IV. E = C + R

On peut mettre E sous la forme

ou, puisque

l = î,-; + 0, sous la forme

E = Al — ^ — ttJ,

r.) désignant la longitude du périgée. Par suite, les valeurs extrêmes de E, considérée comme fonclion du temps, sont données par

n désignant le moyen mouvement du Soleil; ou, en i-emplaçant —rpar sa valeur donnée dans l'exercice HT", par

(2) (r cos 3^)- = a- cos z. cos o),

'3 désignant la déclinaison du Soleil et sin 9 la constante e.

Si à l'équation (2) on joint les relations bien connues

(3) sin ^ = sin l sin w,

... a cos* 0

1 + sin s cos (l — V))

les équations (2), (3), (4) détermineront les valeurs de r, l, 'J) qui conviennent aux valeurs extrêmes de E.

Prenons le centre T de la Terre pour celui de la sphère céleste et considérons la projection sur l'équateur de l'ellipse solaire P. Cette projection sera une autre ellipse P' (fig. 90), dont le rayon vecteur r' , correspondant k 'J), a. pour expression

(5) r' = ,' cos a>.

Si donc nous posons

(6) p- = a- cos 9 cos w,

le cercle de rayon p, décrit dans le plan de l'équateur de T comme centre, sera représenté par (6) et les points de rencontre de l'ellipse (5) avec le cercle (6) seront les projections sur l'équateur des points de l'ellipse solaire où E atteint ses limites.

Éliminons v et 1? entre (2), (3) et (4), nous aurons

1 — sin- / sin- w = '" [1 + sin i cos (/. — io)Y,

cos' ç> '

ou

(7) sin- l =: coséc' w — cot w.coséc w.séc' ? (^ + sin ç cos 6)-.

L'équation (7), où 0 = ï — z^i, donne les valeurs de l répondant aux valeurs maxima ou minima de E. On séparera d'abord les quatre racines réelles, entre 0° et 360°, de cette équation par des substitutions convenablement dirigées et fournissant des valeurs approchées de ces racines; ou, mieux encore, on obtiendra immédiatement ces valeurs approchées, en négligeant o dans l'équation (7) qui devient

. 1 — cos W . , 0)

sm^ l -- ■ — — = I sec- -.

et donne pour l quatre valeurs, /,, 180° — Zj, 180° + l^, 360" — l^

entre 0° et 360°. En partant de l'une d'elles comme valeur approchée d'une racine, pour la substituer dans 0, l'équation (7) donnera une valeur plus approchée de cette racine et ainsi de suite jusqu'à ce que les approximations successives fournissent la valeur exacte. On calculera ainsi aisément les quatre racines de (7).

REMARQUES

1° La résolution de (7) se ramène à l'intersection du cercle