La dernière équation (4) peut s'écrire

dj' r= cos B cos P + sin B sin j3 cos (A — «) = ces u,

ou

r' = r — p cos u,

en appelant u l'angle EOO' sous lequel, du centre de la terre, on voit la distance de l'astre à l'observateur. Ce résultat est d'ailleurs évident géométriquement, si l'on projette 0' sur OE en 0', car, à notre degré d'appro-ximation, O'E = O'E = OE — 00'.

97^ Exercice. j

Démontrer géométriquement les formules de la parallaxe, en \ négligeant son carré.

Solution : Soient (fig. 7?) :

0 le centre de la terre pris pour celui de la sphère céleste;

0' un point de la surface terrestre de rayon p = 00', de colatitude

géographique cp et géocentrique 9'; P le pôle nord de la sphère céleste, Z' et Z les points où cette sphère

est rencontrée par la direction 00' et celle de la verticale en 0'; e la position géocentrique d'un astre E, éloigné de OE = r; Oe' le rayon parallèle à O'E.

Il est clair que P, Z, Z' sont sur un même grand cercle représentant le méridiendu lieu 0';queZ',e,e' sont aussi sur un même grand cercle déterminé par le plan O'OE et que e' est la position de E vu de 0'.

Posons : dans le triangle ZZ'e,

ZZ' =: 0' — ? = '^j Z' e = tt, e = w, ee' = ou, nous aurons :

/ cos M = cos (]^ cos z + sin >l sin z cos a,

(1) I sin u cos w = cos à sin z — sin -b cos z cos a, ' sin u sin iv = sin 6 sin a,

a et z désignant les coordonnées horizontales géocentriques de e, savoir :

a = Z' Ze, z = Ze.

Le triangle PZ'e, dans lequel nous posons e = v, donne de même

( cos M = COS 9' cos 2 + sin 9' sin ^ cos t,

(2) \ sin u COS v = cos 9' sin '■X — sin 9' cos ^ cos t, \ sin u sin v = sin 0' sin t.

D'ailleurs, le triangle rectiligne OO'E donne

,3j Sit = - sin n = p sin \i = - sin cj sin m,

en définissant p, r.J, II, D comme dans l'exercice précédent.

1° La projection du petit arc ee' , sur Pe, donne les parallaxes en coordonnées méridiennes

g^^cMCOst', sin ^ ot = cit sin V.

2° La même projection donne les parallaxes en coordonnées l'quatoriales

Z<^ =: -.u cos V, sin ^ 0.1? = — oit sin r.

3° La projection de ee' sur Ze, donne les parallaxes en coordonnées horizontales

oz = Zu.cosio, s'm zca=.ou sin w.

Ces expressions sont d'une simplicité remarquable. En tenant compte des relations (1), (2), (3), il est d'ailleurs facile de leur donner la forme usuelle (exercice 96).

Chercher la courhe diurne apparente décrite sur la sphère céleste pour l'observateur 0' , par un astre E, en vertu de sa parallaxe p.

Solution : Rapportons les positions apparentes A', P' de E au point M dont la position, sur la sphère céleste de centre 0', est définie par A, P, c'est-à-dire se trouve sur la direction O'M parallèle à OE. La courbe cherchée étant très petite, comme p, se trouve sensiblement dans le plan tangent en M à la sphère 0' . Par M (fig. 13), menons le petit cercle perpendiculaire à O'z' et le grand cercle contenant O'z' ou parallèle à ZOE. Menons en outre les tangentes MX, M Y à ces cercles respectivement et du côlé des A, B crois-

sants. Dans un système quelconque de coordonnées astronomiques nous aurons, pour les coordonnées rectilignes X, Y de la position apparente e de E,

X = sinB.dA, Y = dB,

ou, en vertu des deux premières relations (4) de l'exercice 96%

X = p sin [3 sin (A — a), Y = -p sin ^ cos (A ~x)cosB+p cos (3 sin B, et, par suite, en éliminant (A — a),

(1) ^' 0' — p cos (3 sin B)* __

(P sin ^y {^p sin (3 cos Bf ~ ^'

Soient I la projection de 0' sur Oz et H celle de I sur OE- on a évidemment, en appelant o) l'angle lEO ou la parallaxe de l'astre lorsqu'on passe do 0 en I,

IH OI.sinB p '^ — ~~ = - cos 3 sin B=p cos ^ sin B.

Menons le rayon O'G de la sphère 0', parallèle à lE. Le point G tombera sur le cercle horaire Z'Y de M et l'on aura, pour ses coordonnées Xo, Y„,

Ao =: 0, Yq = w = 2^ cos [â sin B.

