LIVRE IV
LE SOLEIL
0)1 détermine simultanément, à midi vrai, les longueurs d'ombre solaire l, V des gnomons de hauteur h, h' , en deux points A, A' situés sur un même méridien et à une distance d commue. Déduire de là le rayon terrestre K.
Solution : L'observation au gnomon (fig. 78), donne les distances zénithales z, z' du soleil, en A et en A', par les relations
Si c'est au même midi vrai que répondent les dislances zénithales z, z' du soleil aux points A, A' d'un même méridien, on aura la différence de latitude de ces points par la formule
Connaissant a exprimé en degrés, d la distance A A', on aura le rayon terrestre par la relation
La première mesure de la Terre a été faite par Eratosthènes à l'aide de cette méthode. Elle est décrite avec détails dans le Cours de M. Paye, t. I, p. 240.
En un jûHi' et en un lieu donnés, sous quel angle, à quelle hauteur et à quelle heure vraie le centre du soleil traverse-t-il u)i vertical ZV d'azimut donné a?
Solution : On résout ce problème comme s'il s'agissait d'une étoile (voir le 54« exercice), en prenant d'abord pour la déclinaison iD du Soleil sa valeur moyenne pendant le jour considéré. Ayant trouvé une première valeur pour l'angle boraire du Soleil ou l'beure vraie t, on recommence le calcul en prenant pour 'i^ la déclinaison correspondante à cette valeur de t, et ainsi de suite jusqu'à ce que les résultais ne changent plus.
On veut pointer une lunette de théodolite à champ circulaire Sy, sur le Soleil de coordonnées horizontales a, z. Entre quelles limites peuvent varier les coordonnées a^, z^ de l'axe optique déterminé par les centres du champ et de l'objectif; en d'autres termes, quelle doit être la précisio7i du calage pour que le Soleil soit entièrement visible?
Solution : Soient (fig. 19) :
Z le zénith de l'observateur;
G, S les centres du champ et du Soleil ;
0 = es leur distance angulaire;
A le demi-diamètre apparent du Soleil,
Posons :
«g = a 4- a, Zq^ Z -^ t.
Le triangle sphérique ZGS dans lequel
es = C, CZ ^^ 2q, ZS rr: S, Z :=: a,
donne
(1) CCS 0 = cos :: cos 'q + sin csin :roCos a = cos'^ — 2sin^sinrosin^ •
Pour que le Soleil soit entièrement visible, il faut la condition (2) 0 H- A < ï ou c < Y — A,
qui contient celle-ci : A <; v, évidente d'ailleurs a priori. L'inégalité
(2) dont les membres sont toujours positifs et notablement inférieurs à 90°, équivaut à la condition
(3) cos 0 > cos (y — A),
ou
. j a cos !; — cos (y — A) sin f (y + ^ — A) sin \ (y — u — A)
2 2 sin 2 sin (2 + Q sin z sin {z -4- l)
qui, avec une approximation suffisante, peut s'écrire
sm"" z sin-
La condition (-4) est évidente géométriquement, si l'on abaisse l'arc S M perpendiculaire sur ZC, et si l'on considère comme recliligne le triangle rectangle SMC dans lequel
SC = c, MG = L:, SM = asin2.
Ce triangle donne effectivement
l^ = 'C -\- a} sin^ z,
ce qui ramène la condition (2) à la forme (4).
L'inégalité (-4) donne les limites égales et contraires de a correspondantes à chaque valeur de ^ Les limites de Z, sont d'ailleurs fournies par la condition
sans laquelle l'inégalité (4) serait impossible.
REMARQUE
La même question sera résolue pour une étoile si l'on fait A = 0 dans les formules précédentes.
Connaissant, à un certain moment, la déclinaison 2) du Soleil S et sa distance zénithale z pour un lieu de latitude ç, calculer le temps que met cet astre à traverser le fil horizontal d'une Iwiette pointée sur lui, à ce moment. '
Solution : Si l'on désigne par t l'angle horaire du centre du Soleil au moment considéré, on a, par le triangle PZS, !
