CHAPITRE IV

Sur les taches du Soleil,

Comment varie le j^oint le plus élevé du disque solaire, sur ce disque, avec la hauteur du Soleil?

Solution : Soient (fig. 94) :

P le pôle boréal de la sphère céleste; Z le zénith; S le centre du Soleil; PS le cercle horaire de S;

a le point où PS rencontre le contour du disque solaire; Z S le vertical de S ;

m le point où il rencontre le rnème contour, w est le point le plus élevé du disque.

Posons :

Pc = 90o — ç, PS^OQo — a>, z.^=iz.

En vertu du mouvement diurne seul, abstraction faite de tout autre mouvement pendant la durée d'un jour solaire, a reste fixe, mais r)i se déplace sur le disque supposé lié invariablement à la sphère céleste. La position de m, relative à a, est définie par l'angle S du triangle PZS ou l'angle parallactique q du Soleil. Cet angle est donné par la formule

sin o = cos ; sin (]) + sin z cos 'J) cos q.

On a souvent l)esoin de connaître g, par exemple lorsqu'il s'agit de fixer sur un dessin ou sur une photographie du Soleil les positions de protubérances, de taches, relevées en les rapportant à l'horizon.

Pendant le mouvement diurne, la variation de am ou q donne celle de m sur le disque solaire.

AyaiH rapporté la position cVune tache z du Soleil à S par ries différences d'azimut et de hauteur, mesurées au théodoUle, en conclure les différences correspondantes d'ascension droite et de déclinaison, telles qu'on les mesurerait à Véqualorial.

Solution : Nous ne développerons pas cet exercice facile. Nous remarquerons seulement qu'il revient, sur le disque solaire, à fau-e tourner de l'angle ^,*dans le plan tangent en S à la sphère céleste, les axes, auxquels les premières différences sont rapportées, pour les faire coïncider avec les axes des dernières différences.

On a observé les époques de pacage des bords et d'une tache du Soleil aux deux fds rectangulaires Ix, ly du réticule d'une lunette fixe. Ccdculer les inclinaisons y., 3 de ces fils sur le mouvement diurne et la position de la tache relativement au centre de l'astre.

Solution : 1° Pendant la durée de l'observation , soient A le diamètre apparent du Soleil et ,L, li) les coordonnées équatoriales de son centre, qu'on peut tirer de la Connaissance des temps. Désignons

par

f,,, i; les époques de contact des !«'' et 2^ bords avec \x;

De l'époque t, à t',, le centre du Soleil passe de s en s' (fig. 9o) en décrivant l'arc de parallèle

.s s' =lo.(t; — QtîOsS),

mais le triangle leclanyle lusa donne

A = f ss' sin a, ou, en remplaçant ss' par sa valeur,

(^^ ^ = J ^5 (t; - g cos 0^ . sin a.

Pour le fil ly, on a une relation semblable,

(^) -^ = ¥ 15 (t; — y cos 2^ sin 3.

On peut tirer de là a et ,3 en prenant A, 2) dans la Connaissance des temps. Si les fils sont bien rectangulaires, on devra avoir

sin- a + sin- ,3 = 1,

et, en supposant cette condition remplie, on déterminera a par la formule

(1) tga = *i^^-,

indépendante de A et (î».

2° Soient T^, T„ les époques observées du passage de la tache et

les époques du passage du centre du Soleil par les fils I„ I„. Si nous désignons par ^ +$,:b, ^ + l<^ les coordonnées équatoriales de la tache, nous aurons évidemment, en négligeant les carrés de 0,1,, s M), les relations

qui expriment que (T., - t,), (T, - t,) ne dépendent que de $A., o2^ et où ;?, q, p' , q' sont des coefficients faciles à déterminer.

Lorsqim $L^ = 0, la valeur de T, ., est pl^\,; rnais alors ^:r — 'x — T5 ^-^' Donc, p = ^. On voit de même que jj' = — .

Lorsque 5A. = 0, la valeur de T, - t. est f^B2); mais alors la tache est en rr/ sur le même cercle horaire que le centre s du Soleil, et la figure 9G montre que

'^^(Tr — -^) = — (m'H).sécLJ)==--(ju's)cota.sécM^ = coty..séc:i^.cirt,

on a donc

q = -p cot ix.séc^,

et on verrait de même que

q' = — jr tg a.séc 2).

Par suite, on a les formules

( 15 (T,,. — 7,) = 5 .L + cot a . séc 2> . 0 iD,

^^--^ l 15 (T,, - t,) = ZJh - tg a.séc M). Sa),

qui permettent de calculer facilement o,l>., oiD.

Au lieu de 0.I9, o3), on peut employer, pour déterminer la position d'une tache m, sa distance p = sm au centre du Soleil et l'angle de position X = m'sm que fait la direction s m avec celle du cercle horaire allant de s au pôle nord; cet angle étant compté, sur la sphère céleste, du nord vers l'est.

On a évidemment

gLÎ = ? cos A, IJj = p sin A.séc 2).

