E'AE =z v'XE + w = ^ + u
^ = E'AP = rAP A = ^— A, l'équation (1) devient
(2) u cos |5 + u' C05 a = 0.
Mais
, dx . dx .
t' = w.sin 5, V = — - sin 2 = w • —— • sin z '' dO dt
si l'on désigne par :
6 l'heure stellaire comptée avec E sous le méridien origine Pm;
t = ojO l'angle horaire de E compté du méridien origine Pm;
X l'angle de EA avec EP, compté à partir de EP de 0 à 360° dans le sens rétrograde f ou de gauche à droite pour l'observateur ayant la tête en E et les pieds au centre de la terre. Cet angle détermine la position de A sur s.
9 la latitude PA du voyageur.
Par suite,
dx
(3) sin 9 cos [i + — sin z cos a = 0.
CIIAP. IV. — LIEUX TERFŒSTRES. 217
D'ailleurs, il est facile d'exprimer a, p, 9 en fonction âcx. Si l'on pose
EE'=2B, E'A = 2o', E'EP = m,
les constantes 2c, m sont fournies par le triangle EPE' qui donne les formules
cos 2o = cos '£ cos T + sin ^£ sin <£' cos {Jj — .1)'), sin 2o.cos m = cos 'i' sin l£ — sin T cos ^ cos (.^ — A/)-
Les variables 2$' et a sont données de même par le triangle E'EA qui fournit les relations
(4) cos 23' --= cos 2 5, cos s + sin 2o sin z cos {x + m),
(5) sin 2o' cos x = cos 2o sin z — sin 2o cos s cos (x 4- rn),
enfin ç et |3 se tirent des triangles PAE, PAE' qui donnent respectivement
(6) cos o ^=z co?, <2 cos 2 4- sin i£ sin z cos x,
(7) cos ^' = cos 2o' cos ç + sin 2o' sin ç cos p.
On voit que si Ton multiplie les deux memljres de l'équation (3) par sin 25' et si l'on y remplace ensuite sin 25' cos a, sin 25' sin 9 cos (5 par leurs valeurs tirées de (5), (7), on obtient
doc
l) sin 2— [ces 25 sin 2 — sin 25 cos 2 cos (x + m)] + (cos^' — cos9cos25')=0,
ou, en substituant à cos 0, cos 25' leurs expressions (6), (4) et résolvant par rapport k dt
,, , sin 2 [cos 25 si nj — sin25cos2cos(x + m)l dx
)) dt = ^^ —
(cos^cos^+sin^sinscosac)[cos25cos^4-sin25sin2:cos(a;4-m)] — cos2^'
Telle est l'équation différentielle qui donne x en fonction de t ou de 6, c'est-à-dire le mouvement relatif de A autour de E,
Cette équation (9) est ramenée à une quadrature, qu'on peut toujours effectuer, en suivant les règles élémentaires connues.
Pour abréger, nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter cette quadrature dans le cas général. Xous remarquerons seulement qu'en
dx vertu de l'équation (8), — est nul lorsque cos ^' = cos ç cos 2S',
c'est-à-dire lorsque l'angle É'AP est droit ou que la vitesse d'entraînement de A est dirigée sur E'. m
2° Examinons le cas particulier ou l'étoile E se confond avrc
l'étoile E, c'est-à-dire où le voyageur fictif poursuit directement E sous une hauteur constante. Alors on a 25 = 0, i£' = 'S, ^^ = 5' et (9) devient
(10) di —
ou
COS X 4- sin ^ cot z cos y en posant
et comptant »/ positivement dans le sens direct à partir de e . On démontre, dans tous les cours de calcul intégral, que
sin' z dx
sin ^ sin z cos z cos ic —
cos $ sin- ::
dt- . "y
[ — l si a'<:6%
h cos y 1
arc t-r . 1/ r ttî ~ si a*>b'
K^^^Tb^ y «+b "2
On aura donc, en appliquant ces formules au cas actuel, c'est-à-dire en posant
a = cos '^, 6 = sin f£ cot z,
et en les résolvant par rapport à tg ^'
(43) tg|=cot| = /.-^^ si tg'.-<tg'ir,
(U) tg| = cot| = /i'.tg|(t4-C') SI tg'.->lg'u^
C, G' étant des constantes arbitraires; h, k, h' , k' des constantes définies par
h = I A;^(^ + ^) f, ^ coséc 2.1/sin (i£ + z) sin {'I - z), V sin (^ — z) ^ ^
h' = I /sin (z + ^£) ^ ^, ^ ^^^ .^ Ksin (2 + f ) sin (j - iT) , y sin (z — '£)
les radicaux devant être pris avec le même signe, soit le signe plus, dans chacune des formules (13), (14), qui ne changent pas d'ailleurs avec ce signe.