Le point G représente, sur la sphère 0', la position apparente de E vu de L II ne coïncide avec M que si l'une des quantités p, cos (3, sin B est nulle. Nous arrivons ainsi au théorème suivant :

A une époque quelconque du mouvement diurne de 0' la ' position apparente e de V astre E se trouve, dans tout systènie de coordonnées astronomiques, sur une ellipse déterminée, de centre G dont le grand axe p ^m ,3 et le petit axe p sin (3 cos B sont respectivement parallèles à MX et M Y.

Gette ellipse a sin B pour excentricité et pour équation, relative aux axes M (X, Y), l'équation (1) dans laquelle X, Y sont les coordonnées courantes.

1" Parallaxe en ascension droite et distance polaire. —

Pour le système de coordonnées équatoriales, les axes 0 («, y, z) sont fixes dans l'espace, comme les directions OE, JE. Les axes 0' (x' , y' , z') sont animés d'une translation définie par le mouvement de 0' qui décrit le parallèle terrestre de centre I. Pendant cette translation, les axes 0' {x\ y' , z') restent parallèles à 0 {x, y, z) et les coordonnées de M, G, relatives à ces axes mobiles, restent invariables. Le point e décrit autour de G, dans le sens direct, l'ellipse a dont l'équation est

X' ^ (Y-pcosy'sinf)'^^

{p sin 9')' {p siu 0' cos ^)* '

ellipse invariable en position et grandeur, que nous appellerons ellipse de parallaxe diurne.

2° Parallaxe en angle horaire et distance polaire. — Dans

le système des coordonnées méridiennes, les axes 0 (x, y, z) tournent avec la terre dans le sens direct en entraînant les axes 0' (ce', ?/', z') qui leur sont liés invariablement. Geux-ci peuvent être considérés comme animés de la translation précédente et d'une rotation autour de O'z' égale à celle de la terre autour de Oz. Relativement à ces axes, les points G et M décrivent des parallèles célestes, d'un mouvement uniforme, en un jour sidéral, autour de Z' comme pôle, entraînant avec eux l'ellipse c sur laquelle se trouve toujours e.

3° Parallaxe en azimut et distance zénithale. — Dans le système des coordonnées horizontales, les axes 0(x,y,z), 0' (x' ,y' , z') tournent aussi avec la terre et e reste sur l'ellipse a. Mais e se trouve aussi sur l'ellipse a', variable de position et de grandeur, ayant pour équation

X" (Y' — p cos (J> sin z)- __

{p sin 'ly {p sin ^ cos z)-

dans laquelle à = (f' — g et X', Y' désignent les coordonnées courantes.

Menons par le centre 0' de la sphère céleste de l'observateur, des rayons parallèles à Taxe du monde, à la verticale de 0', au rayon

teri'estre 00' et à OE. Ces rayons aboutiront sur la sphère respectivement aux points P, Z, Z' situés sur un même grand cercle et au point M. Il est clair que l'on aura, dans le triangle PZM (fiy. 14),

VI = 0, ZM = z, VU = %

et que

en conservant les notations de l'exercice 96.

L'équation (3) de l'ellipse 7' est rapportée aux tangentes MX', M Y', au petit cercle horizontal et au cercle vertical ZM qui se coupent rectangulairement en M, ces tangentes étant prises dans le sens des a et z croissants.

Il est clair aussi que l'équation (2) de l'ellipse j est rapportée aux tangentes MX, M Y au petit cercle de pôle P et au cercle horaire PM qui se coupent rectangulairement en M, ces tangentes étant prises dans le sens des Ai et ^ croissants.

La position apparente e de l'astre E est un point de rencontre de ces deux ellipses.

En général, les axes de l'ellipse g sont de l'ordre de p et ceux de l'ellipse 7' sont de l'ordre de p sin (o' — ;j), c'est-à-dire beaucoup plus petits, même nuls si on néglige l'aplatissement de la terre. Dans cette hypothèse, a' se réduit à son centre ayant pour coordonnées

X; = 0, y; =: p sin z,

et se confondant avec e à l'intersection de c; avec le vertical ZM prolongé.

REMARQUE

Il est clair que la trajectoire relative de forme et position invariable, décrite par e dans le plan tangent en M, par rapport aux axes M (X', Y'), s'obtiendrait en éliminant a, z entre les trois relations

— = sin 'il sni a.

— =: cos 'b Sin z — sm 'b cos z cos a, p ' ■ '

cos l£ = cos 0 cos z — sin 9 sin z cos a, mais cette tr.ijectoire est beaucoup moins simple qu'une ellipse.

Passe)' directement des coordonnées X, Y aux coordonnées X', Y' de e.

