CHAPITRE V
Parallaxe et aberration diurnes.
Étudier les variations de la différence entre les latitudes géographique 0 et géocentrique o' d'un point de la surface terrestre.
Solution : On sait que (n° 208 du Cours)
t& ?' = — tg^ ? = cos* f tg 9,
en posant, entre l'excentricité e de l'ellipsoïde terrestre et f, la relation
e = sin f.
On tire de là
tg 0 sin* f
tg(? — ?') =
1 + COS* f tg^ Ç
La valeur de ç rendant (9 — 9') et, par suite, tg (9 — 9') maximum ou minimum, lorsque 9 varie de — ^ ^ + -5 sur un même méridien, satisfait à l'équation
tg' 9 r= Séc' f, OU
tg 9 = ± séc f.
Le signe + répond au maximum
tg(? — ?')= I sin* /".séc f, le signe — répond au minimum
tg(? — ?') = — i sinVséc A
qui ont lieu respectivement pour
tg 9 = séc f, tg o' =^ cos f, d'où tg 9 tg 9' = 1, et pour
tg 9 = ~ séc f, tg 9' = — cos f, d'où tg 9 tg 9' = 1, c'est-à-dire pour
Si l'on pose
la valeur e^ de e correspondante au maximum ou au minimum est donnée par
•-o "^OT — — "-o i n sensiblement par
e„, = ±(lfy=± (i e)\
ou, si l'on remplace e par sa valeur numérique 0,08169,
Il est facile de construire les points m, m' du méridien qui répondent au maximum ou au minimum de 9 — 9'.
Par le foyer F du méridien (fig. 10), menons la perpendiculaire^ FA jusqu'au cercle principal et transportons A F en PA'; le rayon OA' aura la direction correspondante à 9', car
^ ^., A'P AF acosf . , ,
tgPOA'=.— = -=:-^=C0S/=tg9,
le point m est l'intersection de OA' et de l'ellipse méridienne; inter-
pa: a . . ^., .
section qu on construit en prenant z— - = -•> joignant OA^ qui coupe
le cercle principal en M et menant l'ordonnée de M, laquelle rencontre OA' en m. Le point m' est symétrique de m par rapport à PO.
En m et m' , les bissectrices de l'angle formé loar la verticale et le rayon terrestre font un angle de 45° avec l'équateur.
Établir directement les formules de la parallaxe en négligeant son carré.
Solution : Soient (fig. 71) :
0 le centre de la terre; 0' un point de sa surface; 0 (ce, y, z), 0' (^'j y\ ^') clsux systèmes parallèles d'axes rectangulaires;
(p, a, p), {r, A, B) les coordonnées polaires de 0', E vus de 0 et (r' , A' , B' ) les coordonnées polaires de E vu de 0' , savoir :
p =00', [3 =-00', a := angle des plans 20a;, zOO', r =CE, B = ^OE, A= id. zOx, zOE,
r'=0'E, B' = s'0'E, A' = id. z'O'x', z'O'E.
Les coordonnées rectilignes correspondantes (;, •^, t) de 0', {x, y, z) de E relatives aux axes 0 et (x' , y', z' ) de E relatives aux axes 0', sont données par les formules
x' ■= r' sin B' cos A', x =: r sin B cos A, ^ = p sin j3 cos a, y' z=. r' sin B' sin A', J/ = î' sin B sin A, r, := p sin ^ sin a, z' = r' cos B', z = r cos B, ^ = P cos ^;
mais on a, entre les coordonnées rectilignes, les relations
et, par suite, entre les coordonnées polaires, les relations correspondantes
/ r' sin B' cos A' = r sin B cos A — p sin (i cos a, (1) i r' sin B' sin A' = r sin B sin A — p sin ^ sin a,
( r' cos B' =: r cos B — p cos p.
234 LIVRE m. — LA. TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
Posons :
}•' = r -f- dr, B' = B 4- dB, A' = A + dA,
les quanlités dr, dB, rfA étant de petites quantités dont nous négligeons les carrés et produits. A ce degré d'approximation, les équations (i) peuvent s'écrire
, — rsinBsinA.dA + rcosBcosA.ff B + sinBcosA.dr^: — ^,
(2) ] +rsinBcosA.dA4-}'cosBsin A dB 4- sinBsin A.dr = — y;,
l — rsinB.dB + cosB.dr = — s-
Mais le système (2) peut se mettre successivement sous la forme (3)
/ rsinB.dA= 5sinA — r,cosA=: psin^sin(A — a),
(3)|rcosB.dB+sinB.dr= — ;cosA — -/jsinAr^ — psinPcos(A— a), (rsinB dB — cosB di'=: !; = pcos^,
et sous la forme (4)
.^ }' sin B.dA = p sin ,3 sin (A — a), (4) 1 r dB = — p sin [î cos (A — a) cos B + p cos g sin B,
( dr = — p sin [î cos (A — a) sin B — p cos ^ cos B.
