CHAP. I. — TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

leurs limites généralement connues et de faire la somme des valeurs absolues des trois termes, pour avoir les limites correspondantes de l'erreur absolue des résultats. *

Si dans les trois exemples précédents et considérés indépendamment les uns des autres, nous supposons les limites des erreurs de données égales entre elles et à ± E, nous aurons ainsi pour les limites des erreurs des résultats :

1° oa = ± i,489 E, Zh = ± 1,908 E, oc =z ± 1,708 E; 2' SA = ± 1,716 E, cB = ± 2,062 E, oG = ± 1,914 E; 3" SA = ± 1,590 E, s B = ± 1,045 E, cc=± 1,593.E.

Ces expressions sont évidemment très commodes si, dans une discussion numérique, on est conduit à l'aii'e diflc'rentes liypothèses sur la valeur de E.

2" Nous ferons ici une remarque très simple, pour prévenir une erreur assez grossière dans laquelle j'ai vu tomlier quelques élèves.

Si, pour déterminer un angle j-, on a mesuré diverses quantités lit, H, i>, q, ... ({ui lui sont liées par la relation

(1) f{x, ni, n, p, q, ...) = 0,

Terreur ox, commise sur x, sera donnée en fonction des erreurs o>h, 0)1, zp, oq, ... commises sur les mesures île ni, n, p, q, ... par l'équation

(2) Cox + f;„.>m + f:.o,i + fp.p 4- f;oq + ... = 0.

Toute transformation légitime de (1) ne saurait donner, pour dét -rniiner x, une formule nouvelle plus précise. La diflërentiation de cette formule nouvelle conduirait toujours à une relation équivalente et réductible à (2).

Pour augmenter la précision do x, sans augmenter la précision des mesures, il faut déterminer cette inconnue en mesurant un autre système de quantités, s'il est possible. <■

Ainsi, toutes choses égales d'ailleurs, un petit arc x est mal déterminé par la mesure a de son cosinus et les relations cosvj = cr ou sin- X =z [ — a-, ou toute autre équivalente conduirait, pour l'erreur B.x; de x, à l'expression unirpie s.c = ± coséc .c.c</. Pour

mieux déterminer a;, il faudra mesurer une autre quantité, son sinus par exemple. C'est dans ce sens qu'on dit brièvement qu'un petit arc est bien ou mal déterminé par son sinus ou son cosinus : en termes plus explicites par la mesure directe de son sinus ou de sou cosinus.

Mais on ne veut pas dire par là qu'im tel arc x est bien déterminé par toute équation de la forme sin a; = a et mal par toute équation de la forme cos ce = jâ. Le contraire peut avoir lieu et, pour se piononcer, il faut connaître la nature des quantités mesurées ainsi que l'expression de a ou g au moyen de ces quantités.

Établir par la géométrie les relatio7is différentielles du tableau B, n» 16 du Cours.

Nous ne développerons pas la solution de cet exercice. Nous lemarquerons seulement que l'établissement géométrique des formules différentielles est immédiat dans le cas assez fréquent où l'on ne fait varier qu'un seul des trois cléments qui définissent le triangle; et il est tout aussi simple d'y recourir, que de se reporter au tableau B pour y choisir la relation qu'il s'agit alors d'appliquer.

C'est d'ailleurs en faisant varier successivement et isolément chacun de ces trois éléments et faisant la somme des variations correspondantes d'un quatrième élément, qu'on établira géométriquement les relations générales.

Quelle est, en coordonnées astronomiques, l'équation d'un cercle de la sphère céleste, et en coordonnées géographiques, celle d'un cercle de la sphère terreur e9

Solution : Tout système usuel de coordonnées sphériques se rapporte à trois directions rectangulaires 0 (x, t/, z) menées par le centre 0 de la s})l)ère considérée.

CIIAP. I. — TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 19

Soient A et A' les points de rencontre de cette sphère avec lu direction Oz et la direction contraire Oc' (fig. 3). Les coordonnées d'un point quelconque M de la surface sphérique sont :

l" p = l'arc de grand cercle AM compris entre 0" et r..

2° J) = l'angle dièdre xOm formé par la direction Ox avec la direction Om, m étant à la rencontre du plan .cOy avec le demigrand cercle AMA', et D étant compté à partir de Ox dans un sens déterminé.

Le cercle C étant donné par les coordonnées P,,, D^ de son pôle S et par son rayon sphérique p ; son équation est fournie immédiatement par le triangle sphérique AMS qui donne

(1) cos p = cos Pq cos P + sin P,, sin P cos (Dp — D).

Si C est un cercle céleste et si dans (i) on remplace D^ , P„ et D, P par les coordonnées horizontales, horaires, équatoriales (Og, r^), ('o5 ^0)5 (-^^0? ^^0) t^6 S et (a, z), {t, z), (Al, 'I) de M on aura l'équation du cercle en coordonnées correspondantes.

Si G est un cercle terrestre et si dans (1) on remplace D,, , P,, et D, P par la longitude et la colatitude {'i^, Çq), {'I, ç) de S et M, on aura l'équation du cercle en coordonnées géographiques.

Enfin si on pose :

X =z sin P cos D, y = sin P sin D, z = cos P,

X, y, z seront les coordonnées rectilignes de M et l'équation (1) devient

cos p =: c cos Pg + ^ sin P„ sin D^ + x sin P^ cos P^ ou

cos p = xXq + U'Jo -^ "'o-

C'est l'équation du plan du cercle ; on aura les équations ordinaires du cercle en y joignant celle de la sphère

Exprimer le rayon qjlicrique p du pelit cercle circonscrit au triangle sphérique fonné par les positions de trois étoiles, en

20 LIVRE I. — MÉTHODES i;ÉNÉRALES DE CALCUL.

fonction : 1" des trois côtés a, h, c; 2° des trois angles A, B, G de ce triangle.

Solution : On Irouvera aisément les deux formules suivantes : 2 sin I a sin • h sin 1 c

Ksin p.sin (/j — a) sin {p — b) sin (p — c)

Vr

sin c

Ksin (A — i) sin (B — t) sin (G — e) dans lesquelles

On peut consulter à ce sujet la Trigonométrie de J.-A. Serret, 6® édition, p. 162.