ix 1 — i

et, en développant en série, *

.T, = J„,(1 + :i+ ^J + ...); mais si l'on exprime [j. en secondes d'arc, ainsi que 2::, •J. = 24 O.I.. 15 ~n = 360. 5. i — n,

n exprimant, en secondes d'arc, le mouvement moyen du Soleil en un jour moyen.

3° Au lieu de calculer directement J^, en temps moyen, il sera plus court de transformer en temps moyen sa valeur en temps sidéral. On a ainsi

120" Exercicee

Quelles sont les dates des valeurs maxima, minima et moyenne du jour solaire vrail

Solution : Ces dates sont évidemment les mêmes que celles des

valeurs maxima, minima et moyenne de —^ ou de la variation horaire

de l'ascension droite ^\j du Soleil. Or, on sait que

d^ na- cos o cos w . .^ • , •

— r- = — ; ^-^rrs — ' sin IP = sin l sin w,

dt {r cos iD)*

et la question revient à étudier les variations de )•■ cos- 'S) ou bien de r^ (1 — sin^ i sin' o)).

1° On a :

i • — (r* cos* 2*) = r -— (1 — sin' l sin' to) — r' sin l cos l sin- w -r- ; ' dt^ ^ dt^ ' dt'

mais on sait que (n" 274 du Cours),

«cos'ç dr , . ^ ^dl .

i = irj + 0, rz=. — ? — -=:?îatgosinO, î--— =:?i«-coSî.

1 + sin 9 cos 6 dt ' dt

Substituant dans la dérivée de r' cos- 'J^, pour l'égaler à zéro, on a l'équation

(1) sin ç cos ïT) cos' w . sin Z — sin ç sin d cos î — sin' w sin i cos l = 0,

qui détermine les valeurs de l correspondantes aux dates cherchées des maxima et minima.

Si l'on pose

X = sin l, y = cos l,

la résolution de cette équation est ramenée à l'intersection du cercle '

x^- + y'- = 1, et de l'hyperbole

xy sin' w — x sin ç cos vi cos* w — y sin 9 sin xrj z= 0.

L'équation (4) a donc quatre racines entre 0 et 2~. Il est facile de voir que ces racines sont réelles et de les séparer par les substitutions suivantes, en désignant par m le premier membre de (1) et se rappelant que

sin 5 = —. xf) = '2SQ°, co=r23°27' bU

environ :

pour ^ = 0, m = — sin ç sin irj valeur de signe +

, ,-0 \=r:sini(cos*(i)CosTrJ — sind) --sin^w. —

l, = 45°, ml '^ 2

(<:2sin9 — {l/2sin* co,

l z= 90", m = sin 0 cos vi cos- 10 4-

l =V) — 180°, m = sin xo cosî^^.sin* w (sin 9 — 1) +

l z=: 180°, î>i = sin 0 sin î^ —

l = 270°, m = — sin 9 cos d cos* w —

l =z X7), m = — sin if) cos tj sin- w (sin 9 + 1) . . . 4-

Les racines étant séparées, il est aisé d'obtenir ensuite chacune d'elles par approximations successives, aussi exactement qu'on voudra.

On voit qu'il y a deux racines dans le printemps : l'une voisine de l'équinoxe, l'autre du solstice; une dans l'été, voisine de l'équinoxe d'automne; enfin une dans l'hiver, entre le solstice et le périgée. Il n'y en a pas en automne.

2° Lorsque le jour solaire vrai prend sa valeur moyenne, l'on a

d^h dA\n

~dt ~ dt ~ ' ou

(2) a- cos 9 cos (0 = r^ cos- 3),

OU l'équation déjà résolue dans un exercice précédent

(3) cos (1) [1 + sin ç cos {l — V))Y = cos' ç (1 — sin* l sin' co),

c'est-à-dire que l'équation du temps E passe une valeur maxima ou minima, résultat évident, a priori, d'après la définition même de E,

Cette définition montre aussi que les valeurs maxima, minima et moyenne des variations horaires de l'équation du temps et de l'ascension droite du Soleil ont lieu aux mêmes époques, pour les valeurs de l qui vérifient les équations (1) et (3). On a en effet constamment

dE dj[}

dt ~~dt ~ '

Vérifie)' numériquement sur la Connaissance des temps d'une année quelconque, soit de iSSo, les résultats des exercices précédents.

Solution : Si nous désii^nons par -,-- ? — — les variations horaires " ^ dt dt

de Ai, E, nous obtenons immédiatement le tableau suivant :

dt dt

Janvier... 1 lis03 +1^17 ,T,„+27s93 + 4" 0'.12

Février... 10 n 0 .Im +14ni27-s88M

Mars 27 9% 08 m — 0», 11m .T,« — ISs 51 m

Mai li n 0 Jm — 3''\y{',G6m

Juin 18 10% 40 II + 0% .04 m In + 13% 00 m

Juillet .... 26 H 0 lu 4- 6'«lis28.\i

Septembre 17 8s97m — 0%88m Jm-21%18m

Novembre. 2 n 0 1« — lG'"19',52m

Décembre. 22 1 1% 10m + 1% 2iM Jm + 29% 88 m

Décembre. 31 H%05 +lsl9 J,„+28%r.l -|- 3'" 24% 07

c^tl» (^E , . . , , ^, . , j ,.