(1) cos 2 r= sin 9 sin 2) + cos 5 cos 2) cos t.
Pendant que le Soleil traverse son almicantarat ou le fil de la lunette, 2) peut être regardé comme constant. La difTérentiation de l'équation (i) donne donc
sin z.lz =: cos z, cos 2) sin t.^t.
Mais le même triangle donne, en désignant par a l'azimut du Soleil,
cos 2) sin f := sin a. sin z, par suite,
(2) Iz = cos o.s'm a.ot,
si 2 A est le diamètre apparent du Soleil, 6 le temps qu'il met à traverser le fil, on aura
cos 9 sin a a se calculera d'ailleurs aisément au moyen de 9, 3), z, par la formule (4) sin 3) = sin 9 cos 2 — cos 9 sin z cos a.
REMARQUES
1° Si l'on connaît trois des quatre quantités 0, A, 9, a, la quatrième est déterminée par la formule (3).
Dans le cas particulier de z = 90", cette formule donnera le temps mis par le disque du Soleil à traverser l'horizon, soit à son lever, soit
à son coucher. Si l'on veut, dans ce cas, tenir compte de la réfraction horizontale r, il faudra prendre z = 90" -f- r.
2° Dans une observation du Soleil au sextant, le temps 2 G, que met l'image doublement réfléchie de l'astre à traverser l'image vue directement sur un miroir horizontal ou sur un bain de mercure, correspond à une variation de distance zénithale égale à 4 A. Si l'on a mesuré ce temps en observant les époques des contacts extérieurs des deux images, on aura
cos © sin a
pour déterminer A; et réciproquement la mesure préalable de A permet de calculer 26 à un moment donné.
Pour un lieu de latitude ç et un jour donné, calcider le temps 6 que met le Soleil à traverser un vertical d'azimut A déterminé par le fil vertical d'un théodolite.
Solution : Soient (fig. 80) :
Z le zénith de l'observateur ;
S le centre du Soleil, t=:ZPS, a = MZS son angle horaire et son azimut lors du premier contact en m du disque avec le vertical ZV
d'azimut A = MZV;
S' le centre du Soleil, t' = ZPS', a' = MZS' son angle horaire et son azimut lors du deuxième contact en m' du disque avec ZV.
Les arcs de grand cercle S m. S' m' sont égaux au demi-diamètre apparent A du Soleil pour le jour donné et perpendiculaires à ZV. Les distances polaires PS, PS' du Soleil sont égales très sensiblement, vu la faible durée de ô, et complémentaires de la déclinaison 2) du Soleil au moment d'un contact. Il est d'ailleurs évident que
Pour calculer ( considérons les deux triangles sphériques PZS et ZmS.
Posons :
180° — a = PZS = X, mZS = tj, ZS = z, |
nous aurons d'abord
(1) X — lJ=: 180" — A,
puis, par le triangle PZS,
(2) sin 2) = sin ç cos 2 + cos s sin z cos x, et, par le triangle Z»iS,
(3) sin A = sin 2 sin ij,
les équations (i), (2), (3) déterminent x, ij, z en fonction de A, 5,2), après quoi t est donné par la formule
(4) cos 2 = sin ç sin 3) 4- cos s cos 2). cos t. 5^'
on aura (' par un calcul analogue.
On prendra d'aljord, dans la Connaissance des temps, pour 3) la valeur moyenne de la déclinaison du Soleil, le jour considéré, ce qui conduira à des valeurs déjà très approchées de t, t' . Si l'on veut une grande exactitude, on recommencera le calcul en prenant pour ^ la déclinaison du Soleil à l'une des époques t, t' ou mieux à l'époque moyenne ^ {t + t').