Si nous posons
g sin Y = sin ^ cos (A — a), g cos Y = cos P,
les formules (4) deviennent
A' — A = p sin ,3 sin (A — a) coséc B, ^ B' — B = /jgr sin(B — y), }•' — r = — pg coè{B — y),
ou bien
/ A' — A = p sin ^ sin (A — x) coséc B,
(5) ^ B' — B = p cos ^ sin (B — y) séc y,
( r' — r = — p cos ^ cos (B — y) séc y,
CIIAP. V.
avec
-^5 tg Y == tg [î COS (A — a).
1° Parallaxe en coordonnées équatoriales. — Si nous prenons pour axes coordonnés, ceux qui servent à définir l'ascension droite Jj et la distance polaire ^, il faut poser :
A =r: ,^ et A' r=: ^^', ascensions droites ) , , , /-, ^, B = f et B' = S', distances polaires \ "^^ ^ ™ de 0 et 0 ;
a = 6 l'ascension droite de 0', ou l'heure sidérale locale pour 0'; ^ =: o' la colatitude géocentrique de 0'.
Les formules précédentes donnent alors
tg Y = tg 9' cos (,fb — 0), ( Â)' — À) ^ P sin 9' sin (A) — 6) coséc ^, j S ' — S = p cos 9' sin {'I — y) séc y, ( r' — r = — p cos 9' cos (^ — y) ^^c y-
2° Parallaxe en coordonnées horizontales. — Si nous prenons, pour axes coordonnés, ceux qui servent à définir l'azimut a et la distance zénithale z, il faut poser :
A. = a et A' = a' azimuts ) , t- ^ ^^ . r^,
^ ^, , ,. . , , [ de E vu de 0 et 0 ;
B = z et B = z distances zénithales )
a. = 0 l'azimut de 0' ;
^ =: 9' — 9 différence des colatitudes géographique 9 et géocentrique
9'deO',
et les formules générales deviennent
tg Y = tg (9' — 9) cos a, la' — a = p sin (9' — 9) sin a coséc z, l z' — z z= jj cos (9' — 9) sin {z —-y) séc y, \ r' — r = — p cos (9' — 9) cos {z — [, éc y-
3° Parallaxe en coordonnées méridiennes. — Si nous prenons, pour axes coordonnés, ceux qui servent àVléfinir l'angle horaire t et la
jdeE vu deOet 0';
distance polaire $, il faut peser :
A. ■= t et A.' = t' angles horaires B = ^ et B' = ^' distances polaires
a = 0 angle horaire de 0';
^ =^ o' colatitude géocentrique de 0',
et l'on a :
^S ï = ^'ë ?' cos t, ■ t' — t ::= p sin o' sin t.coséc ^, I $' — S = 2^ cos o' sin (SS — y) séc y, \ r' — r =: — p cos o' cos (l£ — y) séc y.
REMARQUES
1° On sait que le rayon p du point 0' a pour expression très approchée
p = po 1^1 — e* cos' 9 = a V i — 2 s cos* o ,
en désignant par p^ le rayon équatorial et par e l'excentricité ou e l'aplatissement du globe terrestre. On en tire, très approximativement encore,
P = Po (1 — £ cos- ç).
Par suite, la parallaxe horizontale p de E, pour le lieu 0', peut s'écrire
p = ^ = ^Vl — £ COS* o) = P (1 - £ cos' ç),
au même degré d'approximation, et en désignant par P la parallaxe horizontale équatoriale de l'asti'e.
2° Les parallaxes en ascension droite et distance polaire, de beaucoup les plus usitées, sont mises, pour chaque observatoire, sous une forme commode dans les applications numériques.
En prenant pour unité de longueur la distance moyenne a^ du soleil à la terre, on a
p VV ?o ^
en appelant jf) la parallaxe horizontale équatoriale moyenne du soleil, R le rayon terrestre du lieu 0' mesuré avec p^ et D la distance CE de l'astre au centre de la terre mesurée avec a^. Il vient alors
,fb' — .^ = îtJ - sin 9' sin {Jh — 6) coséc ^,
T — ^ = trJ - cos o' sin (^ — y) séc y, D' — D = — d R cos 9' cos (il — y) séc y,
ou bien, en exprimant A^' — ih en secondes de temps et -çj en secondes d'arc,
l A' ^^ = — sin {J{^ — e) coséc ^,
^' f z= sin (1-2 - y) séc Y,
D' — J) = — n cos (y^ — y) séc y- sin V,
avec
m = 7^ î^R sin o', n = îi>Rcosç'. lo
Pour l'observatoire de Besançon, en prenant -d = 8", 848, on a :
tg Y = (Ï,9G88) cos {A, — 0), log m = 1,6033, log n =z 0,8106.
3° On a toujours
(i = J{,+ t — ^k' -h t', par suite,
