Menons les cordes PS, P'S du méridien, respectivement parallèles kOe,Oqei éliminons cos t entre (2), (10), cot 2 entre (3), (8),

nous aurons les relations

(12) COS Z =: COS ^ COSéC 9, COS (9 — Çj),

(13) cot a =. cotgt.coséc ç,, cos (9 — Çe)»

qui montrent que z et a prennent la même valeur en deux points du méridien, symétriques respectivement par rapport à g et e. Dans lo premier et le quatrième des cas précédents, z passe deux fois par la même valeur de P en S et a de S en P'. Dans le deuxième et le troisième cas, a passe deux fois par la même valeur de P en S et 2: de S en P'.

En S l'azimut est le même qu'en P ou P' et la distance zénithale la même qu'en P' ou P dans le premier et le troisième ou le deuxième et le quatrième cas.

2" Le maximum ou le minimum ont toujours lieu en e pour a, en q pour z.

3" Le point e sépare les lieux, pour lesquels l'étoile est au-dessus de l'horizon ou :? <: '^^ de ceux pour lesquels elle est au-dessous

ou

MÉRIDIEN OCCIDENTAL : f >> Z.

Après avoir remplacé t' par t + ::, introduit les points e', q' diamétralement opposés à e, q, l'arc d' supplémentaire de d, on pourrait discuter, d'une manière semblable, les formules (5), (6) qui donneraient les variations de a' ,z' sur le méridien occidental, lorsque 9' varie de 0 à x ou lorsque m' marche de P vers P'.

Mais cette nouvelle discussion directe devient inutile si on remarque que pour deux points antipodes m, i)i', on a

Il suffira donc de suivre les variations de a, z avec 9 dans chacun des quatre cas précédents, pour suivre en même temps celles de a', z' avec ç' .

Trouver, sur un même méridien M et son antipode M' , les lieux qui voient ou ont une même étoile désignée E (A-), '£), sous le même azimut donné a, à la m,ême époque sidérale 6 de M.

Solution : 1° Supposons la terre sphérique et prenons-la pour sphère céleste. Soient (fig. 58) : i

P le pôle nord ;

PMP' le méridien M considéré; PM'P' son antipode M'; m sur M ou m' sur M' un lieu cherché quelconque; <f lacolatitude de ce lieu, comptée de P positivement sur M, négativement sur M' ,

A l'époque ô, l'angle horaire t de l'étoile E relatif à M est t = 0 — A,,

et les triangles sphériques PmE, Pm'E donnent également la relation unique

(1) cot ^ sin 9 = cos ip cos t — sin t cot a, qui permet de calculer 9, en posant

(2) tg (1; = tg f cos t,

(3) X = ? - t];, par la formule

(4) sin as = — tg t. cot a.sin 6.

à ei X étant les solutions de (2) et (4) comprises respectivement entre 0 et ^, — ^^^ "^ ^' °" ^ P^*^^ 9 ^^^ "^^^-^ valeurs

lorsque la condition de réalité de x, savoir :

tg* t. cot' a.sin* '^ ^ 1,

est remplie. Gomme

.« et

tg'^ tg'âîcos^f

sin 0 = —

1 4- tg* 6 1 ^- tg* ^ cos* t

cette condition peut s'écrire

(5) sin* t < sin' a coséc^ S.

Les valeurs f^, Sj de ç étant portées, chacune suivant son signe, à partir de P, sur le grand cercle PMP'M' dans le sens M ou dans le sens M' , on aura les deux solutions du problème qui se réduisent à une lorsque la condition (5) devient une égalité et qui disparaissent avec cette condition.

Les points solutions peuvent être situés tous deux soit sur M, soit sur M', ou bien l'un m sur M et l'autre m' sur M', ce qui est le cas de la figure. Soit \j. l'un quelconque de ces deux points.

Suivant que a et t seront ou non de même signe, on ira de [j. à E, sous l'azimut a, par un arc de grand cercle inférieur ou supérieur à 180°, si jj, est sur M; par un arc supérieur ou inférieur à 180°, si p. est sur M'.

La distance zénithale z de [j, à E, toujours inférieure à 180°, est donnée dans tous les cas par la formule

(6) sin 2 = sin t sin ^ coséc a,

qui résulte immédiatement de l'un ou l'autre des triangles PmE, Pm'E et fournit les deux solutions supplémentaires

Z^ := Z, Z, = 180° — Zy

z désignant l'arc positif, plus petit que 90°, qui vérifie (6).

L'étoile E est donc toujours levée pour l'un des points [a et couchée pour l'autre, à moins qu'elle ne soit à la fois dans l'horizon de ces deux points, ce qui exige la condition

ou

(7) sin t, coséc a sin ^ = 1,

et il est facile de voir que l'ensemble des conditions (6), (7) équivaut

à celles-ci :

c'est-à-dire à ce que l'étoile E soit au pôle p de M et M' .

Dans ce cas singulier, (|; et 9 sont indétei'minés. Tout point de ^f ou M' est une solution.

2° Il est facile de construire géométriquement les solutions précédentes. L'angle t}i n'est autre chose que la projection sphériqueP^ de PE sur M, obtenue en menant par E le grand cercle q'pq perpendiculaire à M et M'. Les points q, q' sont d'ailleurs les solutions du problème dans le cas particulier a =z 90°,

Si, de p comme pôle, nous décrivons un petit cercle s avec (90° — a) pour rayon pu et si nous menons par E les deux grands cercles S, S' tangents à s, ces cercles coupent le grand cercle PMP'M' en quatre points m, n, m', n' dont deux seulement m, m' répondent à la question.

Les deux azimuts, pour aller de chacun de ces quatre points surE, en marchant dans un sens ou dans l'autre sur S et S', sont, en effet,

a et a -\- - soit pour ?h, soit pour m', — a et — a — -, — n, — n'.

Il est clair que