Dans le cas particulier de A = 00° ou lorsque le vertical ZV est le premier vertical, le calcul est très simple. On a successivement :
— ?/ = 90° — X, — sin A = sin z cos x,
(5) sin 3) = sin 5 cos z — cos o sin A
= sin- 9 sin 3) + sin 9 cos 9 cos 3) cos t — cos 9 sin A,
ou, en divisant (5) par cos 9,
(6) sin 3) cos 9 = sin 9 cos 3) cos t — sin A,
(7) cos û = tg 3) cot 9 + sin A coséc 9 séc 3).
La formule (6) peut d'ailleurs s'obtenir directement en prolongeant
l'arc «;S jusqu'à sa rencontre en N avec le méridien PZ, et remarquant que, si A = 90°, les côtés du triangle PSN sont PN = ç, PS = 90° — 2), NS = 90° + A, tandis que l'angle N PS = 180° — t. Ce triangle donne, en effet, immédiatement la relation (6) si on exprime le cosinus de NS en fonction des deux autres côtés et de l'angle qu'ils comprennent.
On verra de même que, pour A = 90",
cos t' = tg il) cot 5 — sin A coséc s séc ®, on tire de là cos t — cost' ='2 sin l {f + t) sin { {f — f) = 2 sin A . coséc ç . séc 2),
c'est-à-dire
2 A. coséc o.séc 2)
lo.sinT
en posant
Solution approchée. — Nous venons de donner une solution rigoureuse, mais on obtient de suite une solution très approchée en remarquant que si l'on trace les petits arcs de parallèle SyS' et de grand cercle SaS', ces arcs se confondent sensiblement, de sorte que le point Y où le centre du Soleil traverse ZV et le point a où l'arc de grand cercle SaS' coupe SV sont à une distance ay négligealjle.
Les triangles spbériques Saw, S'am' sont égaux comme rectangles en m, m\ ayant les angles égaux en a, et les côtés S ni. S' m' égaux. Le point a est donc le milieu de l'arc SaS' et l'on a
S m = S a. cos q, par suite,
2A = SaS'.cos q — SvS'.cos q,
en désignant par q l'angle parallactique du Soleil lorsqu'il est en y-
Si donc on a calculé cet angle, toujours de même signe que A, par
la formule
sin q =■ cos 0 séc '^ sin A,
que donne immédiatement le triangle PZy, on aura
15 cos 'S) '15 cos q cos ^)
REMARQUES
Le cercle horaire Pa prolongé coupe le parallèle S y S' en son milieu p. Le triangle afây est très petit; il est d'ailleurs facile à résoudre. L'angle y est connu et égal à 90° — q ; l'angle ^ est droit et l'on a pour le côté a [5
a3 = P^ — Pa = PS — Pa.
Mais dans le triangle sphérique PaS, rectangle en x, on a
PS =: 90° - 2) = ^, P = i (*' - 0 == 17 9,
il donne
tgPa=: tg^.cos P; par suite, la série
Pa = l^ — tg^ iP.sin2S + ..., et sensiblement
ai3 = I P' sin 2$ = { P» sin 2®,
on peut donc résoudre le triangle a^y.
Le Soleil traverse le vertical en y à l'époque t^, aisément calculable (exercice 103); il est en ^ à l'époque v (f + f) et
(3y , atS.tgg
15 cos ^ 15 cos iD '
ou
^o = - + ^O'.sinÛ^.tgg.
L'axe optique d'une lunette de théodolite est dirigé sur le point connu A {a, z) du ciel, après une rotation préalable i du fd horizontal dans le plan du réticule. Étudier le passage du soleil dans la lunette relativement à ce fil.
Solution : Cet exercice est une généralisation des exercices précédents. Nous avons vu (exercice 55) comment les coordonnées horizontales a, z du point A permettent de calculer : 1° Les coordonnées méridiennes t, p du pôle Q du grand cercle qq' déterminé sur la sphère
cileste par le plan du fil considéré et de l'axe optique de la lunette
(fig. 8i); 2° l'arc m = AB ou la position de A sur qq' , relativement au point de rencontre B de ce grand cercle avec PQ prolongé. Nous supposerons donc m, t, p connus, ainsi que les coordonnées ,1), ^ du centre du Soleil et son diamètre apparent 2 A. Nous supposerons en outre A), 'I, A invariables pendant la durée du passage. Soient :
S une position quelconque du Soleil à une époque locale solaire vraie 0, voisine du passage;
■: l'angle QPS compté à partir de PQ positivement vers l'ouest
comme l'angle horaire ô ou ZPS à partir de PZ; d la distance correspondante de S au grand cercle qq' .
