LIVRE IV
LE SOLEIL
Vérifier numériquemod les lois du 'mouvement elliptique du Soleil.
Solution : L'observation du Soleil à la lunette méridienne donne, pour chaque jour, l'ascension droite, la déclinaison et le diamètre apparent du Soleil. De l'ascension droite et de la déclinaison, on conclut la longitude; du diamètre apparent, on conclut le rayon vecteur. On a donc tous les éléments nécessaires au calcul d'un tableau tel que le suivant :
Longi
tude.-
Diamètres
Rayons vecteurs Rayons
Dates.
obseï
vées
observés.
conclus.
d'après l'elliiise.
Janvier.. . , 1
Janvier. ... 21
Février .... 10
Mars 2
Mars 22
Avril 11
Mai 1
Mai 21
Juin 10
Juin 30
Juillet 20
Août 9
Août 29
Septembre. 18
Octobre.... 8
Octobre.... 28
Novembre . 17
Décembre.. 7
11 un
jour.
En un jour.
Dates.
km
jlepai
'couru. Rayon vecteur.
Aire décrite.
Janvier...
IF
Mars
Juin
Septembre
Novembre
Quel est le lieu des points de rencontre, M des rayons correspondants F m d'anomalie vraie 0 et Ora' d'anomalie excentrique ii?
Solution : Soient (fig. 86) :
e = cos 'b, p = FM, p' = OM, c == Of n^ a ces 6. On sait que
(1) tg| 0 = Cot-^ 'i;.tg ^ «, et le triangle OMF donne
sin u sin 0 siu (0 — it)
On aura le lieu cherché en coordonnées polaires p, 0 ou p', ît si l'on élimine p', u ou p, 0 entre les équations (1) et (2). Éliminons p' et u. Nous avons immédiatement, en éliminant p' entre (2),
p (sin O.cot a — cos 0) = a cos 'b, mais
cot u = ^ cot I H — { tg 2 u,
ou, en vertu de (1),
COS 'i> — I— cos 0
cot t{ = i cot J 'l cot J 0 — I tg ^ -J; tg 1 0 == ^ ■ ^-^- 5
' ^ - ' "^ ^ Sin 'l sin 0
par suite,
a sin '!< cos à
cos '!/ + (1 — sin 'b) cos 0
Le lieu est une ellipse ayant même foyer F et même grand axe de symétrie que l'ellipse solaire.
Etudier la projection de Vellipse solaire sur le plan de Véquateur.
Solution : Cette projection est une autre ellipse dont il est facile de trouver l'équation en coordonnées polaires, prenant F pour pôle et le rayon vecteur F;' du point vernal pour axe polaire.
Désignons le rayon vecteur par r' , nous aurons
r = )' cos 21) = »• r ;
cos ^h
mais on sait que
r=- 77— ^—rr' tgî=:séca).tg.l>, séc'i=l + séc*w.tg'Ai.
1 + ecos(i — 1>)
Par suite,
a (1 — e') . cos l séc ,h a (1 — e') séc A)
[ -h e cos xà cos i + e sini^ sin l ecosi;> + séci + esini:>tgi
ou
a (i — e*) séc Jb r=
e cos i;^ + e sin îij . séc (0 . tg cl) ± Kl + séc* w . tg* jt
ou encore,
e cos lo . cos c-b + e sin ir> . séc w . sin ^h ± Kcos* di + séc* ta . sin* ^h
En posant
X = r' cos ,1), 1/ =: r' sin ^l),
cette équation devient, en coordonnées rectilignes, [x.e cos rj + y.e sin îij séc 0) — a (1 — e*)]* = x* + t/' séc- o. Posons D = e cos Cj . cos Jh + e sin d . séc w . sin ^la ± |/cos* ^l» + séc* w . sin* ^-b)
en prenant devant le radical le signe + ou — suivant que l et Jh se
trouvent dans le l^"" et le 4® ou dans les 2® et 3^ quadrants, c'est-à-dirè
suivant que cos Jh est positif ou négatif.
r' sera maximum ou miuinmm en même temps que — • Or, on a
les valeurs de Jj qui rendent D minimum ou maximum, en résolvant l'équation en J?,
ou
, . , ■ ^ . 1 . i • sin.^ccos^ -.
— ecoswsindi + esmosectù.coScti ±tg-a) -:=0y
l^cos- Al + séc* 0) sin'cl?
qui se transforme aisément par l'emploi de la relation
tg ^^ = tg l COS lù,
en celle-ci
— e cos c> cos^ (0 sin l + e sin xr> cos l ■+• sin- w sin Z cos i =: 0, que nous retrouverons et résoudrons dans le 123'^ exercice.
Quelle est la courbe formée sur la terre par les lieux qui voient rigoureuscàtcnt le Soleil à leur zénith, au moins une fois par an?
Solution: Supposons la terre sphérique; prenons, pour origine des longitudes, le méridien qui passe par le centre du Soleil au moment de l'équinoxe du printemps; comptons le temps en jours sidéraux à partir du moment où le Soleil passe à son périgée, et soient :
tj l'époque de l'équinoxe; t une époque quelconque;
JId, iD les coordonnées équatoriales du Soleil à cette époque; ^, Cf. les coordonnées géographiques du lieu qui voit alors le Soleil à son zénith.
