X :^ — qm = — q''in

et que les deux solutions m, m' sont sur une même parallèle à qq' . On voit enfin que la condition (5) peut s'écrire

sin' Eg < sin'.H^,

et exprime simplement que E est extérieur à s, condition de l'existence des cercles S, S'.

REMARQUE

Le problème actuel ne diffère pas de celui-ci :

Trouver sur le méridien M ou son antipode M' de la Terre, supposée sphérique, les points d'où il faut j^artir sous l'azimut donné a pour passer, en décrivant im arc de grand cercle, par un point donné E dont les coordonnées géographiques, relatives à M, sont ^ et t.

Trouver les lieux de la Terre (If, ç) qui voient ou ont, sous l'azimut donné a, une étoile désignée E (Jh, SP), à l'époque sidérale 6 du premier méridien.

Solution : Considérons un méridien quelconque M et son antipode M' de longitude ;X et 'X + x. L'angle horaire de E relatif à M e.sl

t = 0 — jb — a\

en supposant les longitudes '£ comptées, comme t, de 0° à 360", positivement de l'est à l'ouest.

Connaissant a, t, nous trouverons, sur M et M', les lieux solutions, en appliquant les formules de l'exercice précédent, dont nous conserverons d'ailleurs les notations et poursuivrons le numérotage. En faisant varier i£ ou t, nous aurons toutes les solutions à la surface de la Terre.

Avant d'entrer dans la discussion, remarquons que t n'est pas autre chose que la longitude, comptée de l'ouest à l'est, du méridien M par rapport à celui qui, à l'époque donnée 6, coïncide avec le cercle horaire PE de l'étoile.

La condition de possibilité (5) (exercice 90), nous conduit à trois cas, suivant que sin^ a coséc^ ^ est inférieur, égal ou supérieur à l'unité.

1" Cas. sin^ a < sin* ^.

Si l'on pose

(8) sin- (1) = sin'a coséc* $, la condition de possibilité sera

(9) sin' t < sin' w.

Elle exprime que 9 sera réel, seulement pour les valeurs de t comprises entre — w et + co ou entre (x — w) et (tc + to), w désignant la

solution de (8) comprise entre 0 et -l- ^ •

204 LIVRE m. — L\ TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.

Il suffira d'examiner en détail les variations de 9, lorsque ( varie de 0 à 4- (1) ; car les formules de l'exercice précédent montrent que :

1" '^ ne change pas et x change seulement de signe lorsque t devient — t ou change uniquement de signe.

2° 9 change seulement de signe lorsque t croit de x; de sorte que les points solutions ne changent pas.

D'ailleurs lorsque t croit de 0 à w, l'angle à diminue et, par suite, X augmente.

Gomme sin^ w est plus grand que sin' a, t passera toujours par les valeurs — a, 4- a, — a -i- t., a + t., en variant de — w à -1- w et de — 10 +7:àa> + -.

Gela posé, il est facile de suivre l'allure de la courbe des lieux cherchés en dressant le tableau des valeurs principales et des variations simultanées de s et t.

Si, pour fixer la figure 59, nous supposons tg $ ::> 0 et — ^ <: a <:0,

nous aurons le tableau suivant, dans lequel 6 est toujours positif et<$.

t X 9, arc ç, arc

... C^aP ■ ... G^a'A

J ... Eck, j ... E'c'P

M...A,pc S...P'^'C

o ^ ,1, a Ono ^

Ce tableau montre que t variant de — w à 4- w, le point de la courbe répondant à Çj parcourt l'arc CjaP6EcAj,3C, tandis que le point répondant à ç^ parcourt l'arc Gjz'A6'E'c'P'(i'C. Ces deux arcs se raccordent en Gj et G où ils sont tangents aux cercles horaires PB), PB inclinés respectivement de — «, 4- w sur le cercle horaire PE et déterminant les deux fuseaux opposés sur lesquels la courbe totale 2] est entièrement tracée.

REMARQUES

On peut subdiviser ce premier cas général en quatre espèces, correspondantes aux quatre combinaisons que peuvent présenter les signes de tg 3? et cot a.

Les valeurs absolues de tg $ et cot a restant les mêmes, par hypothèse, ^ devient (r + ç) ou (•;: — s) par un changement de signe de tg $ ou cot a. Ainsi, pour

^ ^(cota<;0 , , ( Z, est (le l'espèce de Z, tg'^>0> , ^ la courbe ]J . ■ , J ^ ■

(cota>-0 ' Z, est syiuelnque de l,relaliveraenl au ceDireO delà terre,

^ ^ ^tcota<;0 , , ( Z,estsvmélri(]uede2,relaliveDicDlàréquatcurR, tgi^<0] ,^ la coirbe ^ " . . , , . ^ ,

f cota>>(J ( 2 i est symétrique de Ssrelalivemenl à 0 ou de Zj relativement à R.

2« Cas. sin* a = sin^ ^.

Alors t peut varier de 0 à 2:: et la condition (9) a toujours

lieu, co = PC = PCj = -• Les cercles horaires PBj, PB sont

opposés l'un à l'autre et perpendiculaires à PE. Les points G, Gj se confondent et la courbe prend, sur la terre, la forme d'un oo dont les boucles passent, l'une par P, E, l'autre par P', E' et sa croisent sur l'équateur.

3e Cas. sin- a > sin- 1?.