Le triangle spkérique PQS dans lequel nous posons
PQ = p, PS = ^, QS=:90°-d,
QPS = T, PQS = u, PSQ = V,
donne les relations (i) sin d r=: cos ^ cos 2 + sin p sin i£ cos t,
(2) cos ^ =r cos p sin d + sin p cos d cos m,
(3) cosp := cos l£ sin d + sin 2 cos d cos v.
On a d'ailleurs
une valeur approchée de 6 calculée préalablement avec a, z, 'S, par le triangle PZA, détermine le signe de (6 — t) ou x.
Epoques des contacts du disque solaire avec le fil et du passage du centre. — Si, dans la formule (1), on pose successivement :
d =z ± A, d = 0, d =: rp A,
en prenant les signes supérieurs ou inférieurs suivant que t est positif ou négatif, et, si l'on en tire les valeurs correspondantes
'd '^05 '^2 ^^ ^j '^s heures solaires vraies,
e, := i + II, Go = t + T„, % = t + tj,
seront celles du premier contact, du passage du centre et du deuxième contact en c,, I et c,.
t258 LIVRE lY. — LE SOLEIL.
Positions des points c,, I, c, sur le fil et sur le Soleil. — Si,
de iiièiiie, tlans les formules (2), (3) on fait successivement
d = ± A, cl = 0, cl =z zf 1,
en prenant les signes de cl d'après celui de t, et si l'on en tire les valeurs correspondantes ^l^, u^, n^ de u, t\, Vq, i\ de r, on aura les positions de c^, c, sur le disque solaire en por(ant sur sa circonférence, à partir du point [nord n et à l'est, les arcs
nc^ = 180° + Vj, nc^ = i\.
Les positions de c,, I, c^ sur le lil, rapportées à A, s'obtiendront en portant dans le sens convenaJjle
Aci = m + u^ — r, AI = m + u^ — t., Ae, = m + n., — t..
L'angle sous lequel le Soleil traverse le fd est d'ailleurs r^.
REMARQUES
1° Pendant la durée de sa révolution diurne, sous la distance polaire ':S supposée fixe, le Soleil prend des positions symétriques deux à deux, par rapport au grand cercle PQ qu'il traverse aux heures vraies t, t + t., pour lesquelles sa distance au point Q atteint son minimum ou son maximum qui sont égaux, en valeur absolue, respectivement à (2 — p), {'^ + p)-
A cette symétrie, correspondent pour t, u, v deux valeurs égales et de signes contraires fournies par les équations (1), (2), (3) pour chaque valeur de d. Prises ensemble, les valeurs positives de t^, Tq, Tj donnent les contacts et le passage à l'ouest de PQ; les valeurs négatives donnent les contacts et le passage symétriques à l'est de PQ. Les premiers ou les derniers sont seuls visibles dans la lunette suivant que A est à l'ouest ou à l'est de B, c'est-à-dire suivant que m, calculé suivant l'exercice 55'', est positif ou négatif.
On voit d'ailleurs aisément que, pour certaines valeurs des données, les 4 contacts peuvent se réduire à 3, 2, 1, 0.
2° Pour que les trois points Cj, I, c^ soient effectivement visibles
dans une lunette à champ circulaire de diamètre 2y, il faut en outre
que l'on ait
V>Acj, AI, Acj.
3" Si, dans l'exercice actuel, on suppose i = 0, i = 90°, on retombe sur les deux précédents.
