CHAP. III. — PRÉGESSION ET NUTATION

d'années, en multipliant la précession annuelle, pour l'époque moyenne arithmétique | (t + t'), par le nombre d'années {t' — t).

L'approximation ainsi obtenue est généralement suffisante et du troisième ordre par rapport à | (t' — t).

En effet, soit généralement f{t), f{t') les valeurs d'une fonction, telle que X ou 2), dont la différence f{t') — /" (f) est demandée. Posons :

nous aurons

f (0 = f{x - \x) = f{x)- \x r (x) + jî^ Â^' r {^) - -, f {t') = nx + \x) = f{x) + Ax r {x) + ^ Â^' r (^) + -,

d'où

r (O - f (0 = 2Aa. f (x) = {f - t) f i^-^y

en négligeant le troisième ordre en A*.

Calculer les changements de coordonnées des étoiles, dus à une translation supposée du Soleil.

Solution : Soient à l'époque t (f\g. 93) :

S le centre du Soleil pris pour celui de la sphère céleste;

E {A], 'X) la position d'une étoile;

e (a, p) la position du point de la sphère vers lequel le Soleil est

supposé se diriger; SE = ci la distance de l'étoile au Soleil, prise pour rayon de la sphère ; S S' = A le déplacement du Soleil dans la direction Se et pendant le

temps {f — t); Es une droite égale et parallèle à SS', mais dirigée en sens contraire; E' l'extrémité du rayon de la sphère mené par z.

308 LIVRE iV. — LE riULElL.

Il est clair que E' sera, à l'époque t', la position de l'étoile qui était eu E à l'époque (. Désignons par X', '£' les coordonnées équatoriales de E', et posons :

Il est facile de calculer Otli, o^î en supposant que la translation du Soleil n'a pas changé la direction des axes de coordonnées équatoriales.

Si nous posons Ee ^ u, le triangle spliérique PEe donne

!^ cos u r= cos p cos ^ + sin p sin ^ cos (a — ^h),

sin u cos E == cos p sin 'X — sin p cos 'X cos (a — Jh), , sin H sin E = sin p sin (a — ^h)-

L'arc de grand cercle cE prolongé, passe par E' et si nous posons EE' = s«, le triangle rectiligne SEî donne

d.sin lu = A sin (h + ou).

L'observation montre que - est une petite quantité, puisque les

positions relatives des étoiles sont invariables sensiblement pendant plusieurs siècles consécutifs. Si nous négligeons le carré de cette quantité, nous aurons

(2) cu = - ' sin u.

On a d'ailleurs entre s A», l'X et eu les relations sin X.IÀ) = — ow.sin E,

^^^ ( cie=: + ctt.cosE,

évidentes géométriquement, ou faciles à tirer des formules 5^ (3® type) et 3® (l*^"" type) du tableau B des relations différentielles, donné au n° 16 du Cours, en appliquant ces formules au triangle PEe dans lequel on considère comme fixes l'angle e, le côté Pe, mais eE comme variant de ;h.

Si l'on sid)sti(uo dans les équations (3) à lu sa valeur (2), puis à