A'E' = AE
abaissons l'arc de grand cercle E'e perpendiculaire à AE. On aura, en négligeant les petites quantités du second ordre, l'équation é(juivalente
AA' =Ee,
228 'livre III. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
mais, si l'on appelle s l'arc de la route décrite par le voyageur sur la
terre, on a A A' ^ d s. D'ailleurs, Ee :=EE' cos eEE' = EE' sinPEA et EE' == sin ^.(i)d5 = sin lîdt, PEA = x. Par suite,
(1) ds r= sin 5 sin x.dt.
Abaissons, de A', le grand cercle A' a perpendiculaire à PA. Dans le triangle rectangle A A' a, on a
/\ AA' = ds, A'a =r sin ç.d^i, ka = — ds, A = g,
et, par conséquent, les formules
( sin 0 df = ds.sin f/ =r sin ^ sin x sin q.clt,
(2) ■ ' " ^ ' ^ ^ ( — do =z ds.cos q z=z sïn '^ sin x cos q.dt,
qu'on peut aussi tirer du tableau B (n° 16 du Cours) des équations différentielles, appliquées au triangle PAE où l'on ferait varier seulement le côté AE de ds.
Mais le triangle PEA donne les relations
sin X sin ^ sin {t — . ^)
^ sin ç) sin ^ sin z
(4) cos ^ = cos 0 cos z + sin o sin z cos q.
Si l'on en tire sin x, sin q, cos q en fonction de '^,o, Z, {t — U) pour substituer dans (2), on obtient immédiatement
(5) ^ — sin^ g coséc' ^ . sin" (t — 'I),
(6) —^ = sin î£ coséc* z (cos 9 cos 2 — cos $) sin {t — T).
2" La solution précédente est géométrique et tout à fait directe. On peut aussi facilement établir les équations (5), (6), par des transformations algébriques, aussitôt qu'on a obtenu l'équation (11) de l'exercice précédent,
dv ^ . ^
-^ = cos 2. + sm X cot 2. cos y,
dt
et avant toute intégration.
Outre les relations (3), (4), le triangle PEA donne encore
(7) cos 9 = cos ^ cos z — sin ^ sin z ces y,
(8) sin s cos q = cos '£ sin :: 4- sin ^ cos z cos y,
les relations (8) et (4) permettent d'écrire de suite et successivement
— - rr: sin 9 cos CI coséc :: = coséc' z (cos 'X — cos s cos z). dt '
Si l'on désigne (t — T) par x, on voit immédiatement, soit par la géométrie, soit par l'une des formules différentielles du tableau B (n*^ 16 du Cours), que
Qonc
d'où
-— = sin z cosec o cos g, dy
dz , d'i d- dy
-— =:! , =---—-=: cos- q,
dt dt dy dt ^'
— = sin^ q = sin' ^ coséc* 2. sin* (t — 'X).
D'autre part, la relation (7) différentiée donne successivement, en ayant égard aux relations (3) et se rappelant que y = 180° — x,
— sin o do =^- sin ^ sin z sin y.dy = sin X sin 9 sin -z.dy
= sin 9 sin ^ coséc z sin t sin 9 cos g df,
ou, en remplaçant sin 9 cos q par sa valeur tirée de (4),
-p = sin ^ coséc* z (cos 9 cos 2 — cos îî) sin (i — if).
3" Si l'on divise membre à membre les équations (2), on a
d^ sin 9 • —- = — tgq, do
ou, en tirant cos q et, par suite, tg q de l'équation (4) et résolvant par rapport à d^,
-777,- sin* 9 sin* z — (cos ^ — cos 9 cos z)* — s
sni* 9 (cos Sr — cos 9 cos z)
pour l'équation difTérentielle de la route terrestre du voyageur. Son intégration se réduit à une quadrature.
En intégrant (5), (6), (9), on retombera sur des résultats établis dans l'exercice précédent. Il y a là, pour le lecteur, un nouvel exercice de calcul.
En terminant, remarquons que la deuxième équation (2), après substitution à cos q de sa valeur tirée de (4), devient
ds = — sin z
sin 0 do
cos lÊ — cos 9 cos z et s'intègre immédiatement. Elle donne
s + C rzr tg z J (cOS ^ — COS 9 COS z).
Si on compte le chemin parcouru s à partir du point où la latitude est Ço, on aura
cos tS — cos c cos z
(10) ou
&■=: Xg: z.l
cos '■X — cos Oo cos z
(11) cos 9 = cos ^ séc :r — (cos ^ séc 2 — cos o^) 0'-'^'%
équations qui permettent de conclure s de 0 seul, ou inversement 9 de s seul.