— ■) — sont inscrits dans la Connaissance des temps, respectidL dt

vement à la suite des colonnes intitulées Ascension droite, Temps moyen civil, à midi vrai; J,. s'obtient pour chaque jour en retranchant le temps moyen civil à midi vrai de ce jour, de sa valeur au midi vrai du jour suivant; E est, à 12 heures près, le temps moyen civil à midi vrai.

On sait que le temps moyen civil donné par la Connaissance des temps est toujours en avance de 12 heures sur le temps moyen astronomique. En d'autres termes, un jour moyen civil commence à minuit moyen, tandis que le même jour moyen astronomique commence au midi moyen suivant.

dA^ Dans ce tableau : n = 9%86, valeur moyenne de — ^ et la lettre m

où M suit les nombres qui représentent des valeurs niinima ou maxima.

Pour un lieu A de longitude ii et latitude o, à une date connue, quelles sont les durées de la journée et de la nuit, de la matinée et de la soirée, vraies ou civiles'^

Solution : La journée J^ et la nuit J„ s'écoulent respectivement du lever au coucher et du coucher au lever du centre du Soleil vrai. La matinée et la soirée vraies \i. et t s'écoulent du lever à midi vrais et de midi au coucher vrais. La matinée et la soirée civiles m, s s'écoulent du lever vrai à midi moyen et de midi moyen au coucher vrai.

Ces définitions posées, désignons, pour la date donnée, par A, '£ les coordonnées équatoriales du Soleil à midi vrai du lieu A, c'est-àdire à l'heure vraie '£ de Paris. Si ces coordonnées étaient invariables, l'angle horaire — t et + i du Soleil à son lever et à son coucher serait fourni par la formule

(1) cos f = — cot ^ cot s.

Mais ^ varie sensiblement de la même quantité oiî pendant la matinée et pendant la soirée. La variation correspondante it de t est

sin^^sinf*^'

Le jour vrai et l'équation du temps, à la date considérée, étant J^, et E, on a les formules évidentes et suffisamment approchées :

t — ot

tu =r [j, — E,

t + ht

ot 7 — [j. == — J,,, S — m = :: — [j.-h 2E,

Jo = 7 4- JA == s 4- 771 r= - Ji>

Si, pour une variation de 1 jour dans la date, l'on désignie les variations correspondantes de t, J,., J^, J„ par dt, dJ,., dJ„, f?J,„ on

voit que

r.cU^ = t.cU^, -f- i^,dt,

r^dJ„ = — tdi,. — J,,rft + TdJ„

J„ et J„ varient dans le même sens lorsque dt est nul ou très petit; c'est-à-dire dans le voisinage des solstices si 9 est différent de 90*' et à toute époque si 9 = 90°.

Jq et J„ varient en sens contraire, de la même quantité, lorsque d5„ est nul ou très petit, c'est-à-dire lorsque J„ est dans le voisinage de ses valeurs maxima ou minirna.

Conversion dii temps sidéral et du temps moyen Vun dans Vautre.

On sait que la durée T de l'année tropique est

Si l'on désigne par J,,;, J, les durées respectives du jour moyen, du jour sidéral et si l'on pose

292 LIVRE lY. — LE SOLEIL.

nous avons donc

en représentant —5 -parleurs logarithmes entre parenthèses. Plus généralement,

f,„, t, désignant un même nombre abstrait, quelconque, t, entier ou non, de jours moyens et de jours sidéraux, c'est-à-dire t. J„„ t.i,.

La formule (1) sert à passer du nombre t, qui exprime une durée en temps moyen au nombre t + (3,437.4191) t, qui exprime la même durée en temps sidéral.

La formule (2) sert à passer du nombre t, qui exprime une durée en temps sidéral, au nombre t — (3,436.2316) t, qui exprime la même durée en temps moyen.

Posons

ct,z= (3,437 . 4191 )t, Zt^ = (3,436 . 2316; t, nous aurons

La conversion d'une durée t, moyenne ou sidérale en temps sidéral ou moyen, se réduit à faire subir au nombre t la correction It, ou — ot^.

Les valeurs de It^ ei o t, se trouvent dans les tables V et VI de la Connaissance des temps (pages 691, 692, année 1885), calculées d'avance pour toutes les valeurs fractionnaires usuelles de t, c'est-àdire pour toutes les heures, minutes et secondes du jour.