Solution : Sur la figure 74 de l'exercice précédent, on voit qu'une rotation q autour de M des axes M (X, Y'), dans le sens des azimuts croissants par rapport à ZM, amène MX en opposition directe avec MX', et M Y' en coïncidence avec MY'. On a donc, pour la transformation des coordonnées de e, les formules connues

X' = — X cos qr — Y sin g, Y"' := — X sin g + Y cos q ;

mais on voit, par les relations (4) de l'exercice 96^, que

— = — sm o sm t,

- := — sin o' cos 'X cos t + cos ç' sin ^, p

donc

— = sin s' (sin i cos g + cos t sin q cos yj) — cos !p' sin q sin sf,

— = sin tp' (sin t sin q — cos i cos q cos ^) + cos çp' cos q sin ^,

mais, en vertu de formules connues de la trigonométrie sphérique (exercice 2"^), le triangle PZM donne :

sin q sin ^ = sin a sin s, sin f cos g -4- cos t sin g cos ^ = sin a cos ç, sin f sin g — cos t cos q cos ^ =:'sin o sin z — cos ç cos z cos a,

cos g sin ^ =: cos ç sin c + sin s cos 2 cos a. Par suite,

— = sm (? — z>) sm a,

-- = cos W — s) sin 2 — sin {o' — s) cos 2 cos a,

valeurs qui résultent efiectivement des relations générales (4) de l'exercice 96«.

Chercher la courbe résultmite décrite par un astre, en vertu de la parallaxe et de Vaherration diurnes.

Solution : Le phénomène de l'aberration a été étudié dans le Cours. I! nous suffira d'en rappeler ici le caractère essentiel, dans toute sa généralité.

Supposons connus les mouvements, dans l'espace, d'un astre et de l'observateur, rapportés à trois axes rectangulaires fixes. Soient E et 0 leurs positions respectives à l'époque t. Parmi les faisceaux lumineux de rayons parallèles, émis par E, à cette époque, dans toutes les directions, un seul atteindra l'observateur en 0' à l'époque t' , postérieure à f de la quantité t. Il est facile de déterminer i et la direction EO' (fig. 75).

Désignons par x', y' , z' les coordonnées de 0' fonctions connues de t', par X, Y, Z celles de E, autres fonctions connues de t, par V la vitesse de la lumière; nous avons la relation

(1) {Y.y = (X - x'Y + (Y - y' y + (Z - zy = f(t, t'\

/"étant une fonction connue aussi de t et t' ou t et t. Cette relation donne •: ou V et, par suite, la position de 0' dès que t est donné.

Sur la tangente en 0' à la trajectoire 00' de l'observateur, portons, en sens contraire de sa vitesse -u' à l'époque t', une longueur O'Oj =: -y'-c et joignons O^E. L'observateur, à l'époque (', ne verra pas l'astre dans la direction O'E' sur laquelle il se trouve réellement, mais dans la direction OjE.

Si la durée - nécessaire à la lumière pour franchir la distance EO', tandis que l'observateur décrit l'arc 00' de sa trajectoire, est assez faible pour que les points 0 et Oj se confondent sensiblement, le résultat précédent peut s'énoncer ainsi :

La direction apparente de l'astre à l'époque t' est sa direction vraie à l'époque t' — -.

Cet énoncé ne s'applique pas à l'aberration diurne des étoiles pour lesquelles x compte plusieurs années. Il s'applique sensiblement aux planètes pour lesquelles t est faible et compte seulement quelques minutes.

Si C est le centre de la ferre, Cz son axe de rotation, les points Oj et 0 décrivent, en vertu du mouvement diurne, deux cercles de même centre I sur Gz et de même plan perpendiculaire à Cz. Si nous transportons les deux cônes ayant ces cercles respectifs pour bases et E pour sommet, de telle sorte que E occupe le centre de la sphère céleste ou l'oeil de l'observateur, ils couperont cette sphère : le premier suivant la courbe résultante cherchée, le deuxième suivant la courbe de parallaxe. Ces courbes sont deux ellipses concentriques semblables et semblablement placées.

Pour une étoile dont la parallaxe diurne est toujours insensible, l'ellipse résultante se confond avec l'ellipse d'aberration. Pour une planète, l'ellipse résultante se confond sensiblement avec l'ellipse de parallaxe; mais la position vraie de la planète sur cette ellipse à l'époque t n'apparaît à l'observateur qu'à l'époque t + t.

Démontrer géométriquement , d'un seul coup, les formules de parallaxe et d'aberration diurnes.

