SUBSTITUÉE A LA THÉORIE DES IMAGINAIRES
Prélir» iriei irts .
Les géomètres, surtout ceux (|ui s'efforcent de contribuer aux progrès des sciences mathématiques, ont été quelquefois accusés de parler une langue qui n'a pas toujours Tavautage de pouvoir être facilement comprise, et de fonder des théories sur des principes qui manquent de clarté. Si une théorie pouvait encourir ce re[)roche, c'était assurément la théorie des imaginaires, telle qu'elle était généralement enseignée dans les Traités d'algèbre. C'est pour ce motif qu'elle avait spécialement fixé mon atteutioti dans l'ouvrage que j'ai publié, en 1821, sous le titre àJnaljse algébriiiue, et qui avait précisément poui' but de donner aux méthodes toute la rigueur que l'on exige en géométrie, de manière à ne jamais recouiir aux raison.s tirées de la généralité de l'Algèbre. Pour remédiei' à l'incouvénieut sipnalé , j'avais considéré les équations imaginaires comme des formules symboliques, c'est-à-dire comme des formules qui, prises à la lettre et interprétées d'après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n'ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts en modifiant et altérant, selon des règles fixes , ou ces formules, ou les symboles qu'elles renferment. Cela posé, il n'y avait plus nulle nécessité de se mettre l'esprit à la torture pour chercher à découvrir ce que pouvait représenter le sipne symbolique \ — i, auquel les géomètres allemands sid)Stituent la lettre/. Ce signe ou cette lettre était, si je puis ainsi m'exprimer, un outil, un instrument de calcul dont l'inlrodnclion dans les formules permettait d'arriver
plus rapidement à la solution très-réelle des questions que l'on avait posées. Mais il est évident que les théories algébriques deviendraient beaucoup plus claires encore, et beaucoup plus faciles à saisii', qu'elles pourraient être mises à la portée de toutes les intelligences, si l'on parvenait à se débarrasser complètement des expressions imaginaires, en réduisant la lettre z à n'être plus qu'une quantité réelle. Quoiqu une telle réduction parût invraisemblable et même impossible au premier abord, j'ai néanmoins essayé de résoudre ce singulier problème, et, après quelques tentatives, j'ai été assez heureux pour réyssir. Le principe sur lequel je m'appuie semble d'autant plus digne d'attention, qu'il peut être appliqué même à la théorie des nombres, dans laquelle il conduit k des résultats qui méritent d'être remarqués. Entrons maintenant dans quelques détails.
§ I'"'. — Sur les équivalences arithmétiques et algébriques.
Lorsque deux nombres entiers /, /« , étant divisés par un troisième n , fournissent le même l'este, ils sont dits congrus ou équivalents , suivant le module ou diviseur n. Pour indiquer cette circonstance, on peut écrire, avec M. Gauss,
(ij l^m (mod. ni.
Pareillement, si (p{^), yi{^) représentent deux polynômes en a?, ou, en d'autres termes, deux fonctions entières de j:, qui, étant divisées algébriquement par une troisième 7s(x), fournissent le même resie, on peut dire que ces polynômes sont équivalents entre eux, suivant le module ou diviseur ty (.r), et indiquer cette circonstance, comme l'a fait M. Kummer, en écrivant
(a) <^{3c)~x{x) [mod. s7(j;)J.
On doit donc distinguer deux espèces d'équivalences , qui pourront être appelées, les unes arithmétiques, les autres algébriques, une équivalence arithmétique étant relie qui indiquera l'égalité des restes de deux divisions arithmétiqr.es; tandis qu'une équivalence algébrique indiquera l'égalité des restes de deux divisious algébriques , le diviseur arithmétique ou algébrique demeurant le même dans les deux divisions successivement effectuées.
Pour introduire cette distincfion dans les formules, et faire en sorte que les équivalences algébriques ne puissent être confondues ni avec les équivalences ai'ithméliques, ni avec les équations proprement dites, j'aurai recours à un nouveau signe; et quand il s'agira d'exprimer une équi-
( S9) valence algébrique , alors, dans le signe qui s'applique aux équations, c està-dire dans le signe =: formé de deux traits rectilignes superposés, je remplacerai le trait supérieur, uon plus par deux traits rectilignes distincts, comme on le fait dans le cas où l'on veut exprimer une équivalence, mais par un crochet trapézoïdal, ou bien encore par un trait recourbé on arc de cei-cle, en réservant toutefois ce l'ernier signe, ainsi que je rexpli<|uerai dans le § II, pour le cas spécial où le polynôme ct (x) se i-éduit à un binôme de la forme x^-hi. De plus, pour éviter toute méprise, et attendu que le mot module a reçu dans la langue analytique un grand nombre d'acceptions diverses, je donnerai la préférence au mot diviseur, quand il s'agira de nommer le polynôme par lequel on doit effectivement diviser les deux membres d'une équivalence algébrique. Par suite, quand j'écrirai le polynôme entre parenthèses à la suite d'une équivalence, je le ferai précéder, non plus des trois lettres initiales mod., mais des trois lettres initiales div. Cela posé, la formule
(3) © {x) ^rri / [x) [div. 57 (x)]
exprimera que les deux polynômes çi ix) , y^ [x) sont équivalents entre eux , suivant le diviseur zô{X;, ou, en d'autres termes, que les deux polynômes, divisés algébriquemennt par zô (x), fournissent le même reste. Cette équivalence pourra donc toujours être remplacée par une équation de la forme
(4) (f {x) = i[x) + uv; [x] ,
u désignant une fonction entière de x.
