REMARQUE GÉNÉRALE

On peut vérifier très simplement la forme générale de ces résultats parla considération du parallélogramme des vitesses. Si l'on décompose dans chaque cas, la vitesse d'entraînement de A, entièrement connue' en deux autres, suivant les tangentes en A au vertical AE de l'étoile et au cercle a, la première de ces composantes sera la vitesse absolue et la seconde, changée de sens, sera la vitesse relative de A.

On voit ainsi immédiatement, sans calcul, que cette dernière vitesse est toujours dirigée et que, par suite, le mouvement de A a toujours lieu dans le sens indiqué précédemment.

On peut aussi, presque aussi simplement, mais d'une manière beaucoup plus complète, atteindre le même but en discutant la valeur de cette vitesse relative ou l'équation différentielle (11)

dy

-^ = cos f + sin ^ cot z cos y, ,

sans l'intégrer.

Position et orientation géographiques du voyageur. — Par

les formules qui viennent d'être établies, on connaît à chaque instant, c'est-à-dire pour chaque valeur de 0 ou t, la valeur correspondante de X ou y. Pour calculer, à cet instant, la longitude % la colatitude o du voyageur et l'angle q sous lequel il franchit son méridien actuel, il suffit de considérer le triangle sphérique PAE, dans lequel

PEr=^, EA = z, PEA=±a^ sont connus, tandis que les inconnues sont :

PAr^ç, APEr^±(t^), PAE =±5.

Ce triangle donne immédiatement ç, q, (f| t) par les formules de Delambre. Si l'on pose

on a

, cos H^ — ^) 4 *

»^^H^ + g) = ,-^^r(iT¥)^°'2'

sin H- — ^) .^

cot^|-l

cos 5 = cos 2 cos 2 + sin 2 sin z

cot* - + 1

Nous avons donné précédemment, en fonction de t, l'expression simple de cot ^ qu'il est inutile de substituer ici.

Route du voyageur à la surface de la terre. — Posons

,, cosH^-^) , sinH--^). 2» = ^ + - +9.

cos 1(2 + ^) 2 !,«-»- a;

Les trois dernières équations donnent

(21) T = arc tg./i" cot - + arc tg. k' cet-»

(22) q = arc tg . h' cot - — arc tg . k" cot - ,

a; . / sin p sin (^9 — ç) y sin (p — 2

(23) ^°t2 = Vs'MF^=^'^)^Ï^Û^^'

Nous avons établi précédemment, dans tous les cas possibles, la formule du mouvement relatif du voyageur autour de l'étoile. De cette

formule, on tire immédiatement t comme fonction connue /"de cot -.

ou

(24) ^ = f (cot fj - ^•

En égalant les valeurs (21), (2i) de t, on a l'équation de la roule

terrestre

25) % = f ^cot l") - arc tg . h" cot ~ - arc tg . k' cot ^ ,

OÙ l'on doit supposer cot - remplacé par sa valeur (23) en ç.

Par exemple, dans le premier cas, lorsque le mouvement relatif est donné par la formule (16), on a

. = r=|i(/> + cot|)-l((/.eol|).

Dans le troisième cas, lorsque le mouvement relatif est donné par la formule (19), on a

( = /-=|arclg.lcotï.

Établir directement les équations différentielles qui donnent la position et la route du voyageur précédent, sajis passer par l'étude de son mouvement relatif autour de l'étoile E qu'il poursuit sous une hauteur constante 90° — z.

Solution : 1° Rapportons toujours au même méridien origine, Pm, la longitude ^ du voyageur A et l'angle horaire t de l'étoile. Pendant le temps infiniment petit rfO, qui suit l'époque 0, l'étoile s'avance de EE' dans le sens du mouvement diurne et le voyageur, de AA' dans la direction AE (fig. 60), de telle sorte que les distances zénithales AE, A'E' aux époques Ô, 0 + de soient égales. L'équation du problème est donc