PROGRESSIONS DES DIVERS ORDRES

Les progressions sont les premières séries qui aient fixé l attention des géomètres. Il ne pouvait en être autrement. Diverses suites, dont la lonsidération se présentait naturellement à leur esprit, telles que la suite des nombres entiers, la suite des nombres paii's, la suite des nombres niq)airs, offraient cela de commun, que les divers termes de chacune d'elles étaient équidifférents entre eux; et Ion se trouvait ainsi conduit à remarquer le.s progressions par dijjërence, autrement appelées progressons arithmétit/nes. De plus, en divisant algébriquement deux binômes l'un par l'autre , ou même en divisant un monôme par un binôme, on voyait naître \a progression par (juotient, autrement appelée progression géométrique, <\[n offj'e le premier exemple d'une série ordonnée suivant les puissances entières d'une méuie quantité.

En réalité, une progression arithmétique ii'est autre chose qu uih; série simple dont le terme général se réduit à une fonction linéaire du nombre (pii exprime le rang de ce terme.

Pareillement, une pi agression géométrique n'est autre chose (|u'ime série simple, dans laquelle le terme général se trouve représenté par une exponentielle dont l'exposant se réduit à une fonction linéaire du rang de ce même ternie.

Il en résulte qu'une progression géométrique est une série simple dont le terme général a poui- logarithme le terme général d'une progression arithmétique.

Il y a plus; de même qu'en géométrie on distingue des paraboles de

divers ordres, de même il semble convenable de distinguer en analyse des progressions de divers ordres. En adoptant cette idée, on devra naturellement appeler progression arithmétique de l'ordre m une série simple dont le terme général sera une fonction du rang de ce terme, entière et du degré m.

Pareillement, il paraît naturel d'appeler progression géométrique de l'ordre m une série simple, dans laquelle le ternie général se trouve représenté par une exponentielle dont Texposant est une fonction du rang de ce terme, entière et du degré m.

Cela posé, le terme général d'une progression géométrique de Tordre m aura toujours pour logarithme le terme général d'une progression arithmétique du même ordre.

Les définitions précédentes étant admises, les progressions arithmétique et géométrique du premier ordre seront précisément celles que 1 on avait déjà examinées d'une manière spéciale, celles-là même dont les diverses propriétés, exposées dans tous les Traités d'Algèbre, sont parfaitement conluies de tous ceux qui cultivent les sciences mathématiques.

Ajoutons que les progressions arithmétiques des divers ordres , quand on les suppose formées d'un nombre fini de termes , offrent des suites que les géomètres ont souvent considérées, et que Ton apprend à sommer dans le calcul aux différences finies. Telle est, en particulier, la suite des carrés des nombres entiers; telle est encore la suite des cubes, ou, plus généralement, la suite des puissances entières et semblables de ces mêmes nombres.

Mais, entre les diverses progressions, celles qui, en raison des propriétés dont elles jouissent, méritent surtout d'être remarquées, sont les progressions géométriques des ordres supérieurs au premier. Celles-ci paraissent tout à fait propres à devenir l'objet d'une nouvelle branche d'analyse dont on peut apprécier l'importance en souf^eanl que la théorie des progressions géométriques du second ordre fournit immédiatement les belles propriétés des fonctions elliptiques, si bien développées par M. Jacobi.

§ P''. — Considérations générales.

Une progression arithmétique n'est autre chose qu'une série simple, dans laquelle le terme général ?<„, correspondant à l'indice n, se réduit à une fonction linéaire de cet indice, en sorte qn on ait , pour tonte valeur entière,

( ii3 )

positivr, nulle ou négative de n,

{ I ) ii„ = n -^ hn,

a et h désignant deux constantes déterminées.

Pareillement, une progression géométrique n'est autre chose qu une série simple, dans laquelle le ternie général u„, correspondant à l'indice n, se trouve représenté par une exponentielle dont l'exposant se réduit à une fonction linéaire de cet indice, en sorte qu on ait. pour tonte valeur entière, positive, nulle ou négative de n,

\, n, b désignant trois constantes déterminées. Il est d'ailleurs importaru d'observer que, sans diminuer la généralité de la valeur de ii„ fournie pailéquation (2), on peut toujours y supposer la constante A réduite à une quantité positive, par exemple, à la base

des logarithmes népériens.

En étendant et généralisant ces définitions, ou devra généralement appeler progression arithmétique de l'ordre m une série simple dont le terme général u„ sera une fonction de I indice n , entière et du degré m.

Pareillement , il paraît naturel d'appeler progression géométrique de l'ordre m une série simple dans laquelle le terme général u„ se trouve représenté par une exponentielle dont l'exposant se réduit à une fonction de findice «, entière et du degré /«.