Il est aisé de voir que des équivalences algébriques, quand elles sont toutes relatives au même diviseur, peuvent être, aussi bien que des équivalences arithmétiques, combinées entre elles par voie d'addition, de soustraction et de multiplication. Ainsi , par exemple , si , en prenant ro [x] pour diviseur algébrique , on désigne par
diverses fonctions entières de .r, les formules
(5) ç [x) i=f X (■^) ■■ ?. .^) -^ X. \^) . ?2 (-ï-, :r^ /.2 f^r) , . . . ■ entraîneront les suivantes :
^6) 9 (Jc) -i- û, (x) + (p, (j:) + . , . i=i ;^ [x) ■+- /, ix) + X, (x) -t- . . . , (7) Ç'W?.l*')?2(-a^).-.^^X(^)/., (x)x2(j:)
Et. d'An. cC de l'h.math., T. IV. ("Qe livr.; I 2
Effectivement, les formules (5), présentées sous la forme d équations véritables , deviendront
u, u,,U2, ... étant des fonctions entières de x. Or des formules (8), combinées entre elles par voie d'addition et de multiplication , ou tirera
(9) f l-^) + ?, (^) + 'f î ix-) + ... = y^ (.x) + X. i^-) -+■ X 2 (■»■' + • ■ • + U w (.x) , et
(10) f{x)(p,{jr)(p,(x). . . = /.Gr)x,(a')/2(.^) • • •+ Vw(.r), U, V étant des fonctions entières de .x déterminées par les formules
t! = w -t- i^, + ?fj + . . . ,
y = un,U2. . . [w(.r)]"-'
+ [") "2 ■ • / (r) + if «2 . . . X, (,a:) 4- « w, . . . / 2 (.r) + . . . |S[ra {x)]"'' -+- etc. . .
■^ "x< (■*■)/ 2 (-3^) • • . + M,x(.-î-^X^(-3"V • •+ «2Xi-^)X. v-^')
Or, la fonction entière rs{œ) étant prise pour module, les équations (9), (10) peuvent être présentées sous les formes [6) et (7). Ajoutons que si, dans la iormule (7), on suppose les fonctions cp {x), 9, {x), 92 (•^) égales entre elles , on aura, en désignant par m le nombre de ces fonctions,
(11) [9{^)]"'^[xi^)]"'-
De la formule (1 1) comparée à la formule (3) , il résulte que, sans altérer une équivalence algébrique , on peut élever ses deux membres à la m'''""' puissance , quel que soit le nombre entier m.
Lorsqu'on a fait passer dans le premier membre d'une équivalence algébrique tous les termes que renfermait cette équation, elle se réduit à la forme
(•2) f (\z) ::::^ o [div. w(.r)],
f (a:) étant une fonction entière de x. Supposons maintenant que, la fonc-
( 91 ) tion ct(xi étant du degré m, on nomme
le reste de la division algébrique de f ^r) par 3t(x). ï/équivalencc (12) pourra être présentée sous la lorme
Or, comme l'équation (i3) devra subsister, quel que soit jt, on en tirera, en
posant a: ^ o,
Vo = o.
On aura donc encore
t, j: -+-... + Ci^^x" '^ + c„, a"'' = o; puis, en divisant par x ,
Cette dernière équation devant elle-même subsister, quel que soit Jc, on en
tirera
et, en continuant de la sorte, on finira par reconnaître que la formule (i3) entraîne avec elle n équations distinctes, savoir,
(i4 ) Co = o , f, = o , . . . , t„2 = o , f„, = o.
Donc, lorsque le diviseur 7s[x) est une fonction entière du degré n. une équivalence relative à ce diviseur entraîne avec elle n équations , qu on obtient en divisant le premier membre par zs [x), après avoir fait passer tous les termes dans ce premier membre, et en égalant ensuite à zéro les coefficients des diverses puissances de x comprises dans le reste de la division effectuée.
Pour montrer une application très-simple des principes que nous venons d'établir, considérons en particulier le cas où le diviseur sr {x) se réduit au binôme x" — i. Comme ce binôme divisera la différence
quel que soit d ailleurs le nombre entier m, on aura généralement
(i5) x'""—i^=co (div. x" — i),
( 9^ ) ou , ce qui revient au même ,
puis, en multipliant les deux membres de la formule ( i6) par jc', on en tirera, pour des valeurs entières quelconques de l et de m ,
Si, dans cette dernière formule, on attribue successivement à / les valeurs
I, 2, 3,. ... H — I, on en tirera
le diviseur étant toujours le binôme x" — i. Soit maintenant
(19) ï {jc) ::= Oo -{- a, a: -h a^Jc'^ -h ■ . . -i- a„ac" -^ a„+,jc"*' -h ... + a^,,^'^"-^ ■■■
une fonction entière quelconque de .x. Gomme, en vertu de la formule (1 7) , on aura généralement
'hnn^l x"-"^' ^=1 a,„„^ix' (div. X" - i);
l'équation (1 g) donnera
i{x) ^=:^ fito + a„ + flo,, 4- . . . N
1,20) ' ^{a.n-^an+^+ a.,n+i-^ ■ ■ .)x'^ (div. .r" — i).