4° Avec une approximation suffisante, on peut traiter le problème en remplaçant la spbère par son plan tangent en A ou le plan du réticule.
5'^ En faisant A =: 0, dans ce qui précède, on obtiendra les diverses circonstances du passage d'une étoile.
i08« Exercice.
Etudier les circonstances du j^assage d'une étoile ou du Soleil, de position connue S (Ai, if), à travers le réticule circulaire d'une lunette astronomique pointée sous une direction connue.
Solution : On donne le nom de réticule circidaire à une plaque de verre transparent, à faces parallèles, placée dans le plan focal principal de la lunette et sur laquelle une circonférence opaque est gravée avec soin.
L'axe optique de la lunette est alors, par définition, la droite joignant le centre du cercle réticulaire au centre optique 0 de l'objectif.
Prenons le point 0 pour centre de la sphère céleste et soient (fig.Sî):
P le pôle de cette sphère ;
Z le zénith de l'observateur ; o sa colatitude ;
A le point de la sphère située sur l'axe optique;
m le petit cercle de pôle A, découpé sur la sphère par le cône ayant
0 pour sommet et le cercle réticulaire pour base; Sp Sî les positions du centre du Soleil lorsque son disque touche
extérieurement w aux points c^, c[; Sj, Sj ses positions de contact intérieur en c^, c'{, t,, t\ et f,, t\ les angles horaires de Sj, SJ et S^, S^; A le demi-diamètre apparent du Soleil au moment du passage; Y le demi-diamètre angulaire Acj du cercle réticulaire; «, z les coordonnées horizontales et û, ;> les coordonnées méridiennes
correspondantes du point A; q l'angle parallactique PAZ du point A.
Nous supposons connues les quantités Jh, ^, A, y, ç>, a, z et nous nous proposons de calculer d'aljord les circonstances du passage du Soleil.
1° Calcul de t, p, q. — Le triangle PAZ dans lequel on connaît
les côtés PZ = ç, ZA = 2, et l'angle Z = 180" — a donne immédiatement f, p, q par des formules qu'il est inutile de reproduire ici.
A l'époque solaire vraie t, la distance des centres du Soleil et du réticule atteint son minimum égal à la valeur absolue d de (y? — p). En comparant d aux valeurs absolues s et B de (A + y) et (A — yj, on voit immédiatement les traits saillants du passage, nombre et nature des contacts entre le disque solaire et le réticule, réunis dans le tableau ci-contre qui renferme les 5 cas possibles.
I. d >► s. — Pas de contact. Le Soleil passe au nord ou au sud du réticule, suivant que 'X est inférieur ou supérieur à ip.
IL d =■ s. — Un seul contact extérieur, sur PA, au nord ou au sud du réticule, suivant que y? est inférieur ou supérieur à p.
IIL 0 '^c d ^cs. — Deux contacts extérieurs. Le Soleil traverse la partie nord ou sud du réticule, suivant que ^ + A est inférieur ou supérieur à p + y-
IV. d z=l. — Deux contacts extérieurs et un seul intérieur, sur PA, au nord ou au sud du réticule, suivant que 'X — A = p — -( o\x que ^ + A =p -H Y-
V. d <; 0. — Deux contacts extérieurs et deux contacts intérieurs.
Au moment d'un contact intérieur unique, ou entre deux contacts intérieurs consécutifs, le réticule contient le disque solaire tout entier ou est, au contraire, entièrement contenu par lui, suivant que A est inférieur ou supérieur à y-
Supposons que le V^ cas ait lieu.
2° Époques et positions des contacts. — Le triangle sphérique PAS, dans lequel on connaît les trois côtés PA=p, PS, = ^, ASj =: A -f- Y donne ses trois angles S,, A et P = t, par les
formules
/ ces (y 4- A) = ces p cos ^ + sin p sin '■X cos Tj, (1) I cos p =z ces 'I cos (y + a) + sin ^ sin (y 4- A) cos Sj,
\ cos 5 = cos p cos (y 4- A) + sin p sin (y + A) cos A.