Ces définitions étant admises, le terme général u„ d'une progression arithmétique de l'ordre m, exprimé en fonction de I indice n, sera de la forme

3) u„ = Ug -h ttt n -\- a2n^ -^ ■ . ■ -i~ a„ji'",

<7(,, fl,, «2, . . . , «m étant des coefficients constants, c'est-à-dire mdépeudants de n.

Au contraire, le terme général d'une progression géométrique de l'ordre m sera de la forme

et, par conséquent, il aura pour logarithme le ternie général d'une progiession arithmétique de l'ordre m.

Ex. d.in et de l'h malh., T. tV. (W^ livr.) l5

Si, pour abréger, on pose

OC Q - — - il. •. X ^ — A. ^ . . . ^ OC ff — i\

Téquation (4) donnera

Donc le terme général d'une progression géométrique de 1 ordre m peut être considéré comme équivalent au pioduit de m bases divei'ses

ryt /v* "V» 'V'

respectivement élevées à des puissances dont les exposants

1 , rt, n-, . . . , n'"

forment une progression géométrique du premier ordre, dont la raison est précisément le nombre n.

Si au coefficient Xo on substitue la lettre A:, et aux bases jr,,.r2,X3,...,Xm,,x,„ les lettres x, y^ z-^...^k>^ w, alors on obtiendra , pour le tei'me général u„ d'une progression géométrique de l'ordre /n, une expression de la forme

(6) u„ = kjc y z . ..V IV ,

et le terme particulier correspondant à l'indice n ^ o sera

Donc, si Ion nomme k le terme spécial qui, dans une progression géométrique, correspond à l'indice zéro, le terme général correspondant à l'indice n sera, dans une progression géome'trique du premier ordre, de la forme

kx";

dans une progression géométrique du deuxième ordre , de la forme

dans une progression géométrique du troisième ordre, de la foime

etc.

En terminant ce paragraphe, nous observerons que toute progression arithmétique ou géométrique peut être prolongée indéfiniment ou dans un

( "5 ) seul sens, ou ea deux sens opposés. S. u„ .eprésente le terme général d'une telle profîress.on , celle-ci , indéfiniment prolongée dans un seul sens, à partir (lu terme «„, sera réduite à Ja série

ou à la série

r.a même progression , indéfiniment prolongée dans les denx sens, sera ■ • ''-,. «,, Uo, u,, n.,

i II. - Sur tes r„odules et sur les condUions de convergence des progressions géométriques

des divers ordres.

Considérons dabord une progression géométrique de l'ordre m, dans laquelle le terme générah^,,, correspondant à l'indice .., soit de la forme

A désignant une quantité réelle et positive, et ,. une quantité entière positive, nulle ou négative. Si l'on suppose cette progression prolongée indéfi- ..unent dans un seul sens , à p.rtir du terme .„ = , , .,1e .se trouvera réduite on H la série

ou a la série

Dans le premier cas, le module de la progression .sera la limite vers laquelle convergera , pour des valeurs croissantes du nombre n , la quantité

Kf^A"-'.

Dans le second cas, au contraire, le module de la progression sera la limite ^lantiT "'"'^'"■'' «^'"^ '" ^^'"'^-^ '^'•^'^-"'- ^- --bre ., la

Knfin, s. Ion suppose la progression prolongée indéfiniment dans les deux

iD.

( ii6 sens , on obtiendra la série

dont les deux modules se confondront, l'iiu avec le module de la série (i), l'autre avec le module de la série (2). D'ailleurs ces deux modules, c'est-à-dire les limites des deux expressions

An"""' A (-<;'"«'"-'

se réduiront évidemment, 1° si l'on suppose m = i, aux deux quantités

A et A-';

2" si l'on suppose m impair, mais différent de l'unité , aux deux quantités

3" si l'on suppose >n pair, à la seule quantité

Ajoutons que l'on aura encore, i" en supposant A < i,

A*'=o, A~'-<'=roc;

2" en supposant A > i,

Il est maintenant facile de reconnaître dans quels cas les séries (1), (2), (3) seront convergentes. En effet, une série quelconque, indéfiniment prolon{{ée dans un seul sens, est convergente ou divergente suivant que son module est inférieur ou supérieur à l'unité. De plus, quand la série se proJonge indéfiniment en deux sens opposés, il faut substituer au module dont il s agit le plus grand des deux modules, et l'on peut affirmer que la série est alors convergente ou divergente, suivant que le plus grand de ses deux modules est inférieur ou supérieur à l'unité.

Cela posé, on déduira évidemment des remarques faites ci-dessus les propositions suivantes :

1" Théorème. Soient A une quantité positive, et m un nombre impair quelconque. La progression géométrique

dont le module est A ou A*, sera convergente ou divergente, suivant que