(a„, + ao„, -^ . . .)x'-
Cette dernière formule fait connaître immédiatement la fonction entière de x du degré « — ;, qui représente le reste de la division algébrique de {(x) par le binôme x" — i. On peut d'ailleurs étendre la formule (20) au cas où, le second membre de l'équation (19) étant composé d'un nombre infini de termes, la fonction f(x) serait, en vertu de cette équation même, la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable x.
(93 ) ConsidéroDs encore le cas où le diviseur se réduirait au binôme x" -h i. Comme ce binôme divisera la différence
jc'"" — (— i)'",
quel que soit d'ailleurs le nombre entier m, on aura généralement, pour des valeurs impaires de m ,
(21) a:'"" + 1^0 (div. x" + 1), ou, ce qui revient au même,
(22) j:'""^^^ — I, et, par suite,
(23) ym«+/. . — x',
l étant un nombre entier quelconque. On trouvera, au contraire, pour des valeurs paires de m, . .
(24) x"'" - I Irr: o (div. x" -t- i) , ou , ce qui revient au même ,
et, par suite,
Cela posé, il est clair qu'en prenant pour diviseur le binôme or" + 1, on déduira de l'équation (19), jointe aux équivalences 1 23) et (26) , non plus la formule (20), mais la suivante :
-+■ [a, — «„+, + aj„.^, - . . .}X I
(27) -h (an — rt„+2 — a^„,.., —.. . x^ , (div. x" -+- i).
H- (fl„, — rtj„, -+-. . .)x"~*
Cette dernière équivalence fait immédiatement connaître la fonction entière de X du degré n — i, qui représente le reste de la division algébrique de fix) par le binôme x" + 1.
§ II. — Substitution des équivalences algébriques aux équations imaginaires.
Dans la ihéorie des équivalences algébriques substituée à la théorie des imaginaires, la lettre /cessera de représenter le signe symbolique \ — i, que nous répudierons complètement , et que nous pouvons abandonner sans regret , puisqu'on ne saurait dire ce que signifie ce prétendu signe , ni quel sens on doit lui attribuer. Au contraire , nous représenterons par la lettre i une quantité réelle, mais indéterminée; et, en substituant le signe '^^ — " au signe =r , nous transformerons ce qu'on appelait une équation imaginaire en une équivalence algébrique, relative à la variable i et au diviseur ;'■' ^ i . D'ailleurs, ce diviseur restant le même dans toutes les formules, on pourra se dispenser de l'écrire. Il suffira d'admettre, comme nous le ferons effectivement, que le signe -^ — ' indique toujours une équivalence algébrique relative au diviseur i^ -h i. Cela posé, on passera sans peine des équations qui renferment une variable réelle aux équivalences qui devront remplacer les équations imaginaires. Et d abord, comme le binôme
divisera généralement la différence
quel que soit le nombre entier m, on en conclura
ou, ce qui revient au même ,
(2) yam ■-^> i)"'.
puis, en multipliant par / les deux nombres de la formule (i6). on trouvera encore
Par suite, si fon remplace successivement le nombre entier m par le nombre pair 2/71, et par le nombre impair iin -»- i, on tirera des formules(2)
et (3),
Eu égard à ces diverses formules, si Ion nomme f (i) une fonction entière
(95) de / déterminée par l'équation
(5) f(/) = ^/„ + a,/ -H C/,/- -t- rtj/' + «„/^ + flj/on aura encore
Observons, au reste, qu'on pouvait déduire inîmédiatemcnt les e(|uivalences (4) et (6) des formules (aS), (a6), (27) du premier parajjraphe , eu remplaçant dans ces formules le nombre 71. par le nombre 2 , et la lettre x par la lettre /. Observons, de plus, que la formule (6) peut être étendue au cas où, le second membre de réquation (6) étant composé d'un nombre infini de termes, la fonction f(/) serait, en vertu de cette équation même, la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable i.
Si la fonction f {/) est le produit de deux facteurs linéaires
il sera facile de la développer suivant les puissances ascendantes de/. On aura . t-n effet,
(7) ■• {a + ëi){y + &i)=7.y-i-{a& + §y)i + ë<}i';
et, de même que l'équation (5) entraîne l'étpii valence (6), de mètuf l'étiuation (7) eutraîuera la formule
(8) (a + ê /■) (7 -I- c? /) ::=r «7 - Se? + [</J + gy ) /.
