PROJECTION SUR L'ÉQUATEUR
En prenant Ox pour axe de coordonnées polaires et posant £c = p cos ô, y = p sin ô, l'équation (3) de cette projection devient (5) (p cot 'I -h cot a sin ô)^ = (1 — p*) cos* 0,
ou
— cot a cot $ sin 6 ± cos ô l/coséc* ^ — coséc^ a. sin* 6 ^^^ P "^ cot'- i£ + cos* e
Pour chaque valeur de 0, elle fournit deux valeurs correspondantes de p qui ne sont réelles que si l'une ou l'autre des conditions
. . sin' a
(1) cos 0 = 0, sin* e < . , ^
est remplie.
L'équation (5) ne change pas si l'on y change les signes de p et 0. Elle représente donc une courbe symétrique par rapport à Oy. Cette courbe passe par 0 et admet en ce point deux tangentes symétriques relativement à l'axe 0,c, inclinées sur lui de l'angle «, car on a
tg- 6 = 1g* a pour p = G.
Les points de la courbe où p est maximum ou minimum satisfont à
dp la fois à l'équation (5) et à celle qu'on obtient en faisant — ^ nul dans
ctO cette équation (5) difïérentiée relativement à G, savoir :
(8) (p2 — 1) sin 6 = (p cot '£ + sin 6 cot a) cot a. L'élimination de (p cot '2 + sin 0 cot a) entre (5) et (8) donne
(9) [(p' — 1) sin' Q tg^ a + cos^ 6] {f — 1) = 0.
La recherche de ces points de maximum ou minimum revient à résoudre les équations (8), (9), c'est-à-dire les deux systèmes (10) et (11),
(10) p^ — 1 — 0, p cot ^ -^ sin 6 cot a =: 0,
(11) (p^ — l)sin-0fg-a + cos-0=O, (pcotiî + sin6cottt)r=(p- — l)sinetga. Le système (10) admet évidemment la solution
tar a
(I) ?=±i, m,Q=zf^-
Pour résoudre le système (11), remarquons qu'il n'admet pas l'hypothèse sin 0 = 0 qui le réduirait à l'absurdité p = 0, 1 = 0. On peut donc multiplier par tg a sin 6 la deuxième équation de ce système pour obtenir aisément sa solution
sin 'î* cns n
sin a cos %
On doit prendre ensemble dans (I) et (II) les signes d'une même ligne horizontale.
Gela posé, distinguons trois cas.
le- Cas. sin^ « <; sin^ i!?. — Posons, connue définition d'un angle w compris entre 0 et -?
sin^ (1) =
sur a
siu^l£'
s aurons
0) <; a -< w ou
et p ne sera réel que si l'une ou l'autre des conditions
cos 6 =: 0, sin' 6 <; sin' w
est remplie.
A la première condition répond un point unique a, isolé, étranger
. , . . t: cot rt . a la question astronomique, ô = ± -? p = + ^- Ce point,
extérieur au contour apparent de la sphère, est sur la direction Oy ou la direction opposée suivant que cot a, cot l£ sont de signes contraires ou non.
La deuxième condition équivaut à celle-ci :
— a)<:6-<:a) ou :: — a)<;6<;7: + o).
La courbe est donc, abstraction faite du point isolé a, comprise
entièrement entre deux rayons vecteurs inclinés symétriquement de w
sur Ox. Ces rayons sont tan^rents à la courbe, aux points m", n' à une
cos if
distance de 0 égale à
cos a
Les formules (I) donnent les seuls points a, [5 où p est maximum.
Les formules (II) sont inapplicables, puisqu'elles donneraient, pour
de tels points, sin- 6 r> 1.
2" Cas. Sin^a = sin* $. — L'angle 9 peut alors varier de — t: à + •::
T. cota
sans que o cesse d'être réel . Le point G = ± - ? c = t: ^cesse d'être
^ ' ' 2 ' ^coti£
isolé en a et se confond avec le point unique où p devient maximum,
à l'intersection de l'axe Oy et du contour apparent de la sphère. Les
coordonnées du premier point et celles du second, tirées soit de (I),
soit de (II), se réduisent en effet à
en prenant les signes sur une même ligne horizontale ou en croix, suivant que sin a et sin ^ sont de signes contraires ou non.
3® Cas. Sin' a >- sin' ^. — L'angle 6 peut encore prendre toutes les valeurs sans que p cesse d'être réel. Les points a, ^ où p devient
maximum sont donnés par les formules (II) seulement, les formules (ï) devenant inapplicables.
Le point a fait partie de la courbe sans être isolé et tombe à l'intérieur du contour apparent de la sphère.