La condition de possibilité a toujours lieu et t peut varier de 0 à 'Ir.. Les deux boucles du x se séparent et forment deux courbes fermées distinctes, l'une passant par P, E, l'autre par P', E'. On s'en assure aisément en suivant les valeurs de o lorsque t varie de 0 à 2z.

Les remarques du 1'''' cas s'appliquent d'ailleurs aux 2® et 3".

Étudie)' la foi'me de la courbe 1 d'égal azimut (Exercice'91), en projection orthographique sur une carte.

Solution : 1° Rapportons cette courbe à trois axes de coordonnées roctangulairos, monés par le centre 0 de la terre : Ox, Oy situés

dans l'équateur et dans les cercles horaires respectifs PE, Py

d'ascension droite A), Âj + '-', Oz dirigé suivant OP. En conservant

les notations des exercices précédents, on a, pour un point quelconque de la courbe,

X = sin 5 cos t, y = sin 5 sin t, z = cos (j».

En éliminant 5 et ( entre ces relations et l'égalité (1) de l'exercice 90,

cot $ sin 9 = cos ç. cos f — sin t cot a, on a :

(1) (ce* + ^f-) cofS = xz — y cot a,

(2) ce' + y' + 2' = 1,

pour les équations de la courbe. La surface (2) est celle de la sphère terrestre. La surface (1) est un hyperboloïde à une nappe dont le centre 0', situé sur Oj/, a pour coordonnées a, [2, y '■

a = 0, (5 = — i- cot a tg se, T = 0,

dont les axes sont O'-q' coïncidant avec 0^, 0'^' parallèle à la bissec-

tiice de l'angle POE, 0'^' perpendiculaire à C'O'r/, c'est-à-dire coïncident avec les axes 0 (x, y, z) après une translation ^ et une rotation | $ de ceux-ci suivant et autour de Oî/; rotation de droite à gauche pour un personnage ayant les pieds en 0 et la tête en y. Les sections cii'culaires de cet hyperboloïde sont parallèles à Oy et font avec l'équateur, les unes l'angle 0^, les autres l'angle S?.

Les projections de la courbe Z sur les plans ;'0'r/ et r^'O"^' sont des coniques.

Les projections de 31 sur les plans xOy de l'équateur et xOz du cercle horaire de l'étoile E ont, pour équations respectives,

(3) (x* + 1/-) cot 2 == X Kl — ce' — y- — y cot a,

(4) (1 — z') cot ^ = xz — Kl — x^ —z' cot a;

ce sont deux courbes du 4® degré.

Nous laisserons de côté la discussion des coniques qui est facile et

nous esquisserons celle des courbes du 4^ degré (3), (4) dont l'ensemble constitue l'épure de la courbe S d'égal azimut.

2° Construction de l'épure de la courbe 2. — Les sections de l'hyperbùloïde (1) par les plans coordonnés sont :

Par le plan xOy,\e cercle (x' + t/-) cot ^ -f- y cot a =: 0; par le plan xOz, les deux droites OE, OZ;

par le plan yOz, la droite OZ et la droite AB parallèle à OZ ayant pour équations, dans ce plan, y = — cot a.tg '£.

On peut considérer cet hyperboloïde comme engendré par le mouvement d'un cercle, de rayon variable, qui glisse sur les trois génératrices rectilignes OE, OZ, AB en restant parallèle au plan de l'équateur. Ce mode de génération permet de construire très simplement l'épure de la courbe Z, par points, en coupant la sphère et l'hyperboloïde par des plans auxiliaires parallèles à l'équateur, après avoir pris les plans de projections horizontale et verticale parallèles à xOy et xOz respectivement.

Les sections déterminées par un plan auxiliaire quelconque seront deux cercles qui se projettent horizontalement en vraie grandeur et se coupent en deux points M, N de la courbe 2l. Les projections horizontales m, n de M, N sont deux points de la courbe (3); tandis que les projections verticales m' , n' de M, N sont deux points de la courbe (4).

La tangente en un point quelconque M de 1 sera l'intersection des plans tangent en ce point à la sphère et à l'hyperboloïde. La construction du premier plan est connue. Celle du deuxième est facile. La droite menée par M et s'appuyant sur les génératrices OE, AB de l'hyperboloïde est elle-même une génératrice rectiligne D du même système que OZ. Le plan déterminé par D et la tangente en M à la section circulaire de l'hyperboloïde est le 2^ plan tangent.

En effectuant ces constructions, nous avons obtenu les épures suivantes qui s'expliquent d'elles-mêmes (/ij/. 00, 61, 62) :

(0, 0') est le centre de la sphère 0;

(0, O'z') est l'axe OZ de rotation de la terre, génératrice de l'hyperboloïde ;

(Oe, O'e') est la génératrice rectiligne OE de l'hyperboloïde, passant

par l'étoile; (a, a'z') est la génératrice AB, parallèle à OZ.

p'q' un plan auxiliaire horizontal, coupant ces génératrices en trois points qui forment un triangle rectangle. La projection horizontale aOb de ce triangle passe toujours par les points fixes a, 0. Le cercle circonscrit k aOb est la projection horizontale de la section circulaire H de l'hyperboloïde. La section de la sphère par le plan p'q' est un autre cercle S qui coupe H aux deux points (m, m'), {n, n').

La construction de la tangente au point (m, m') est suffisamment indiquée sur la figure 60 du l^r cas de la discussion rapide que nous allons faire (fig. 60, 6i et 62).