Si, dans l'équivalence (7), ou réduit le binôme 7 + ai à la foiuic a — g/, l'Ile dounei'a
Ajoutons que, si dans la formule (8), ou ehan^je K' si);ne de la variable /, on trouvera
(10) (a - 0/) (7 - ai) j=^ ay - gt? -4- [aà + g7) /.
Enfin, si Ion combine entre elles, par voie de multiplication, Ifs ((imvalences (8) et ( lO;, on en conclura, eu égard à la luruuile (9),
(il) (a=' + g = }i^7= + c?-):^ (7.7- gc?)^ + (a(j^ + g7)^
D'ailleurs, les deux membres de la formule (11) étant indépeudauls de /,
(96) coïncident avec les restes qu'on obtient , en les divisant algébriquement par /^ + I. Donc le signe ^- — ' , employé pour indiquer l'égalité des restes, pourra être remplacé, dans la formule l'i i) , par le signe =, et cette formule pourra être réduite à l'équation
(12) [a' -f- ê^j (7^ + c?=) = (ay - §ây ^- [(/.â ^ §7 )^
qui, lorsqu'on attribue des valeurs entières aux quantités «,0,7, â, fournit, comme Ion sait, la proposition suivante ;
Si l'on multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carrés, le produit sera encore une somme de deux carrés.
On vient de voir que, dans la formule (i i) , on peut remplacer le signe '^ — ■' par le signe =. En général, comme dans toute équivalence relative an diviseur i^ -^ 1, le sigue •" — - indique l'égalité des restes qu'on obtient en divisant deux fonctions entières de /par /^-f- i, il est clair que si les deux membres de l'équivalence se réduisent à des jonctions linéaires de i, on pourra remplacer encore le signe ^ — ^ par le signe = , et réduire ainsi l'équivalence proposée à U7ie équation véritable.
Considérons maintenant lune quelconque des équivalences algébriques qui se rapportent au diviseur /^ -t- i. Si, après avoir fait passer tous les termes dans le premier membre, et réduit ainsi l'équivalence proposée à la forme
on nomme Cg-h c,i le reste de la division algébrique dr ( (i) par /^-i-i, l'équivalence (i3), transformée en une équation véritable, poinra s écrire comme il suit :
{ï^) Co-h c,i = o.
D'ailleurs, l'équation i4) devant subsistei-, quel que soit i , ou en tirera d abord , en attribuant à i une valeur nulle ,
De plus, de la formule (i 4), jointe à la formule (i5), on tire, quel que soit /,
et , par conséquent ,
( 97 ) L'équivalence (i 3), substituée à une équation imaginaire quelconque, entraînera donc toujours avec elle deux équations réelles (i5) et (i6), que Ion obtiendra en égalant à zéro la partie constante et le coefficient de /, dan^ le reste de la division f (/) par /^ + i. Les deux équations réelles dont il s'agit sont précisément celles que l'on considérait comme [)ouvant être symboliquement représentées par l'équation imaginaire à laquelle nous avons substitué l'équivalence (i3).
^ m. — Usage des équivalences algébriques dans la trigonométrie et dans l'analyse des
sections angulaires.
Si, dans la formule (8) du paragraphe précédent, on remplace les binômes
par des binômes de la forme
cosjc-i- isinx, iioi j + /sinj-, '.
elle donnera ,
(cos X -I- jsin j:) (cos J' -i- iûa j) ^ — - coso? coi j — sin j: sin y
-+- < (sinx cos T' H- sinj- cosar, ou, ce qui revient au même,
( i) (cosa: -+- isin j:) {cosj -a- i sin jr) ^ — - cos(x +^) 4- /sin [x -i- j).
On peut donc énoncer la proposition suivante :
I*'' Théorème. Pour obtenir une expression équivalente, suivant le diviseur P -\- \, au produit d un binôme de la forme
cos X + i sin x
par le binôme semblable dans lequel celui-ci se transforme quand on remplace X par j-, il suffit de remplacer, dans le premier binôme , l'arc x par la somme x -h y.
Corollaire. Si, après avoir obtenu la formule (lo), on multiplie les deux membres de cette formule par un troisième binôme de la forme
cos z -^ /sin z,
alors, en ayant égard au théorème énoncé, on trouvera
(cos X -)- ii'xnx) (cos J -+■ i sin j) (cos z -\- i sin z) — ■' cos (jT -H j M- :;') H- /sin [x -\- j + z).
Ex.dAn.elde Phrs.math.. Y \y.'-^'\i\T.) l3
( 98 ) Il y a plus; en opérant plusieurs fois de semblables multiplications, on déduira évidemment du i^"" théorème la proposition suivante :
i'' Théorème. Pour obtenir une expression équivalente, suivant le diviseur P -h i, au produit du binôme
cos JC ^- / siu X'
pai' les binômes semblables dans lesquels celui-ci se transforme quand on remplace r par y ou parz, . . . , il suffit de remplacer dans le binôme proposé l'arc jc par la somme
jc -\- j -h z + . . . .