On a ensuite
c'est-à-dire les heures solaires vraies et locales des contacts extérieurs.
L'angle Sj compté vers l'ouest à partir de SjP donne la position de Cj sur le disque solaire, rapportée au point le plus boréal u° de ce disque. Le même angle, compté vers l'est, donne la position de c[ sur le disque. Ces deux points de contact sont symétriques par rapport au cercle horaire du centre de l'astre.
L'angle A, compté vers l'est ou vers l'ouest à partir de AP, donne la position de Cj ou c[ sur le cercle m, à partir du point nord u' de ce cercle ; et, par suite, le même angle, porté sur le cercle réticulaire, à partir de son point sud, vers l'ouest ou vers l'est, donne les positions des l'^'" et 2^ contacts extérieurs.
Enfin, les angles A — ^ et A + g, portés sur ce réticule à partir de son point le plus bas, respectivement vers l'ouest et vers l'est, donnent encore les positions du l""" et du 2° contacts extérieurs.
En changeant le signe de A ou répétant les mêmes calculs pour le triangle APSj, on obtiendra les époques t^, t'^ et positions c^, c'^ des contacts intérieurs.
3" La durée du passage est t[ — t^. La durée pendant laquelle le Soleil est tout entier dans le champ vaut t'^ — t^.
4° A l'époque solaire vraie t = ^ (t^ + t[) =: ^ (t^ -f- Q la distance du centre du Soleil au centre du champ atteint son minimum (:X — p).
50 Pour étudier le passage d'une étoile E (A), ^) par un micromètre circulaire, il suffit de faire A = 0 dans les considérations précédentes.
REMARQUES
1° Pendant le passage du Soleil à travers le réticule circulaire d'une lunette, les quantités (y -t- A), (p — 1£), t, sont généralement assez
petites. Si on néglige leurs cubes dans la première équation (1) et leurs carrés dans les deux autres, ces équations deviennent, avec une approximation suffisante,
/ (t + A)^= (^-i.?4-(.,sin^)S C2) ($-p)= (y + A)cosS„
et donnent Tj, Sj, A par les formules très simples
= {s + cl) (s — d) coséc- ^,
Géométriquement, cette approximation revient à remplacer la sphère céleste par son plan tangent en A; et, S étant la position du Soleil la plus voisine de A, à regarder le triangle AS^S comme rectiligne, rectangle en S, ayant pour côtés
ASi = v + A = s, AS = i?— :?3, SS^^T^sinS.
2° Pour une position quelconque z du centre du Soleil sur son parallèle céleste, définie par la grandeur de l'arc A 7, le triangle
sphérique PAc donne f angle APj et, par suite, 0 =^ t — A Pc. Lorsque A 7 est égal à (y + A), (y — \) respectivement, 9 est égal à t =p Tj, t + 'a- Lorsque A 7 =: y, le centre du Soleil est sur la circonférence réticulaire.
Déterminer le rayon d'un micromètre circulaire par le pasmgc du Soleil.
Solution : Lorsqu'on emploie le micromètre circulaire pour l'observation des taches du Soleil, il est bon de déterminer son rayon par le passage même de cet astre, parce que les erreurs personnelles dans l'observation ne sont pas les mêmes pour le limbe solaire que pour une étoile.
Soient (fig. 83) :
R le demi-diamètre apparent du Soleil ;
® sa déclinaison ;
Sx et 2-c' les durées qui s'écoulent respectivement entre les deux
contacts extérieurs en e, e et les deux contacts intérieurs en e', e'
du disque solaire et du réticule ; X la distance CI du centre du réticule au parallèle S S décrit par le
centre du Soleil, distance dont l'observateur dispose a ji^iori.
On a, pour déterminer x et le rayon /• du réticule, les deux relations évidentes
qui donnent
( (R -t- Vf =x'- + (15 T cos 3))% { (R — r)^ = .c" + (15 -' cos ^3)\
rno 'Y'i