1" Cas. tg- z < tg^ ^.
On emploiera l'équation (13) si l'on a
c'est-à-dire si le petit cercle a ne renferme aucun des pôles de la sphère céleste, et on déterminera C par la valeur initiale j/, de y pour t =: 0, c'est-à-dire par la formule
La dérivée de tg ^ a toujours le signe de G. La constante C est nulle ou infinie si l'on a ,
tg« ^ = /(.5 ou cos î/o = — cot 2.tg J,
c'est-à-dire si la position initiale A^ de A est l'un des points de contact p, q des cercles horaires tangents au petit cercle a.
Si tg — est positif et égal kh.C est nul et A^ est en p ; si Ig ^ est négatif et égal à — h, C est infini et A,, est en q. Dans l'une ou l'autre hypothèse, l'équation (13) se réduit à
y — J/o> et le point A reste en repos relatif autour de E soit en p, soit en ry,
résultat évident a priori puisque les vitesses d'entraineinent diurne des points p, q du cercle 7 sont dirigées dans l'azimut de E.
1° Si l'on a
- /t < tg ^ < h,
le point Aq se trouve sur Varc pe'q du cercle 7 et la constante G est positive. Le temps sidéral 6 ou l'angle horaire t de E croissant de ^
y — X à + 00 , tg - croît sans cesse de — /! à + h. Le voyageur A,
parti d'un point voisin de g à une époque voisine de t=^ — x , décrit l'arc qe'p dans le sens direct, en s'avançant constamment vers le point p qu'il n'atteint qu'à l'époque t = oc avec une vitesse nulle. La loi de variation de la vitesse de A est d'ailleurs facile à établir.
2° Si tg -^ est en dehors de l'intervalle — /i à + /i, le point A^ est
sur Varc peq de 7 et la constante G est négative, t croissant de — 00
à + X , tg - décroit constamment de — /; à — x , puis de + x
à + /?. Le voyageur A, parti d'un point voisin de ^ à une époque voisine de f = — x , décrit l'arc qep^ dans le sens rétrograde, en s'avançant constamment vers le point p qu'il n'atteint qu'à l'époque t ^ ce avec une vitesse nulle. La loi de variation de la vitesse de A est d'ailleurs facile à établir.
Nous dirons que l'arc qep est rétrograde, que l'arc ^e'p est direct et que p, q sont les points asymptotes du mouvement.
REMARQUES
1'' Dans les deux sous -cas, le voyageur fictif traverse le cercle horaire de l'étoile E, soit en e, soit en e' , à un certain moment. Prenons ce moment pour origine du temps sidéral ô, c'est-à-dire comptons t à partir du méridien terrestre qui coïncide avec PE à ce moment (p^g. 65).
Dans le premier sous-cas, nous aurons, pour l'arc direct,
y =z 0, pour t ^= 0\ par suite C = 1
et
Dans le deuxième sous-cas, nous aurons, pour l'arc rétrograde,
ce = 0, pour t = 0; par suite C = — 1 et
2° Les formules (15) et (10) s'appliquent ég-alement (fig. 66) soit aux arcs qe'p et qep du cercle (7j correspondant à une étoile boréale Ej pour laquelle ^ =^ S, -< 90°, soit aux arcs qe'p, qep du cercle ctj correspondant à une étoile australe E^ pour laquelle Sf = 3?, :> 90°. Mais l'arc rétrograde qep est plus petit ou plus grand que l'arc direct g e'jj suivant qu'il s'agit do Sj ou s^- Ces arcs sont égaux seulement lorsque 'I ==: 90°. Alors Ji t=z i et les formules (15), (16) deviennent
y Qkt 4 jf. gif \
3° Si, comme l'indique la figure, deux voyageurs difféi^ents A,, A, poursuivent, sous la même distance zénithale s, respectivement deux étoiles Ep E., dont les distances polaires sont liées par
les valeurs h^, h^ de /(, /.,, A-, de k seront liées par
Les lois du mouvement sur chaque arc, direct et i-élrogra<le, de Sj étant exprimées par (15) et (16), celles du mouvement sur les arcs rétrograde et direct de c.,, oppo:^és aux premiers deux à deux, seront exprimées aussi par les mêmes équations, après permutation entre X et y.
2^ Cas. Ig- r = tg^ ^.
Ce cas échappe aux formulss (K^) ctrl-i) qu'il rend illusoires, mais il est facile à traiter directement (fig. 67).
222 LIVRE m. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
1° Si l'étoile E, est boréale, on a cos $ >- 0 et, c étant toujours inférieur à 90°,
Par suite, l'équation différentielle (il) du problème devient 2 cos ^£ dt =z séc* \y .dy
et donne
tg I = (^ + C^) cos 2.
On voit que toutes les valeurs de y sont possibles.