Corollaire. Si, dans le ■2" théorème, on suppose les arcs Jc, j, z, . . . tous égaux entre eux , alors , en désignant par n le nombre de ces arcs , on verra leur somme se réduire au produit tijc , et l'on obtiendra la proposition suivante:
3* Théorème. Si l'on divise la n'""'' puissance du binôme cos x -+- îsin ,f |)ar /- + I, le resle de la division sera cosnx -+- isinnx-.
Tel esl , dans la théorie des équivalences algébriques , l'énoncé du théorème fie Moivre. Ajoutons qu'en vertu des conventions adoptées, ce théorème sera exprime analytiquemenl par la formule
(2) (cos X + / sin j:' )" '- — " cos tix -h / siu nx.
Voyons maintenant quelle est l'équivalence algébrique qui doit être substituée à la lelation découverte par Euler, entre les sinus et cosinus et les exponentielles imaginaires.
On prouve aisément que l'exponentielle e'* peut toujours être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de.r, à l'aide de la formule
en vertu de laquelle e-^ peut être considérée comme une fonction entière de JT, composée d'un nombre infini de termes.
D'ailleurs, si, dans la formule (3), on remplace x par /.r, on en tirera
Cela posé, la formule (6) du paragraphe pi-écédent donnera
Mais
. d'autre part
, on établit aisément les équations
i COS X = I H ^-, —
Houe la formule (5) donnera simplement
(7 p'^ "::=::: cosx -h i iin jc ,
et 1 ou pourra énoncer la proposition suivante :
4* Théorème. Si Texponentielle e'^, développée suivant le,-, puissauces ascendantes de i, et considérée, dès lors, comme une fonction entière de z, est divisée algébriquement par le binôme i^ + i, le reste de la division sera précisément le binôme
cos jc -i- / sin jc.
Tel est. dans la théorie des équivalences algébriques, l'énoncé du théorème d'Euler, qui, dailleurs, se trouve implicitement renfermé dans la formule (7). Il importe d'observer que la transformation des formules de Moivre et d'Euler en équivalences algébriques n'empêche point de tirer de ces formules toutes celles qu'on eu déduit ordinairement. Ainsi , par exemple , veut-on tirer de la formule (2) les valeurs de cos njc et de sin nx exprimées en fonctions entières de sin a: et de cosx' Il suffira d observer qu'en vertu des formules (5), (6) du § II, l'équation
(a^bi)" = a"^fia"-'bi-i- "'"~ ' a"-^ Z> -/-+-.. .
entramera léquivalence
et, queu égard à cette dernière, dans laquelle on peut remplacera et /> par cos j: et sin x. la formule (2) donnera
i COS nx -hi sianJf:::=::icos X ^ -cos - jr sm- .:«•
i * • / » < ri'n-i)[n
f -\- 1 [n co% X sm X ^^
( «oo j
(Jr, les deux membres de l'équivalence (9) étant des facteurs linéaires de i, coïncideront avec les restes de leur division par i^ -\- i . Donc le signe •- — ■ , employé pour indiquer l'égalité des deux restes, pourra être remplacé, dans la formule (9) , par le signe = , et l'on aura encore
cos/îx + I sm nx^^ coi," x cos""- jrsui"' x + . . .
\ + i [n cos"~' X sui X ^ — — -^ ■
Ajoutons que, l'équalion (10) devant subsister pour une valeur quelconque de /, et, par conséquent, pour ?' = o, les parties indépendantes de /dans les deux membres devront être séparément égales entre elles. Donc l'équation (10) entraînera les deux équations distinctes
COS//J: =: cos X i ■' cos""'' a: sm- a? +
SUI nx = 7icos"~' x%\nx ^^ -^ ^cos"~' jcsin^ j:
§ IV. — Sur les modules et tes arguments des binômes de la forme a-{-èi.
On s'assure aisément que tout binôme de la forme
a + Si peut encore être présenté sous cette autre forme
r(cost ■+■ isin^), / étant une quantité positive. En effet, pour que les deux expressions
a + ë/, r{cost + isin<)
représentent une seule et même quantité, quelle que soit d ailleurs la valeur attribuée à i; ou, en d'autres termes, pour que / restant indéterminé, on ait toujours
( 1 ) a + ê / = r (cos t + isiat), il suffit que r et t satisfassent aux deux équations
(2) a = rcos/, ê = rsin/. - ■ Or on peut y satisfaire en posant .
( loi ) et prenant ensuite pour t 1 un quelconque des arcs dont !e sinus et le cosinus sont déterminés par les formules
(4) cos t = ■> sin ^ = - 5
qui peuvent être vérifiées simultanémeut, puisqu'on en tire, eu éyard a la formule (3) ,
(5) cos^/ + sin- < = 1 .
La valeur positive de r, fournie par l'équation (^3), est ce que nous appellerons le module du binôme a -4- ê/. L'arc t, déterminé par les formules (4), sera Vargument du même binôme. D'ailleurs le module r, correspondant à des valeurs données de a, ê, offrira évidemment une valeur unique déterminée par l'équation (3), tandis que l'argument t, déterminé par le système des équations (4), offrira une infinité de valeurs représentées par les divers termes d'une progression arithmétique dont la raison sera la circonférence 2t: correspondante au rayon i .
