CHAPITRE II

Développements en séries.

'ly . COS OC

[o Développer l'expression V = .^ ç^^^ (.^^ ^ ^ ^^^ ^*'* '^' ^^^ plus petit que 1, suivant les puissances ascendantes de n, en suivant la méthode des coefficients indéterminés.

Solution : Nous avons vu (n° 19 du Cours) que, pour n'- < 1, la fraction y est développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de n. Soit donc

n — cos X

1 — 2n cos X + n

— -, =z A(, + A^H + A,n- 4- ... + Ap7V' + ...

Chassant le dénominateur et identifiant les coefficients des mêmes puissances de n dans les deux membres, nous avons successivement

n — cosx=r Aq + H

Aj +n-

— 2A„cosx

— '2 Al cos. /■ + ...

— 2Aj,iCos.c

Ao 4- cos X =0,

A^ — 2\ cosx — i = 0, A, — -Aj cos X + A, = 0,

A„ — 2A;,iCos .-;■ + .\.-2— 0-

On voit que la relation qui unit trois coefficients successifs \-,,

Ap j, Ap, est exactement la même que celle qui unit cos {p — 2) x, cos {p — 1) X, cos p», car on a l'identité

cos px — 2 cos (p — i) 5C.C0S a; + cos {p — 2) = 0.

Comme A^ = — cos x, on aura donc généralement A^, = — cos (p -\- i) x et, par suite,

- = — (cosaî + ?icos2:<'+ ... +n''cos('p+ \)x-i- ...).

1 — 271 cos X + n-

sni X

1'^ Dévclo)ypei' l'expression -.' où rr est rtl^is

^-' ^ 1 — 2?ï cos X + n^

petit que 1, suivant les puissances ascendantes de n, par la

wêUiode des coefficients indéterminés.

Solution : Ou procédera de la même manière que pour l'exercice précédent et on trouvera

sinx . . -, „ • / ^\

r= sm ce + n sm 2jc + ... + n" sm (p + 1 ) a? + ...

1 — 2îi cos X + n*

Étendre, au cas de K <: 0, le développement en série de V équation tg y = K tg x, démontré pour K >> 0, au n° 18 du Cours.

Solution : Pour K >- 0 nous avons vu que

y =. mxo + X -\ — sin 2x + --- sin 4x- + ... + — sin 2wx + ..., 1 2 p

où m est un entier quelconque, déterminé par la valeur, en général

connue a priori, de y pour x = 0, et ou n = •

Dans le cas de K négatif, il suffit, pour rentrer dans le cas

précédent, de mettre l'équation proposée sous la forme

tg (- y) = (- K) tg X,