I. (fi — U

Posons a; r= 9 — i(, nous aurons l'équation

Cl) ;,- = 1 1=0,

du du '

pour déterminer le maximum ou le minimum de x considéré comme fonction de u. Mais en différent iant la relation

(2) tgH — cot ^i.tgi u,

on obtient

(•^) d 0 . cos- I u = du. cos* { 9 . cot | f},

.,. . dO et, en elmiinant -— entre (1) et (3), on a du ^ ^ ^ ■^'

W COS^ i M =: COt I à . cos' | 0.

Les valeurs de w et 0 qui rendent x maximum ou minimum sont déterminées par les équations (2) et (4) qui donnent aisément

tg' l u = tg l 'i, tg' 1 0 = cot l 'b, et, par suite,

tg- iuiix- ^ 6 ==1.

Nous tirons de là, en remarquant que tg i 0, tg 1 u sont toujours de même signe, puisque leur rapport cot | 6 est positif, i

tsU'.= ± VX^b, tg I 0 = ± l/c^Tï^, tJ? i tt tg I 6 = 1,

formules où]l'on doit prendre ensemble les signes supérieurs ou bien les signes inférieurs. La dernière de ces formules équivaut à celle-ci :

où /■: est entier.

Les signes supérieurs con-espondent au maximum de ce et à deux points a, a' pris respectivement sur l'ellipse et son cercle principal. \ On a alors A- = 0 ou

et comme la droite aa' , est perpendiculaire sur le grand axe AP de lellipse, elle fait des angles égaux avec Oa', Fa; en d'autres termes, les triangles OmF, ama' sont isocèles (fig. SO).

Les signes inférieurs correspondent au minimum de a; et à deux points b, h' de l'ellipse et du cercle, situés sur le prolongement de a a' . On a alors /c = 1 ou

et les triangles Om'F, h m' h' sont encore isocèles. La formule générale

tg 6 — tg u

tg X = tg (0 — II) = j-^ — 7—r-,

^ "^ ^ ^ 1 + tg 6 . tg w

montre que la valeur maxima ou mini ma de x est donnée par tg i X = ± i (l/cot i 'b — Ktg i 6),

on aura le maximum ;x ou le minimum — ;/, suivant qu'on prendra le signe jj/!(s ou le signe moins devant la parenthèse.

Sur la demi-ellipse AaP, de A en P, 0 et u varient de 0 à ::, tandis que x varie de 0 à 0 en restant positif et passant par le maximum [i; sur la demi-ellipse suivante, de P en A, 0 et u varient de r. à 2-:, tandis que x varie encore de 0 à 0, mais en restant négatif et passant par le minimum — ;;..

L'époque t du maximum ou minimum de x se tirera de l'équation

n {t — -.) = n — e sin u,

dans laquelle on remplacera n par sa valeur tirée de la formule

tg| u= ± l^t^T^,

prise avec le signe plus ou le signe moins; - désignant d'ailleurs l'époque du passage du Soleil au périgée.

RE>L\RQUES.

i" Il est facile de construire les points rf, h si on remarque qu'en ces points le rayon vecteur /■, tiré de la formule

}• = a (1 — cos 'l cos u),

OÙ il faut faire

1 — tg - cos - — sin ;^ ig {u 2 2 2

1 + tg :j cos ^ + sm ^

et, par suite,

cos 0 cos ît == / cos ^ — SUl ^^1 =: 1 — Sin 'II,

a pour valeur

r = a sin à,

ou la longueur FM de l'ordonnée du cercle principal relative à F. Si donc de F et F' comme centres avec a sin 6 et 2a — a sin 6 comme rayons on décrit des arcs de cercle, ils se couperont aux points a, b. On arriverait d'ailleurs directement à ce résultat en partant des formules bien connues (n° 274 du Cours)

dd «" . , du a

-— = n — sin 'i, - — H - » dt r« ■' dt r

qui donnent immédiatement la relation

On voit en outre, sur cette relation, que la dérivée de 6 — it passe du positif au négatif, lorsque /' passe par la valeur a sin 'i> en croissant du périgée à l'apogée et du négatif au positif, lorsque r repasse par la même valeur en décroissant de l'apogée au périgée.

2° On pouvait répondre à la question approximativement à l'aide des séries,

^* = I^ 4- e sin w + |- e- sin 2: + ...,

6 = ^ + 2 e sin ':: + | e^ sin 2 ; + . . . ,

où ^ est l'anomalie moyenne et qui donnent, en négligeant e*

9 — M r= e sin ^ + f e- sin 2r,

L équation .^ — = 0, ou

3e ces- ; + cos C — t e — 0,

admet pour cos ^ deux racines réelles, dont l'une comprise entre — 1 et — co doit être rejetée, tandis que l'autre, comprise entre 0 et 1,

— 1 + Kl + 18e^nn7

cos C =z — UjU7,

donne pour ^ deux valeurs, :' et '2z — ;', répondant au maximum et au minimum de 0 — tt; la valeur 'C,' étant inférieure à 90°.

lî. G = G - r.

Le maximum et le minimum de C, considéré comme fonction de r, sont fournis par l'équation

Or, on a successivement, en vertu des formules du mouvement elliptique,

clQ dd du V\ + e 1 + cos 6 a

", du d, l/'l e 1 + cos tt r

4 + cos 0 i — e -1 + e cos e ^ ,

4 4- cos M i — e cos tt 1 + e "" ^ a 1 1 + e cos 9

'/• 1 — e cos t( 1 — e-

Par suite, les valeurs de r, u, 8, .'; qui répondent aux valeurs extrêmes de G sont immédiatement fournies par les équations :

REMARQUE

La série connue

G = 2esin : 4- f e' sin 2: + ...

limitée à ses deux premiers termes, permet de résoudre approximativement la même question avec la plus grande facilité.