Si le module du binôme a + §/ se réduit à zéro , l'équation
(6) r=o, que Ton pourra présenter sous la toruie
a- H- c- = G , entraînera nécessairement les deux suivantes :
et l'on arriverait encore aux mêmes conclusions, en partant soit des équations (2), soit de la formule (1,1. Ainsi, pour que, dans un binôme de la forme a.-h Si , les deux parties s'évanouissent, ou, en d'autres termes, pour que ce binôme s'évanouisse, quel que soit/, il suffit que le module /se réduise à zéro.
Si, au lieu d un seul binôme a-t-oi, on considère deux binômes de la même forme , savoir :
a -t- ê/ et y + â'i ,
et si Ion nomme r, r' les modules de ces deux binômes, en sorte qu'on ait
la somme des deux binômes , savoir :
aura pour module l;i quantité ■ j
[(a -H S)' + : y^â\^]^- = [r^ -H r'- -+- aia! -^ vc?)]^,
tandis que leur différence
aura pour module In quantité
Mais, d autre part, en remplaçant 0" par — 0" dans la formule ^i 1) du § II on en tirera
^a- 4- c I // — 0- i ^ i^ay -t- Sa \' -i- {y.o — cy)-, et 1 on en conclura ^
ou , ce qui revient au même ,
(«7 -H So*^' < /'■■' r'-.
Donc , par suite , la valeur numérique de la somme
sera inférieure au produit ta ', et les modules des deux binômes
a -H 7 -1- (o -f- c?V- a — 7 — (o — (?;:; seront tous deux compris entre la limite inférieure
[r2 2/v'-h r'^Y'= — {'- '•') et la limite supérieure
f ;■* -1- arr' -^ r'-] = /• + r'.
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante : i*""" Théorème. La somme de deux binômes de la forme
est, ainsi que leur différence, un nouveau binôme de la même foime , qui
offre un module compris entre la somme et la différence de leurs modules.
Si l'on ajoute successivement les uns aux autres plusieurs binômes de la
( io3)
forme a + ê/, alors on déduira immédiatement du i'^'^ théorème la proposition suivante :
2"= Théorème. La somme de plusieurs binômes de la forme a -\- èl offre un module inférieur à la somme de leurs modules. Si d'ailleurs, parmi les binômes donnés, il en existe un dont le module /' soit supérieur à la somme .s lies modules de tous les autres, la somme de tous les binômes offrira uu module supérieur à la différence r — s.
Pour abréger, nous appellerons module et argument d'une lonctiou entière de i le module et l'argument du reste que l'on obtient quand on divise cette fonction par /^ + i. Cela posé, toute fonction entière de i offrira toujours un module unique et une infinité d'arguments représentés par les divers termes d'une progression arithmétique , dont la raison sera la circonférence an. D'ailleurs, les i'^^' et 2*^ théorèmes entraîneront évidemment les propositions suivantes :
3" Théorème. La somme de deux fonctions entières de / offre, ainsi que leur différence, uu module compris entre la somme et la différence des modules de ces deux fonctions.
4" Théorème, lia somme de plusieurs fonctions entières de / ollre un module inférieur à la somme de leurs modules. Si d'ailleurs, parmi le» fonctions données, il en existe une dont le module r soit supérieur à la somme .r des modules de toutes les autres, la somme de toutes les fonctions offrira un module supérieur à la difféience r — s.
Si l'on multiplie l'un par lautre deux binômes de la forme
a + §/, y -h ai , on aura, comme on la vu dans le Jî il , noii-seulement
(8) •^a. -+■ §i) (7 + ai) ir:: aê — 7c? + {aâ + S7) /,
mais encoi'e
(.9) [a- + §' '^ (7' ^ r-) = (ag - 7(j)= -f- [rA + §7) ^
Si, d'ailleurs, on nomme , // ' les modules des deux binômes
et V le module du produit de ces binômes, la formule (9) [loiirra s'écrire comme il suit :
et l'on en tirera
Donc Le produit du module des deux binômes de lajonne a + îi est égal au module de leur produit.
Au reste, cette dernière proposition, et plusiein-s autres qui s'en déduisent, peuvent encore être facilement démontrées de la manière suivante :
En vertu de la formule (7) du paragraphe précédent, on aura
(j2) co?,t + iûnt^:=^e" ;
et en conséquence, l'équation (1) entraînera toujours avec elle l'équivalence
(,3) a -1- îi'^=::re",
dans laquelle r désigne le module et t l'argument du binôme a + ê/. Ce binôme pouvant d'ailleurs être le reste qu'on obtient quand on divise pai' /■^ + I une fonction entière quelconque de /, la formule (i3) entraînera évidemment la proposition suivante :
S^ Théorème. Lorsqu'on prend pour diviseur algébrique le binôme /^-(- 1 , une fonction entière quelconque de / est équivalente au produit de son module r par l'exponentielle népérienne e", dans laquelle t désigne l'argument de cette fonction.