Les formules précédentes (2) peuvent donc s'écrire

1 5 cos 'J) (T , — T^) = p (sin X + cot a cos a) = p cos (a — a) — ^^ »

15 cos 2^ (T„ — T„) = p (sin 1 — tg a cos a) = p sin (a — a) — ^ '

y. étant calculé par (1), les équations (3) donneront p et A. Pour a eu particulier, on divise ces équations membre à membre, d'où

tg (X — a) = Y^rf ^^^ "■'

et si l'on pose

tg 3,' — ^" ~ "" cot a,

on a

p s'obtiendra ensuite par l'une ou l'autre des formules

^ 2A (T, - T.) ^ 2A (T, - T,) ^ ^ cos a' ti — t,. sin a' {t'y — t,)

qui offrent une vérification et se tirent aisément de (1), (2), (3).

Nous avons supposé jusqu'ici que, pendant la durée des observations: le centre du Soleil décrit rigoureusement un parallèle céleste aa' , mais, en réalité, il décrit un élément pp' de spirale incliné de i sur le parallèle où il se trouve (fig. 91). Avec les valeurs observées des temps de passage de la tache et du centre du Soleil, les formules précédentes donnent donc l'angle de position a rapporté à une perpendiculaire kpp' . Cet angle doit être corrigé de i ou calculé sur la formule

A nz a + a' + i.

Calculer directement la longitude et la latitude héliocentriques a et ,3 d'une tache solaire M,

Solution : Soient (fig. 98), à l'époque de l'observation delà tache :

T, S les centres de la Terre et du Soleil ;

vTS le plan de l'écliptique qui coupe la sphère céleste géocentrique suivant le grand cercle y s et la sphère solaire suivant le grand cercle zYq' ;

Tq, SQ les axes respectifs de ces grands cercles;

ye l'équateur; Tp l'axe du monde;

Tv la ligne des équinoxes allant au point vernal -;; SF parallèle à Ty;

0) l'obliquité de l'écliptique ;

,A) = Y^5 2) = se, 0 = 'fS, l'ascension droite, la déclinaison, la longitude du Soleil; ps son cercle horaire; 7i'sn son parallèle;

M ime tache solaire, vue de T en m sur la sphère céleste géocentrique;

oA) = — ee' , o'J) = n'm les variations de coordonnées équatoriales lorsqu'on passe de la position s du Soleil à la position m de la

tache, variations observées de la surface de la Terre et réduites à son centre par les formules connues de parallaxe; 0 = siiiy 6 = angle de l'arc s)n avec la direction sz de l'écliptique;

X = psm, [i =: ts7i, - = Yse.

Le triangle mn's étant très petit, peut être regardé comme rectiligne et donne immédiatement les deux relations

^pcosX=ci?, ^ ^ t psin>. = BAi.cos2),

qui permettent de calculer p et X.

Le triangle sphérique rectangle y se donne - par la relation

(2) cos - := séc w.cos O, on peut donc calculer 0 par la formule évidente

Dans le triangle rectiligne TSM, désignons par o l'angle en S, par cl et )• les côtés TS, S M ; nous aurons

sin (cp + p) sin p

d'où

(4) sni (o + p) = - • sin p == - sni p,

A étant le demi -diamètre apparent du Soleil, équation qui détermine ç.

M7r=ç>, MN = [3, aN = ^r + r^ = - — Q + y., C7 = - — G,

et qui donne immédiatement les formules

^ tg(0 + a) = tg9.cose, ^ ' { sin ^ = sin 9 sin 0,

d'une application facile.

REMARQUE

Les formules (1), (4), (5) montrent qu'une petite erreur d'observation sur oA), o2) en entraîne une petite sur a et p; mais, à cause de la faiblesse de 1, une grande sur ç et, par suite, sur a, (3.

L'observation des taches n'est donc pas une méthode bien précise pour déterminer la rotation du Soleil sur lui-même.

Calculer directement les coordonnées héliorjraphiques a, h d'une tache solaire, connaissant la 'position N, I de Véquateur solaire et gJI), o®.

Solution : Nous avons vu, par les formules (1) de l'exercice précédent, que hj{c), 3® permettent de calculer l'angle de position a de la tache vue de T, et sa distance angulaire ^ hT vue de S.

Soient, sur la sphère solaire S (fig. 99) :

Tz l'écliptique;

AB l'équateur solaire;

P son pôle nord de rotation ;

S/) la direction de l'axe du monde;

Te le grand cercle parallèle à l'équateur terrestre;

Sr la direction de la ligne des équinoxes;

N = rA la longitude héliocentrique de A;

I = l'inclinaison de AB sur l'écliptique;

M une tache ; a=rAH; ?> = MH;

G la position de la terre vue de S, 7 M = 9.

Menons les grands cercles PB7, ^JsG et dans les deux triangles rectangles AB7, fCs posons

rc7 = O + 180°, TsC = 90'^ + G, AB = L, BcrA = 90° + H, Bj = D; nous calculeions d'abord les quantités G, H, L, D indépendantes de

la tache, par les formules

tg G — tg w.cos 0, tgH= tg l.cos(0 — N), tg L = cos I . tg (O — N), sin D = sin I . sin (0 — N),

qui sont données immédiatement, la première par PC 7, les trois autres par ABœ.

Dans le triangle P M 7, on a :

mais

^Tu — À, i^P — 180° — (180° + G + H) = - (G + H),

d'où

PaM = ). + G + H, S0it=:y^,

et le même triangle donne a, h par les formules

( sin b =: — cos s sin I) + sin 0 cos D cos y,

318 LIVRE lY. — LE SOLEIL.