CHAP. III. — PRÉCESSION ET NUTATION

Il est évident que Jh et LD sont des fonctions des constantes l, k et de à, (i), T, variables avec t.

! 0 A / cos X cds {l + J^„,),

sur les axes ^ OB sont | cos X sin (l -h <l,„),

\ (OQ (sinX,

Les projections de OM .

/■ OA / cos £D cos (,1, + t),

sur les axes | OC sont | cos U) sin (^l) -j- t), (OP (siniD,

donc, on a, par le théorème des projections de projections ou les formules de- transformation des coordonnées rectilignes,

(1) cos A cos {l -\- 'h,,) = cos 3) cos (,L + ■z),

(2) cos A sin {l + 'b,„) ■=. cos % sin {% + i) cos a),,^ + sin iD sin oj,„,

(3) sin A rr= — 0,0%% sin (,^ H- t) sin w,„ + sin il* cos w,„.

Ces relations, qui résultent d'ailleurs immédiatement de la considération du triangle PQM, donnent X) et iD en fonction des constantes /, X et des variables avec le temps 'J;„,, to„(, t. Différentions (1) et (3) par rapport à t, nous aurons en tenant compte de (2) :

[A) -7^' cos X Sin {l + 'i^„,) = Sin lD cos {,h + ") 777 + cos iD sin (Ji + t) ^ ^ ?

-^ cosX sin (i + à„) =r [sin 2) sin (^l? + -) sin w,,, + cos li^ cos w,„] —

— cos2)cos(Jb + T)sin w,» — ^— — ^ •

Ajoutons (4) et (5) après les avoir multipliés respectivement par cos {,h + t) sin w„. et sin (,l> + t) ; nous aurons, en tenant compte de la relation (2) et divisant par le facteur cos X sin {l + (i„,) qui devient alors commun,

(6) -— = -fi' cos (^ + t) sin w,„ + -— - sm [A> -i- t),

^ ^ dt dt ^ ^ dt

où l et X ne figm'ent plus.

Substituant dans (A) cette valeur de -^ et celle de cos a sin {l ■+■ à,„) tirée de (2), on a :

[ -7^' [sin 'i^ sin 0),,, sin- (.1) + t) + cos^J>cosw,,,sin(,-b + t)] (7) )

/ rr=sinM>sin(.{, + t)cos(.^ + t)^ + cosSsin (^ + t)^-^^^^^

Si nous remplaçons -y-^'' qui est excessivement petit, par zéro, et si

d'b,n nous négligeons -, qui est très petit, dans les termes en —j— qui

sont eux-mêmes déjà petits, nous aurons

-7- = -r- • cos .li.sin w,„, ai (il

—^ (sin LP sin w,„ sin ,li + cos 1^ cos wj = cos 2* • (-77 + t: )' dt \dt dtj

ou bien

en posant