LIVRE V
En un lieu A (^î, ç) et pour un jour J donnés, calculer Vheure du lever ou du coucher de la Lune, en tenant compte de Vaplatissement de la Terre, de la dépression de Vhorizon d, de la 7'é fraction r et de la parallaxe p.
Solution : La solution est la inèine que jjour le lever ou le coucher du Soleil. II suffit donc de se reporter à l'exercice 128'' et de résoudre, comme nous l'avons indiqué, les équations (1), (2), (3), (4) appliquées à la Lune. Cependant nous devons remarquer que la variation des coordonnées Jh, '£ de la Lune étant beaucoup plus rapide que celle des coordonnées du Soleil, et non proportionnelle au temps, même dans l'intervalle d'un jour, il faudra remplacer préalablement l'équation (1) de l'exercice 128 par celle-ci :
^I =^'î,-^h{t- T) + c{t- Xf,
où h, c sont des coefficients faciles à tirer des différences premières et secondes des valeurs de [S, données d'heure en heurepour lejour J par la Conjiaissance des temps.
Ayant trouvé, à l'époque cherchée, l'angle horaire géocentrique t de la Lune pour le lieu A ou (t — 'S) pour Paris, il ne restera plus,
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pour obtenir l'heure iki lever ou du coucher, qu'à trouver le temps moyen de A lorsque la Lune passe au méridien de longitude (j£ — t), problème facile à résoudre avec la Connaisscmce des temps.
Calculer la johase de la Lune pour une époque et un lieu donnés.
Solution : Soient (fig. iOO), à l'époque donnée :
T, L, S les centres de la Terre, de la Lune, du Soleil; M le lieu donné à la surface de la Terre; MP la direction de l'axe du monde.
Prenons M pour centre et M L pour rayon de la sphère céleste. Désignons par :
axhy le disque de la Lune ou l'intersection de la sphère céleste avec
la sphère lunaire ; m le pôle de ce disque ou l'intersection de la Lune avec ML; xcijle. cercle d'illumination de la Lune; s son pôle situé sur LS; a; y la ligne des cornes; x son extrémité nord; ach le grand cercle de la lune déterminé par le plan MLS; AB le diamètre du disque lunaire déterminé par le plan PML du
cercle horaire de L dont il fait partie sensiblement ; A l'extrémité
nord ; B l'extrémité sud de ce diamètre ; kpin le cercle d'intersection de la sphère lunaire par le plan PML; hp le rayon de la Lune parallèle à MP; fj la grandeur as c de la phase ;
u l'angle déposition ALx de la ligne des cornes xy, compté, à
partir de A, positivement vers l'est ou dans le sens de la flèche f\ (cl), iX) et {A)\ ^') les coordonnées équatoriales du Soleil et de la
Lune, l'origine des axes coordonnés étant au centre de la Terre T ; (^lij, 'Xi) ce que deviennent (ib, L?) lorsque, la direction des axes
restant invariable, on transporte leur origine en L; (,^>J, ^j) ce que deviennent (,l)', T) lorsque, la direction des axes
restant invariable, on transporle leur origine en M.
Pour l'époque donnée, on trouve {J\j, 'T), (J{)' , 2') dans la Connaissance des temps et on en tire facilement (Aij, l^i), (XI, 'î[)y savoir :
(A'n S£l) par les formules ordinaires de parallaxe appliquées au lieu
donné M ; {X\i ^i) par les mêmes formules appliquées au lieu terrestre \}. situé
sur TL, après avoir remplacé, dans ces formules, le rayon p ou T;j,
par la distance d = TL.
A la suite de ces calculs préliminaires et faciles, considérons le triangle sphérique lunaire pms dans lequel
Il nous donne immédiatement
^ cos g = cos '£^ cos Ti + sin ^^ sin fj cos (X^ — XJ),
^ "^ ( sin gr sin u = cos LÎi sin IJÎ'J — sin '£^ cos iîî cos (Ai, — Aj'i),
formules qui permettent de calculer g et u, c'est-à-dire la grandeur et l'angle de position de la phase.
REMARQUES
1° Le point nord A du disque lunaire sera éclairé et le point sud B obscur, ou inversement, suivant que «, toujours compris entre — ^
et 4- ^y sera positif ou négatif; c'est-à-dire d'après la 2° équation (1) où sin g est toujours positif, suivant que
tg ^; ^ tg ifi cos {\ - M).
2° Au moment du passage de la Lune par le méridien du lieu M, l'intersection t de la sphère lunaire avec TL se trouve sur l'arc de grand cercle lunaire Apni et l'on a évidemment
en dé.dgnant par ir/ la parallaxe de hauteur de la Lune, donnée par
la formule
î^' = n' sinz',
où ir est la parallaxe horizontale de la Lune, c' sa dislance zénithale méridienne.
3*^ Si, pour se préparer à une observation méridienne de la distance polaire de la Lune, on désire seulement connaître lequel des points A, B est éclairé ou observable, on peut, avec une approximation très suffisante, prendre
pour le Soleil, en négligeant l'angle a = LST; et
a,; = A/, ^[ = T +ïrj',
pour la Lune. On a, dès lors, pour choisir le bord observable dans la lunette qui renverse la Lune, la règle suivante :
^, .^ ^ , i ^ ,x ( >- Jjord inférieur,
tg ^ > tg ^ cos (^ - .y) ; , , . . '
° ^-- ' *=^ i^ord supérieur.
Observation d'un passage de la Lune. — Réduction.
Solution : Afin de pointer le bord de l'astre en distance polaire aussi près que possible du méridien et d'observer les passages à des fils symétriques par rapport au fil moyen r,„, l'observateur combine l'ordre de ses opérations suivant qu'elles doivent porter sur le premier ou le deuxième bord.
Dans tous les cas, il observe, en premier lieu, les passages du bord aux trois fils c, h, a.
S'il s'agit du premier bord, il observe encore les passages aux six fils du milieu. Aussitôt après, il pointe en distance polaii-e le bord complètement éclairé, en faisant plusieurs pointés à la seconde ronde, symétrique de part et d'autre du méridien. Il termine en observant les passages aux fils A, B, G.
S'il s'agit du deuxième bord, après l'observation des passages aux
trois premiers fils, il pointe le bord inférieur ou supérieur en distance polaire et revient, aussitôt après, à l'observation des passages aux six fils du milieu et aux trois derniers.
Si, par accident, les passages n'ont pu être obtenus à des fils symétriques, la réduction au méridien se fait fil par fil de la manière suivante :
Soient (fig. 101 et 103), à l'époque sidérale t du passage au fil v :
P le pôle ; Z le zénith géocentrique ;
0 la position vraie ou géocentrique du point observé; 2), ô, z sa déclinaison, son angle horaire, sa distance zénithale géocentrique ZO;
0' la position apparente de ce point; ^',0', z' les quantités analogues deO), Ô, z;
f la distance angulaire en temps du fil v au fil i',„;
if} la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune;
OM, O'M' des arcs de grand cercle abaissés de 0, 0' perpendiculairement au méridien PZ;
p := le rayon terrestre G A de l'observateur.
1° Le calcul de la parallaxe p en distance zénithale géocentrique est facile. Le triangle rectiligne GAB donne la relation
sin p sin z' sin (z ■+- p)