Comme, étant données plusieurs expressions de la forme
le produit de ces expressions sera
rr'r" . .
tandis que la n!*""" puissance de la première sera
rr'r" . g '('-'-''-'-'"■*-■••)
le 5^ théorème entraînera encore évidemment les propositions suivantes :
& Théorème. Le produit de plusieurs fonctions entières de l'indéterminée «a pour module le produit de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments.
7* Théorème. I^a «"""^ puissance d'une fonction entière de i a pour module la n'^"'" puissance du module de cette fonction , et pour argument le produit du nombre n par l'argument de la même fonction.
Gomme le module d'une quantité a indépendante de la variable / se réduit à ia valeur numérique a de cette même quantité, le 5* théorème comprend évidemment la proposition suivante :
8* Théorème. Le produit d'une fonction entière de l'iudéteruiinée / par une quantité a indépendante de / a pour module le produit du module de la tonctiou par la valeur numérique a de la quantité a.
Observons encore que de la formule (i3jj on tire non-seulement lequivalence
(i4) (a + gr/':=rr^/-"e"",
qui s'accorde avec le •j'^ théorème, mais encore, eu égard k la formule i 12), l'équivalence
(i5) (a + êi)" ^=:: r" 'cos nt -+- i sin nt),
à laquelle on parviendrait aussi en élevant à la n"^""' puissance chaque membre de la formule (i), et en ayant égard à la formule fa) du paragraphe précédent.
Supposons maintenant que l'on pose, pour abréger,
Soient d'ailleurs, comme ci-dessus, r le module et t l'argumeni du binôme
a H- Si;
r et /■"
■«eront les modules respectifs des quantités
jc et x", qui vérifieront les formules
(17) X i:r=:re",
Soit encore {(x) une fonction entière de x, du degré //, en sorte qu'on ait
(19) i{x) — aoX" -h a,x"-* -h. . .-h a„^,x ^ n„. Enfin, désignons par
1 "/ï— ) î **rt
les valeurs numériques des coefficients '
£x. d'An, et de Ph-: s. m„th., T. IV. (40« liTr.; ^4
( io6 ) lies divers tenues de la tonction f (x) déterminée par l'équation (i4) auront pour modules respectifs les quantités positives
(20) aoT", a,r"-',..., a„^,i; a„ ,
qui sont respectivement égales aux produits du facteur r" par les divers termes de la suite
D'autre part , la fonction
étant divisée par le binôme /^ 4- 1, fournira un reste de la forme
P + Q/, que l'on pourra réduire à la forme
R(cosT + isinT), en nommant R le module de la fonction, déterminé par la formule
(22) h = ^/P^TW,
et T l'argument de la même fonction, déterminé par le système des deux formules
(23) cosT = |, sinT = |-
Observons maintenant que, pour de très-grandes valeurs de r, les termes de la suite (21) étant tous très-petits, à lexception du premier, celui-ci surpassera, si r est suffisamment grand, la somme de tous les autres. Alors aussi le produit de a^ par r", ou le premier terme de la suite (20)^ surpassera évidemment la somme des autres termes de la même suite, puisque cette seconde somme sera équivalente au produit de la première par /•". Cela posé, on conclura immédiatement du 4" théorème que le module R de la fonction
i{x] = f(a + Si)
est non-seulement inférieur à la somme
aof" + a, r"-' -+-... -1- a„, r + a,, ,
mais encore supérieur, pour des valeurs de /• suffisamment grandes, à la différence
ao'-" - la, r«-' +...-;- a„, r ^ a„) ;
en sorte qu'on a, pour de très-grandes valeurs de /'.
W' R>/-''(ao-^-^-...-^ -;:)•
Or, le second membre de la formule (24 ) étant le produit du facteur r" par la différence
qui S appioche indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n, de la limite «„, on peut affirmer que, le module /■ venant à croître, le module R deviendra infiniment grand , en même temps que r". On peut donc énoncer la proposition suivante :
9" Théorème. Supposons que, pour abréger, on désigne par la seule lettre x le binôme a -f 0/, dans lequel i désigne une variable indéterminée. Soit d'ailleurs f[x) une fonction entière de x composée d un nombre fini de termes. Si l'on fait croître indéfiniment le module r de la variable x, le module R de la fonction f (.r : deviendra infiniment grami . pour des valeurs infiniment grandes de /.
§ y ■ — Sur la siibstilutioii des ruiiiirs des éijiti valences algébriques auj- racines imaginaires
des équations.
Soil, comme dans le paragraphe précédent, Ux) une font tioji entière du degré n , en sorte qu'on ait
f [x) = a„x" -f- rt, x"^* -f- . . . -r- a„, X ■+- a„ ,
les coefficients «„, a, , . . . , a„ étiuit des quantités réelles. Les valeurs réelles de X qui satisferont à l'équation
sont ce quoi) appelle les racines réelles de cette équation. D'ailleurs le nombre de ces racines sera quelquefois égal, souvent inférieur au degré n de léquation; et même, si ce degré est un nombre pair, toutes les racines
( io8 ) réelles pourront disparaître à la fois. Mais si , en posant
{i) X = a + Si,
on remplace dans la formule (i) le signe = par le signe i=^, cette formule, réduite à l'équivalence
aura toujours des racines^ c'est-à-dire qu'elle pourra toujours être vérifiée par des valeurs de jc de la forme a. -+- Si. En d'autres termes, on pourra toujours trouver des systèmes de valeurs réelles des quantités a et 6, pour lesquels se vérifie la condition
Il y a plus; le nombre des racines de l'équivalence (3) sera toujours égal à // , et l'on peut énoncer les propositions suivantes:
i" Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux coefficients
léquivalence (3) a toujours n racines, et n'en saurait avoir un plus grand nombre.
