ÉCLIPSES DE SOLEIL

Soient, à une époque quelconque :

J\j, '■I, D les coordonnées géocentriques équatoriales de la Lune L ;

,1/, S', D' les coordonnées analogues du Soleil S;

a, p les coordonnées de la direction Oz menée parallèlement à LS

par le centre 0 de la Terre; G la distance LS des centres du Soleil et de la Lune.

1° Axe des cônes d'ombre et pénombre. — Le triangle rectiligne OLS, projeté sur les axes de coordonnées équatoriales, donne les relations

/ G sin j3 cos a = h' sin T cos A)' — D sin L? cos À>, (1) j G sin p sin a = J)' sin ^ sin J{^' — D sin U? sin .li, ( G cos p = D' cos T —T) cos ^I,

permettant de calculer a, p^ G qui diffèrent respectivement assez peu de ..L', 'X' 1 C'a cause de la petitesse de D devant D', Les différences sont même extrêmement petites aux époques d'une éclipse de Soleil,

à cause de la petitesse de l'angle LOS qui vient encore les diminuer. Si nous ajoutons les deux premières relations (1) multipliées respectivement par cos a, sin a, nous avons

G sin p = D' sin '2' .cos (« — A') — D sin iT cos (a — Ai),

ou, en négligeant le carré des petites quantités (a — Ai'), (« — A^,

C2) G sin p = D' sin 'X' — D sin ^i".

Les équations (1), (2) donnent immédiatement Ig a, tg p si l'on

divise la seconde par la première et la quatrième par la troisième. Mais il convient de calculer (a — A/), (p — T) qui peuvent, à cause de leur petitesse, s'exprimer très simplement avec une grande approximation.

En ajoutant les deux premières équations (1) multipliées respectivement d'abord par cos ,1)', sin ,1)', puis par — sin ,1;', cos X' , nous obtenons

G sin p cos (a — a;) = D'sin $' — D sin S cos (.^ — .V), G siup sin {a — ,h')= — 'D sin iJ? sin {^ — Jh').

En ajoutant la dernière équation (1) et l'équation (2) multipliées respectivement d'abord par cos •£' , sin il", puis par — sin '£' , cos 'X'f nous obtenons de même

^ G cos (p - T) = D' - D cos (y? - T), ^'^^ l G sin {p — ^') = ~T> sin {'X — 'I').

Les relations (3) et (4) divisées membre à membre donnent :

D sin :J?

(o) tg (a — Ai ) =

D sma

1 ~ TT' -■ T, COS L-b — ,1)')

§ sin (-î - ^') (6) tg (p d?') = -

i-^cos(i£-^')

ou bien, à cause de la petitesse de ^-75 {Aj — Jh'), (iS — $')> '^^ formules très approchées

en posant

D'ailleurs, si nous ajoutons les équations (1) élevées au carré, nous

avons

G- ==D'^ + D- — 2DD' cos A,

en désignant par A la distance angulaire géocentrique SOL du Soleil et de la Lune; ou, avec une approximation suffisante, à cause de la petitesse de A qui est de l'ordre de (,h — A'), (^ — T),