PROJECTION SUR LE CERCLE HORAIRE DE L ETOILE
Si nous prenons 0' pour pôle, 0'^' pour axe polaire et désignons par p, (]; les coordonnées polaires d'un point quelconque de cette projection, ^ étant compté positivement de 0;' vers 0!^', nous aurons ;
X = p cos y^ — ^y ^ = P sin y^^)'
L'équation (4) de la projection devient, en coordonnées polaires,
(1) p* (cos -X — cos 2']/)^ + Af (cos ^ cos 2-]/ — a) + 4a = 0,
en posant
sin*$
(2) a r= cos« f — sin' $ cot^ a ou i — yi = -—--
sm* a
L'équation (1) ne change pas si l'on change (|; en :: + '|, (1; en — tb, - — (^ en - + <l). Donc la courbe admet 0' pour centre et 0';', 0'^' pour axes de symétrie. Pour l'étudier complètement, il suffira donc de faire varier 'J> de 0 à ^-^ • On tire de (1)
j „ a — cos ^ cos 2']^ ± |/sin* X cot* a (cos^ 2^ — a) ^^ '^' ^ (cos X — cos 26)^ '
Les points où p est maximum ou minimum satisfont à la i'ois à l'équation (1) et k celle qu'on obtient en la ditïérentiant pour faire
ensuite — ^ nul, savoir :
(4) p^ sin 2'J; [p- cos 2'iy + (2 — p') cos $] = 0.
Distinguons trois cas.
212 i.ivnE iir. — la terre et le mouvement diurne.
l'-'" Cas. a -< 0 ou sin- a <; siii* 'I. — Les deux valeurs (3) de \ fsont l'une positive, l'autre négative. La première seule,
j a — ces Si? ces 2'i + Ksin* ^ cet* a (ces* 2(1* — a) ^ ^^ ~ ' (ces 2 — CCS 2'i)-~~ '
donne pour p des valeurs réelles et, de plus, égales et de signes contraires, quel que soit 6. La seconde ne donne pour p que des valeurs imaginaires.
Pour obtenir les points où p est soit maximum, soit minimum, résolvons (1) et (4). L'équation (-4) se décompose en trois autres :
p^=0, sin2'i^ = 0, p2 (cos S — cos2'I/) = 2cos$.
La première, p = 0, n'est pas admissible, car elle réduirait (1) à X ==: 0, ce qui n'est pas le cas actuel.
La seconde donne, dans le premier quadrant, 'l z= 0 et ^ =: -■>
valeurs auxquelles répondent les points y,, v où p est minimum,
La troisième forme avec l'équation (1) un système facile à résoudre. En éliminant p, on trouve
(cos 5 + cos 2'i/) (a — cos^ S) = 0, ou bien
cos 2-1/ = — cos $, c'est-à-dire ^ ^= s — ô '
puisque le facteur (a — cos' 'I) est essentiellement négatif dans le cas considéré. Cette valeur de ■!/ donne le point e', dans le premier quadrant, pour lequel p est maximum et égal à l'unité.
En prenant les symétriques, par rapport à O'r', 0'^' et 0' du premier quart \).e' ^'v de la courbe, on a les trois autres quarts.
Les projections, sur le même cercle horaire de l'étoile, des deux cercles PCP', PCjP' consic^érés dans la figure en perspective 59 de l'exercice 91, sont deux ellipses de centre 0', égales, symétriques l'une de l'autre par rapport à 0';', 0'!^', dont les grands axes, égaux à 2, sont dirigés suivant O'e', O'z' et qui touchent chacune en quatre points la projection de la courbe 2, comme il est indiqué sur l'épure.
CIIAP. IV. — LIKL-X TERRESTRES. 213
2« Cas. x = U ou sin- a = .sin- 'I. — L'équalion (1) se réduit alors à celles-ci :
(5) p = 0, p^== — 4cosLe
(ces 2 — ces 2'iy
dont la dernière comprend la pr.-mière. Les deux ellipses dont nous venons de parler se réduisent d'ailleurs à leurs grands a.ves e'î, e'e".
^1 1 n r.-^r 0^1 f'o't prendre ■ , pour que p sod, réel.
La courbe a la forme d'un 8, connue il est indiqué sur l'épure faite pour '£ < 90°.
Les points où p est maximum ou minimum s'obtiennent comme dans le cas précédent.
Si i£ r= 90", on aura constamment p = 0 pour toute valeur de 6, à moins que cos 2'b = cos L-f, hypothèse pour laquelle p est indéterminé. Ainsi, lorsque SS = 90°, la courbe 2 se compose de l'équateur et du i^a'and cercle horaire perpendiculaire à PE, lesquels se projettent suivant leurs propres diamètres situés dans le plan ;'0'u' et ayant pour équations respectives
Li: 0 U? 0
3« Cas. x >> 0 ou sin' a >» sin- 'I. — On a alors les inégalités suivantes :
a <; COS" '£. X- •<: X cos- U?,
soit 2u l'arc compris entre 0 et ^> défini par
cos' 2ît = a.
Dans ce cas, le signe des deux valeurs Ç.i) de î p- est toujours celui de (x — cos 2 cos 2^p), lorsque le radical est réel. Le.v quatre valeurs de 2 sont donc à la fois réelles ou imaginaires; leur réalité exige les
deux conditions
(6) cos^ 2'!/ > a =: cos* 2m,
(7) cos 2'{^ cos yj <: a.
La condition (6) entraîne l'une ou l'autre de celles-ci : (6)' — tt -<'}<: M,
1° Si ^ <: 90°, la condition (6)' est possible, car elle donne cos 2'i; négatif et entraîne la condition (7).
La condition (6)' est au contraire impossible, car elle donne cos 2<^ positif et permet de conclure de (7) l'inégalité
cos- 2'^ cos- ^ <: a- <: a cos- ^, ou
(8) cos' 26 < a,
contradictoire de (6). La courbe est donc tout entière comprise entre les rayons vecteurs inclinés de |^ — « ) et K -t- t/ J sur 0'^'.
2" Si S >> 90°, la condition (6)' est possible, car elle donne cos 2'b positif et entraîne la condition (7).
La condition (6)" est impossible, car elle donne cos 2à négatif et entraine l'inégalité (8) contradictoire de (6). La courbe est donc tout entière entre les rayons vecteurs inclinés de — m et + m sur 0';'.
