CHAP. II. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
en posant
'^ ~~ — K + 1 '~ ir=rî — h'
on aura immédiatement
— y := mw + X + ~- m\ 2x + ... M sin '2px + ...
tj = — MîiT) — X sni '2x — ... sin 2»a; — ...
lîî'^ Exercice.
Sur une sphère de rayon un, on donne un arc de grand cercle CB = a. Par le point B on mené un grand cercle BAy dans une direction variable, faisant Vangle B avec la direction fixe CBa?. De G on abaisse un grand cercle CAz perpendiculaire à By. On
propose de développer en série Vangle zCx, en supposant a<: ^•
Solution : Le triangle rectangle ABC (fig. 4) donne cos a =: cot G cot (:: — B),
ou
tgG = séc«.tg fB — ^)-
Il suffira donc d'appliquer à l'équation (l) la série (22) du n° 18 du
Cours, en posant
T. séc a — 1 ^ , ,
y = C, x = r, — -, n—-^. -r^tg^-^a.
'' 2 sec a + 1
On obtient ainsi
1 ( pair +
G — 90° 4- B — tû- i a sin 2B + . . . ± - tg-^' ' «sin 2/)B ...\p . ■
série d'autant plus convergente que a est plus petit.
24 LIVRE I. — Ml'rniODES GÉNÉRALES DE CALCUL.
On tire de là, pour les variations simultanées, oB, :C, de B et G,
$G = 2B — 2 tg- i a cos (2B + cB) sin $B + ...
± - \fp l, a cos ^ (2B + cB) sin p oB ...
ou bien
$C=:oB 4- 2y± -to-'' i«cos« ('2B H- cB) sin «BB . « i'''"^ "^ -^2^ f impair —
Nous trouverons une application de cette dernière série dans la théorie de la lunette méridienne à grand champ.
Trouver la fornvde générale donnant /es coefficients a^,, h^, de la série de Fourier, lorsqu'on connaît les valeurs de la fonction il (z) que représente cette série, pour wi certain nombre de valeurs équidistantes de la variable.
Solution : Soit
(1) (L(r) =: Og + Oj cos c + o, cos 2c 4- ... + a^, cos pz + ... + b^ sin r + b, sin 2r H- ... + &j, sin pz + ...
Supposons connues les valeurs de 6 (z) pour les q valeurs 0, — ?
2 — '? ••• m- —y •■■ (q — 1) — '• On aura entre les coefficients q q q
q équations qui détermineront «,,, a^, rt^, ..., a^ et 6j, b,, b^, ..., b^, si on néglige les coefficients suivants comme insensibles et si (2^) + 1) est au plus égal à q.
Cette détermination se fait élégamment de la manière suivante : Multiplions les deux membres de l'égalité (i) par cos p'z, p' étant un entier positif comme p. Nous aurons
(2)(i(c)cosp'z=:«oCOS2j'c + ... + ^ a^cos(p + jî') 3 + -|a^cos(p — p')z +
+ ^bpSm{p +2^')^ + j^pSn\{p — p')z +
o Si dans (2) on substitue successivement à z les q valeurs 0, —y
(.-.IIAP. Il, — DÉVELOPPEMENTS EN SÉP.IES. tio
2 — j ••• (ry — l) — et si on ajoute membre à membre les éofalité.s résullanles, on a
(3) 21'^ ^^'"^ ^°^ ^^'''" ~ "o^t^os p'z,,^ -^ ...
+ I «..^co.s (2J + 2?') -,„ + I a^2*^^'^ (/' — P') '■" + •••
en posant
Sm = Wl — ^
et. étendant le sij^ne > aux valeurs entières 0, 1, 2, ... (ry — 1) de m.
Mais on sait (tbéorème I, n° 24 du Gouns) que les sommes de sinus qui, dans le second membre, multiplient h^, sont toujours nulles, tandis que les sommes de cosinus qui multiplient a^ sont égales à q ou nulles suivant que j9 -i- p' , p — p' sont ou non multiples de q, c'est-à-dire suivant que
j7 =: rq — p' ou rq ■+- p' ,
r étant un entier positif. L'équation (3) se réduit donc à
2 •!/ (r,„) cosp'r,,, = ,7 ^ («.,-,,- + a,, + ,)
ou, en prenant jj' =^3, et remarquant que le coefficient a p est nul puisqu'il n'existe pas dans la série,
iii ^7 — 1
On démontrerait de mémo, en multipliant (1) par sin p'r, que (5) ^ ^ (:,„)sinpr,„ = Lib^, - h,, + />, + „ - ^,, , + b,,+,.- ...). Les formules (4) et (5) sont ligoureuses , et si nous supposons
26 LIVRE I. — MKTHODES GKNÉR.VLES DE CALCUL.
2p <: q ou p -<. q — ]:> >> ^ ' les termes qui suivent a^, h^ dans les parenthèses doivent être néglip:és et l'on a :
avec une approximation d'autant plus grande que q est plus grand et p plus petit, puisque les erreurs commises sur a^, h^ sont sensiblement égales à — a,j-p et + h^^p.
CIIAP. m. — ERREURS ACCIDENTELLES. 27