Puisque 2 = $, le petit cercle c, passe par le pôle boréal P de la sphère céleste qui coïncide avec les points e, p, q- Si l'on prend pour méridien origine celui qui coïncide avec Pe' à l'instant où le voyageur Aj passe en e', la constante G sera nulle et l'on aura
(17) tg| = t.cos$.
Parti d'un point voisin et à l'ouest du pôle à une époque voisine de t = — 00 , le voyageur décrit Cj dans le sens direct et retourne au pôle qu'il n'atteint qu'à l'époque f = x avec une vitesse nulle. Sa vitesse, d'abord très petite, croît de P en e', puis décroît symétriquement de e' en P en passant par les mêmes valeurs, mais en ordre inverse.
2° Si l'étoile E^ est australe, on a cos '^ -< 0, et, par suite,
tg 2 = — tg y?, :; = 180'^ — % 2 cos ^ dt =z coséc- ^ dy,
— cot I = (t + C) cos ^.
On voit que toutes les valeurs de y sont possibles.
Puisque z =■ 180*^ — 2", le petit cercle 7j passe par le pôle austral P' qui coïncide avec les points e', p, q. Si l'on prend pour méridien origine celui qui coïncide avec P'e à l'instant où le voyageur Aj passe en e, la constante G sera nulle et l'on aura, en remplaçant y par 180" — x,
(18) — tg I = t cos ^.
Parti d'un point voisin et à l'ouest du pôle, à une époque voisine de t =z — 00 , le voyageur décrit g^ dans le sens rétrograde et retourne au pôle qu'il n'atteint qu'à l'époque t = ce avec une vitesse nulle. Sa vitesse, d'abord très petite, croit de P' en e, puis décroît symétriquement de e en P' en passant par les mêmes valeurs, mais en ordre inverse.
3° Si Ton avait z = 90*^, outre la condition tg^ z = tg^ if, on aurait aussi 'I = 90*^ et le cercle cr deviendrait un grand cercle Z décrit autour de l'étoile équatoriale E comme pôle. Les équations (17), (18) seraient alors
^ = 0, cr = 0.
Le voyageur, en repos relatif, n'aurait qu'à suivre le mouvement d'entraînement diurne, en décrivant son parallèle terrestre, d'un mouvement uniforme avec la vitesse w.
3e Cas. tg^ z > tg^ ij?.
La distance polaire '£ de l'étoile E est en dehors de l'intervalle ;: à 180° — r (fig. 68). On applique l'équation (14) :
1" Si l'on a iJ <: c, l'étoile est boréale en Ej et le petit cercle ^j renferme le pôle P. On a aussi
La vitesse
cos Lf => sin if.cot z.
— ^ = cos Se + sin ix cot z cos ;/,
a toujours le signe de cos $ ou le signe p??/s et ne s'annule jamais. Le voyageur A, décrit donc continuellement le cercle 7, dans le .sens direct, avec une vitesse croissante de c en e' et décroissante de e' en e. Si l'on prend pour méridien origine celui qui coïncide avec Ve' au moment où le voyageur passe en e', la constante G' est nulle dans la formule (14) qui devient
(i9) tg| = /.'.tg. |f.
2^ Si l'on a !£ >> 180" — c, l'étoile est australe en Ej et le petit
cercle z^ renferme le pôle P'. On a aussi
cos i£' <; — sin lî cot z.
La vitesse, jamais nulle, a toujours le signe de cos ^ ou le signe moins. Le voyageur A^ décrit c^ dans le sens rétrograde, avec une vitesse croissante de e' en e et décroissante de e en e'.
Si l'on prend pour méridien origine celui qui coïncide avec Pe au
moment où le voyageur passe en e, la constante G' := ± 77 dans la
formule (14) qui devient
3° Si, comme l'indique la figure 68, deux voyageurs différents Aj, Aj poursuivent, sous la même distance zénithale c, respectivement deux étoiles Ej, E, dont les distances polaires '^^, li", '^ont liées par
les valeurs h\, lu de /i', A-J, Aj de A' seront liées par
et la loi du mouvement direct de A, sur c^ étant exprimée par l'équation (19), celle du mouvement rétrograde Ag sur a, sera exprimée par la même équation, après changement de y en x.
4° Dans ce troisième cas, la durée de la révolution du voyageur
autour de l'étoile E est — — • *
ixik «
Cas singuliers. — Outre les trois cas généraux, on peut examiner quelques cas singuliers.
1° Si îî = 0 ou -, les pôles seuls de la terre répondent à la question tant que a est différent de ± 7:. Mais si l'on a simultanément S£' = 0, a =: ± -, tous les points de la sphère sont solutions.
2° Si a = 0 ou ::, le lieu cherché se réduit au cercle horaire de l'étoile.