On a évidemment
mais si l'on désigne, suivant l'usage, par w, e, V) l'obliquité, l'excentricité, la longitude du périhélie de l'orbite solaire; par n, l l'anomalie excentrique, la longitude; par n le moyen mouvement en un jour sidéral ; on a les formules connues
tg A « = ^/nr, *s- ^ (^ - ^)'
(2) \ nt =^ u — e sin m,
1 sin îD = sin l sin w, \ sin ^% =: tg £t).cos (0,
l'élimination de X, Q), l, u, t entre les équations (1) et (2) donne
immédiatement, pour équation de la courbe, résolue par rapport à l£
[f = — t^ — arc sin (cos w tg o) + - (« — e sin m),
en posant
u =z2 arc tu' . 1/ ia: ~ (arc sin sin o coséc w — lo).
Dans le cours d'un an, la courbe se compose de deux spirales, l'une descendante du .solstice d'été au solstice d'hiver, l'autre ascendante du solstice d'hiver au solslice d'été suivant, sensiblement symétriques-; par rajjport aux cercles horaires de ces solstices et composées chacune de 183 spires environ. Ces deux spirales découpent, chaque année, la surface de la terre en petits quadrilatères. Le Soleil passe zéro, une, deux fois au zénith d'un lieu, pendant cette année, suivant que ce lieu est à l'intérieur, sur un cùté ou sur un sommet de l'un quelconque de ces quadrilatères.
Calculer l'angle que fait, à un moment donné, le parallèle du Soleil avec la trajectoire spiralo'ide de son mouvement diurne apparent.
Solution : En vertu de son mouvement propre composé avec le mouvement diurne, le Soleil paraît décrire, sur la sphère céleste supposée immobile, une courbe en spirale comprise entre les deux tropiques.
A l'époque sidérale 0 d'un méridien PM, soient (fig. SI) :
S la position du Soleil; I
t son angle horaire; ' Jk>t 3) ses coordonnées équatoriales;
0.1), V3} les variations de ^\), \S} en une seconde sidérale. ^
A l'époque sidérale voisine, 0 -4- d6, le Soleil sera en S' relativement
à PM; son angle horaii'e et sa déclinaison seront respectivement
CIIAP. II. — MOUVKME.Vr ELLIPTIQUE DU SOLEIL. 275
t + dt et [i) -h d'J). On aura
a étant le point de rencontre du parallèle de S et du cercle horaire de S'.
Mais il est clair que
S'a = d'^ = BM^.rfÔ, Sa = (U.cos [S) = -15 (1 — o.i) dO.cos 'd\ d'où
's ' = 15 (1 - sa.) ''° ® = i (■' + '-^ + -^ ''° ^'-
Avec une approximation très suffisante, on peut adopter la formule (1) i = -— sec 2».
REMARQUE
1° Il est facile d'exprimer i en fonction de la longitude /. du Soleil. On a, en effet,
sin 2) = sin Lsin w,
G) désignant l'obliquité de l'écliptique. On tire de là, pardifférentiation,
cos iD.olî) = cos ^.sin w.c/, et, par suite,
sin w.cos l
cos- co + sin'' 0) cos'' L
ol étant, au moment pour lequel on calcule i, la vai'iation de l (M1 une seconde sidérale.
Si on regarde II comme constant ou le mouvement du Soleil autour de la Terre comme sensiblement circulaire et uniforme, les valeurs màxima et rainima de i auront lieu pour les valeurs de l vérifiant l'équation
sin l (sin- w cos- l — cos' o)) = 0,
qui se réduit à sin l = 0, car w étant plu.:; p.etit que -45", on ne peut avoir cos- / =: cot^ oj.
Le maximum + 3',8 de i, à notre degré d'approximation, a lieu pour l = 0 k l'équinox^ du printemps, et le minimum — 3', 8 a lieu pour l = 180° à l'équinoxe d'automne.
2** Nous trouverons une application de la formule (1) dans l'observation des taches du Soleil par la méthode de Garrington.
117^ Exercice. î
Le jour solaire vrai n'est pas constant.
La constance du jour solaire vrai exigerait que l'ascension droite ^ du Soleil variât proportionnellement au temps, ou que l'on eût :
— — = constante.
dt
Or, on a :
tg ^%) =z tg ir cos (1),
r* — ^ = na'^ Vi dt
relations qui expriment que le Soleil se meut dans un plan autour de la Terre et suivant la loi des aires (fig. 88). On tire de la première, en tenant compte de la seconde.
mais
donc
d,\) cos
dt
9 a' 1 X ~~ 9 9,1' ' nu y i c cos^ % d t r^ cos^ Il
cos '£ = cos ^h cos £D,
dA,
na^ |/l — e- cos to na- V\ — e- . cos w
dt
(rcosiO)^ ~ r""
en désignant par r' la projection sur l'équateur du rayon vecteur r du Soleil. — ^ ne peut donc être constant que si l'on a
r' = constante, résultat impossible, puisque deux rayons vecteurs même oppo-
ses de l'ellipse solaire ont généralement des projections différentes (').
REMARQUE
Dans les formules précédentes, n est toujours le mouvement angulaire moyen du Soleil pendant l'unité de temps. Ainsi,
365,2422 366,2422 365,2422 24 suivant que l'unité de temps est :
le jour solaire moyen, le jour sidéral, l'heure moyenne, La variation de ^h en une heure movenne est donc
1 27: a- Vi — e^ cos w
° ~ 24 ' 365,2422 ' (r cos 2))'
La valeur maxima ou minima de cette variation répond à la valeur mininia ou maxima de (r cos 3)).
Quelles sont les époques et les grandeurs du maximum ou minimum :
1" De Vexces 0 — u de V anomalie vraie sur l'anomalie excentrique;
2*^ De V équation du centre G;
3° De la réduction à Véquateur R;
4" De l'équation du temps E.
Solution : Nous examinerons successivement les quatre questions proposées.
(1) Cette démonstration, due à M. Bonnet, m'a été communiquée pai- M. Tisserand.