Voici le calcul direct de la conversion : 1° de 15 heures sidérales en temps moyen; 2*^ de 15 heures moyennes en temps sidéral :

CIIAP. II. — MOUVEMKNT ELLIPTIQUE DU SOLEIL. 293

log 15 = 1,176.0913 logl5 = l,l'?t).0913

log 3600 = 3,556.3025 log 3600 = 3,556.3025

log 1 = 3,436.2316 log ^ = 3,437.4191

log otm = 2,168.6254 log U. = 2,169.8129

La Connaissance des temps dispense de ce petit calcul en donnant

Ot,n, Ot,.

45^-s = IS^^-n' — S'^ST^MG = 14'' 57°» 32% 557 temps moyen, .]5ii.in .i5h.s + ora27s^847 — L5h omoys^g^y temps sidéral.

REMARQUES

Pour < inférieur à 1 minute, on a ot„t = ot, à un millième de seconde près.

A midi viai,

le temps sidéral t, = l'ascension droite du Soleil vrai ^%; le temps moyen t„^= le temps sidéral t, — la longitude apparente du Soleil moyen ©„, = le temps sidéral t, — l'ascension droite du Soleil

moyen ,fb„, ; = l'équation du temps.

A midi moyen,

le temps sidéral t^ = X,„ = Qml le temps vrai t^ = t, — J[);

z= — l'équation du temps.

Calculer, pour un jour donné, la variation et de V angle lioraire du Soleil en une seconde sidérale.

Solution : La Connaissance des temps donne, i)our le midi du

jour considéré, la variation d^h en temps, de l'ascension droite du Soleil pendant une heure moyenne.

En une heure sidérale, le même jour, l'ascension droite du Soleil varie de oA^, donné en temps par la formule

^3 ^3 ^'■^''- ^3 365.2422 ^^^ = rf^^-ÎS:^.==^-^- 366:2422'

et, en une seconde sidérale, le mouvement propre [x du Soleil en ascension droite, exprimé en temps, sera

en posant

En une seconde sidérale, la variation It de l'angle horaire du Soleil, exprimée en secondes d'arc, sera

ct = (i — [j.) 15" = (1 — KdA>).15.

Calculer le diamètre apparent 2A du Soleil, connaissant sa ^ déclinaison 3), le temps sidéral 26 qu'il met à franchir le méridien PM et son mouvement propre [i en ascension droite, pendant une seconde sidérale.

Solution : Soient (fig. 9i) :

t l'angle horaire du Soleil au moment de l'un de ses contacts avec le

méridien ; S son centre; P le pôle.

Le triangle rectangle PSC donne

sin A =: sin t cos Ip,

OU, avec une exactitude suffisante,

A = LcosmV mais

(-1) A = 150 (i — [}) cos S.

Corollaire.

On n'a observé que le passage, à V époque t, d'un bord du Soleil. On connaît A. Quelle est l'époque t^ du passage du centre'?

Solution : On a évidemment

' " 15 (1 — ;;.) cos li) j — 2e bord.

Calculer la durée 0 du passage du demi-diamètre du Soleil.

Solution : La formule (1) de l'avant-dernier exercice donne, pour la durée sidérale 0, du passage,

(). = --• sec 'J) • -. >

lo 1 — [J.

ou, avec une approximation suffisante, à cause de la petitesse de \j.,

Ô, = j^ sec 2) (1 + [>.), durée qu'il est facile de transformer en temps moyen.

Exemple. — Calculer 0 pour le 15 avril 1885. La Connaissance des temps donne :

A = 15' 50', 88 U) r= + 18"58' 9", rf.l, = 9% 88(3.

En convertissant A en temps, on obtient d'abord — =z 63^,39; on a

ensuite le petit calcul suivant :

logK =4,442.51

logd.a) =0,995.02

logKd.^, =3,437.53

[XrrrKd.li =0,002.739 1 + -j. =1,002.739

log(l + ;j.) =0,001.17

log ;^ =1,802.02

logséc£D =0,024.25

logO, =1,827.44 9. =1™7S21

En transformant 0^ en temps moyen, on a, pour la durée moyenne 9,„ du passage,

REMARQUE

premier bord touche le méridien considéré. Par suite, -— A séc 2) est

le temps solaire vrai 6„ que met ce centre à atteindre le méridien, ou la durée du passage en temps vrai. On peut donc écrire

ou, comme 0,. diffère très peu de 0,„,

D'ailleurs, l'excès de 0, sur G,„,

•d une valeur sensiblement constante et égale à 0^18 ou 0^,19 environ.

A quelle époque la durée 0, du passage du Soleil est-elle maxima ou minima?

Solution : Nous venons de voir que, pour un jour quelconque,

e, = â séc ^(i + KdJb),

et nous savons que A, 2», djh varient d'un jour à l'autre. Mais si l'on désigne par Aq le diamètre apparent du Soleil, correspondant à la distance moyenne de cet astre à la terre, distance prise comme unité pour évaluer le rayon vecteur r au jour considéré, on a

on sait, en outre, que le mouvement du Soleil en ascension droite, dj{), pendant une heure moyenne est

1 2z a^ V\ — e- cos o)

'^ 24 * 365,2422 ' (r cos i^)" '

d'où