CHAPITRE m
Erreurs accidentelles.
Comment est-on conduit à chercher si, 'pour une série d'observations nombreuses d'une même grandeur invariable, le nombre A y des erreurs tombant entre x et x -^ \.x, \x étant fixe, ne serait 'pas représenté par la formule
(1) Aî/==Aj/oe~^,
où A'/o et 0 sont des constantes'?
Réponse : Après avoir formé la moyenne m des mesures et pris pour valeur très approchée de l'erreur x d'une observation a la différence m — a, on construit, comme nous l'avons indiqué aux n°s 31, 32 du Cours, la courbe empirique ayant x pour abscisse et Al/ pour ordonnée. Ou remarque que les allures de cette courbe ressemblent beaucoup à celles de la courbe exponentielle bien connue \y = e~"'''.
Prendre \y = ne ''' revient à conti-acter ou dilater la courbe exponentielle dans le sens des ordonnées, suivant que a est plus petit ou plus grand que 1, et aussi dans le sens des abscisses suivant que 0 est plus petit ou plus g-rand que 1. Il y a donc lieu d'espérer qu'en choisissant convenablement n et o on reproduira la forme de la courbe empirique et c'est ce qui a lieu.
Cette marche suivie par M. Faye pour établir l'équation (1) nous parait la plus rationnelle et nous l'avons adoptée. Elle suppose seulement que la moyenne arithmétique d'une série de mesures directes d'une même quantité fixe est une valeur de cette quantité beaucoup plus approchée que chaque mesure individuelle, ce qui est absolument incontestable. Mais elle ne suppose nullement que
cette moyenne est la valeur la plus probable de cette quantité. Cette dernière proposition, quoique exacte, est loin d'être évidente «p/'iori. Elle a été cependant prise souvent comme axiome et il est facile d'en tirer la formule (1), comme nous pouvons le voir dans un ;rrand nombre d'ouvrages.
REMARQUES
Toute mesure instrumentale .se divise en deux parties : 1° La manœuvre de l'instrument qui s'opère avec une certaine erreur variable, mais toujours comprise entre certaines limites numériques
— a et + a. La valeur absolue a dépend de la nature de la inano'uvre, c'est-à-dire de l'instrument, et de l'habileté de l'opérateur. 2° La lecture sur l'instrument de la manœuvre ou de la mesure faite, lecture dont l'erreur variable est aussi toujours comprise entre certaines limites — ^ et 4- ^. La valeur absolue [î dépend de la nature des dispositifs lecteurs et de l'habileté de l'observateur.
Abstraction faite de cette habileté, qui dépend surtout de l'exercice de la main ou de l'œil et qu'on peut supposer la même dans les deux paifies, on peut dire que, dans tout instrument bien fait, [3 doit être sensiblement plus petit que a.
Si l'on avait x^ ^, toutes les lectures seraient les mêmes, quelles que soient les erreurs' accidentelles d'une même manœuvre répétée un g-rand nonilMe de fois. La loi de ces erreurs serait masquée et ne se manifesterait pas.
Si, au contraire, l'on a a >- |j, si 2 a renferme m fuis ^, il y aura m lectures différentes dans une même mesure suffisamment répétée et si m est assez grand, par exemple égal ou supérieur à 400, la loi des erreurs accidentelles de manœuvre .se manifestera.
Gomme exemple, le plus fréquent en astronomie, considérons le pointé du fil mobile d'une lunette siu' l'image i d'un point fixe dont on veut mesurer la position dans le champ. On exécute cette mesure : i° en 'pointant le point, c'est-à-dire en amenant le fil à bissecter l'image i; l'erreur de manœuvre ou de pointé est comprise entre
— a et -H a; 2° en lisant, pour chaque pointé, le nombre de tours et la fraction de tour exécutés, à partir d'une position initiale, d'ailleurs arbitraire, par la vis micrométrique qui commande le fil. Cette lecture se fait sur un tambour divisé adapté à la tête de la vis; son
erreur est comprise entre — i3 et + j3. Dans beaucoup de lunettes, a peut atteindre une division du tambour et jâ le dixième seulement d'une division.
Faire une série de pointés sur un trait de cercle divisé, pour déterminer Verreur probable d'un pointé et vérifier la loi de fréquence des erreurs.
Nous avons montré dans le Cours, par deux exemples tirés, l'un des observations de Bradley, l'autre des mémoires du général Didion, comment la représentation grapbique des erreurs comprises entre des limites déteruiinécs permet de trouver la loi analyîifjue de la fréquence des erreurs.
Les trois séries d'observaliojis suivantes, laites à l'observatoire de Besancon, ont pour but de conduire au même résultat et de donner l'erreur probable d'un pointé pour trois observateurs.
Dans chaque série, on a pointé un même trait d'un cercle. Ou n'a inscrit que les parties de clia({ue pointé et le nombre de fois qu'il s'est reproduit. Nous avons désigné :
Par 7)1, la val(Hii' UKiyenne i\or^ pointés de la série;
e, l'erreur de chaque pointé ou sa diflerence avec m;
t, l'erreur moyenne d'un pointé ;
r, l'erreur probable d'un pointé;
X et p, les nombres théori(j;ues et réels des erreurs tombant entre des limites données.
Nous avons représenté par une ligne ponctuée la courbe réelle do la fréquence des erreurs donnée par chaque série, et par une ligne jileine la courbe théorique correspondante.
Pour les deux dernières séries, nous avons inscrit le numéro d'ordre de cbaque pointé sous la valeur de ce pointé et construit ainsi deux tahleaux (pii représentent Hdèleiucnt l'ordre de succession des valeurs des pointés et la manière dont la courbe réelle, prise après un certain nombre de ces pointés, se corrige et se perfeelioune eu tendant vers la couiIil' llu-orique, à mesure que le noiid)re des poiutr's auguiciilc.
30 LIVRE r. — MÉTHODES GÉNÉRALES L)E CALCUL.
Série de pointés, par M. GRl^EY, sur un trait du cercle Gautier.
Pointés. Nombre. Produits