Solution : Si l'on se borne aux quantités du premier ordre, il est facile d'établir ces formules en quelques mots. Soient (fig. 16) :

0 le centre de la terre;

Oz son axe de rotation dans le sens de la flèche f;

0' un observateur de colatitude géocentrique ç>', situé à la surface

sur le parallèle de centre m ; O'a la perpendiculaire abaissée de 0' sur le cercle horaire zmy de

l'astre; E (,l), $) un astre quelconque.

1° Pour passer de 0 en 0', on peut suivre la ligne brisée OmaO'

formée des trois droites rectang:ulaires dont les longueurs

Oni = p' cos (j.', ma = p' sin o' cos (,L — 6),

= p sin 5 cos ' sin (.1 — 6),

aO' = p' sin 9

s'expriment immédiatement en fonction de ç', de Ai, de l'heure sidérale 0 en 0' et du rayon terrestre p' de 0'. Au lieu d'imaginer qu'un observateur fictif passe ainsi du centre de la Terre à la surface 0' pour évaluer le changement dans la direction visuelle de l'astre, laissons cet observateur immobile en 0 et imaginons que l'étoile se déplace suivant la ligne brisée Em'a'Y.' dont les côtés sont égaux, parallèles à ceux de OmaO' , mais de sens contraire. La direction OE' sera parallèle à O'E et, à notre degré d'approximation, les parallaxes seront, en désignant par )• la distance OE,

(1) B^ = a'IE' z=^= -^^= - sin o' sin Lh — 6) coséc %

/ cLf = EOa' = EOm' — a'Ow'

^ M = ^ cos ©' sin S — - sin 0' cos (.1) — 0) cos 1.

Si, dans 5^, l'on supprime le premier terme, indépendant de 6 et répondant au déplacement Om, il ne reste plus qu'un terme périodique avec 6 et l'on a les formules de parallaxe lorsqu'on passe de m à un point quelconque du parallèle de 0'.

Si, dans ces dernières formules, on remplace — par le rapport — de

la vitesse diurne v de 0' à la vitesse V de la lumière et 6 par G — ^5 il est clair qu'on a les formules de l'aberration diurne.

2° La démonstration suivante est encore plus simple. Considérons la sphère céleste géocentrique 0, de rayon 00' et le triangle PO'e déterminé sur elle par les directions Oz, 00', OE allant du centre 0 de la terre au pôle nord, à l'observateur 0' et à l'astre E {fig. Il)- Dans ce triangle,

0'e = M, PO' =9', Ve = % 0'Pe = f, PeÛ' = t'.

menons par E une droite EE' égale et parallèle à 00', mais de sens contraire; la direction OE' est parallèle à la direction O'E et coupe la sphère en e'. Menons, en outre, l'arc de parallèle e a. Le petit triangle eae' peut être considéré comme rectiligne, rectangle en a et donne immédiatement :

ee =zou = -:iinu, ea=zo^hs'm(X = ousinv, ae' =o^ = cmcosi',

mais le triangle PeO' donne, d'autre part,

sin u sin v = sin 9' sin t,

sin tt cos i' = cos z>' sin '£ — sin 9' cos if cos t.

On conclut :

il) 0,1^) r= — sin 0' sin t coséc $ z= — ■ sin 9' sin (,l) — 0) coséc 'I,

:2) z'I = ~ cos 5' sin 2 — ^ sin o' cos Lh — 6) cos ij?, ■»• ' r

formules de parallaxes qui se transforment, comme nous l'avons dit, en formules d'aberration.

REMARQUE

Nous n'avons considéré, dans cet exercice, que les parallaxes en ascension droite et déclinaison. Les mêmes considérations sont applicables aux parallaxes dans les autres systèmes de coordonnées qui se déduisent d'ailleurs immédiatement de zX^, 0^ par une simple transformation indiquée dans les exercices précédents.

3° L'ellipse de parallaxe résulte immédiatement aussi des équations (1), (2). Mais elle s'obtient directement comme symétrique, relativement à E, de l'intersection du cône ayant E pour sommet et le parallèle terrestre de 0'' comme base, avec une sphère céleste de centre E, de rayon Em.

Cette sphère peut se remplacer en m par son plan tangent. L'angle

O'EOj, correspondant à deux positions opposées de 0' sur son parallèle, est très petit et, en négligeant son carré, bissecté par Em. La courbe d'intersection est donc une ellipse dont le centre répond à

la direction wE, le grand axe — sin ç' à l'angle O'EOÎ lorsque l'angle

horaire t de l'étoile est ± 90°, le petit axe — sin o' cos ^ à cet angle

en E lorsque t =z 0° ou 180°.

L'ellipse d'aberration s'obtient de la même manière.