2* Théorème. Si l'on désigne par .r, , Xî , . . . , a:„ les n racines de l'équivalence (3), le polynôme ( {x) sera équivalent au produit des facteurs linéaires
en sorte qu'on aura
(5) f (x) :i==: (x — .r,) {jc — x^ ) . . . {x - x„).
3* Théorème. Lorsque, dans une équivalence du degré n, le coefficient «„ du premier terme est réduit à l'unité, les coefficients a,, a^, a^, . . . , a„ du deu.xième , du troisième, du quatrième, . . . , du dernier terme, étant pris alternativement avec le signe — et avec le signe + , sont respectivement égaux à la somme des racines, ou aux sommes des produits qu'on obtient en multipliant ces racines deux à deux, trois à trois, etc., ou enfin au produit de toutes les racines.
On pourra aisément démontrer ces diverses propositions, et même les étendre au cas où chacun des coefficients compris dans la fonction entière f (x) serait remplacé par un binôme de la forme a -J- §/, si l'on part des
principes établis dans le paragraphe précédent, surtout dans le § IV, et si l'on suit d'ailleurs la marche que j'ai adoptée, dans le IV*^ volume des Exercices de Mathématiques, en démontrant les pro[)ositions correspondantes de la théorie des équations. Pour que les démonstraiions données alors deviennent applicables aux propositions nouvelles, il n'y a presque autre eho-e à faire que de remplacer le sifjne = par le signe '^-^ , et. les mots équations, égal, etc., par les mots équivalence , équivalent, etc.
On voit maintenant quelle idée on doit se former de ce qu'on appelait les racines imaginaires des équations. Dans la nouvelle théorie, elles deviennent des racines réelles d'équivalences algébriques. Ainsi, par exemple, cette proposition que Xéquatioii binôme
ce* -\- i — o
a pour racines les quatre expressions imaginaires comprises dans la Jormule
i étant une racine carrée de — i, devra s'énoncer dans les termes suivants:
L'équivalence
a pour racines réelles les quatre quantités comprises dans la Jormule
En d'autres termes, si l'on prend pour x l'une quelconque des quantités comprises dans la formule
x'' -t- I sera divisible algébriquement par /' + i .
I.orsque,dans une racine x = a -\- §/ de l'équivalence Ci), le coefficient o se réduit à zéro, cette équivalence, réduite à la forme
entraîne évidemment l'équation
par conséquent l'équation
On peut donc énoncer la proposition suivante :
( IIO ]
4* Théorème. Parmi les racines de l'équivalence (3), celles qui sont indépendantes de / sont en même temps des racines réelles de 1 équation (i).
Il est bon d'observer que le binôme z^ -+- i ne variera pas si l'on change / en /. Cela posé, si, les coefficîfents rto, rt,,. . ., rt„ étant indépendants de /", on satisfait à l'équivalence (3) par une racine x de la forme
il est clair qu'on y satisfera encore par une racine x de la forme
puisque, pour déduire cetle seconde racine de la première, il suffit de changer i en — /• Donc, si en adoptant le langage généralement admis , on appelle co7ijuguées deux e.xpressions de la forme
on pourra énoncer la proposition suivante :
S^ Théorème. Lorsque dans la fonction f (x-) les coefficients sont trèsindépendants de /, celles des racines de l'équivalence (3) qui ne deviennent pas indépendantes de i sont en nombre pair, et ces mêmes racines, prises deux à deux, sont conjuguées l'une à l'autre.
Du ^^ théorème on peut immédiatement déduire la proposition connue, i^ui s'énonce dans les termes suivants :
6*" Théorème. Si dans la fonction entière f [x] les coefficients sont tous uidépendants de i, cette fonction sera décomposable en facteurs réels du premier et du second degré.
Lorsque la fonction ((x) cesse d'être algébrique et devient transcendante, jps racines de l'équivalence (3), c'est-à-dire les valeurs de x, de la forme y — g/, qui vérifient cette équivalence, représenlent encore ce qu'on appelait les racines réelles ou imaginaires de l'équation (3), savoir : les racines réelles quand ces valeurs deviennent indépendantes de /, et les racines imajTJnaires dans le cas contraire. Alors au.-si tes théorèmes qui se rapportaient aux racines des équations transcendantes, se transforment en théorèmes relatifs aux racines des équivalences transcendantes, et les démonstrations que l'on donne des premiers s'appliquent ordinairement aux autres, moyennant la substitution du signe r^^i aux signe = , et des mots équivalence, équivalent, etc., aux mots équation, égal, etc.
MÉMOIRE
