II
la hase A sera inférieure ou supérieure à l'uuité. Au contraire, la propression f'éométrique
dont le module est A~' ou A~=°, sera convergente ou diverpente, suivant que la base A sera supérieure ou inférieure à l'unité. Quant à la progression
A-3"' 4-2" A-l , V AS" Al""
qui comprend tous les termes renfermés dans les deux premières, et se confond avec la série (3) , elle ne sera jamais convergente, attendu que ses deux modules, étant inverses l'un de l'autre, ne pourront devenir simulianément inférieurs à l'unité.
Si m désigne un nombre pair, on aura non plus
Al-")" A-n"
il ^ ,
mais
' Ai'-")""^ An"
Donc alors la série (a) ne sera plus distincte de la série (i), et la série (3 1 , réduite à la forme
A a" Aï"" A , 42"' AS""
offrira deux modules égaux entre eux. Cela posé, on pourra évidennnent énoncer la proposition suivante :
2" Théorème. Soient A une quantité positive et m un nombre pair quelconque. La progression géométrique, qui offrira pour terme général A"", étant prolongée indéfiniment, ou dans un seul sens, ou en deux sens opposés, sera toujours convergente si l'on a
et toujours divergente si l'on a
Considérons maintenant une progression géométrique, et de l'ordre /«, <|ui ait pour terme général la valeur de u„ déterminée par I équation
(4) u„= Ax"7"'z"\ . V^^'tv"",
le nombre des variables
( iiS ;
étant précisément égal à m. Soient, d'ailleins,
les modules de ces mêmes variables , et k le module du coefficient h. Si 1 on nomme u„ le moiiule de m„, ou trouvera
5 u„ = kx«y"z« . . . v""''^' w"".
DU, ce qui revient au même,
la valeuj- de N étant
D autre part, la progression géométrique que Ion considère étant prolongée indéfiniment, ou dans un senl sens, ou en deux sens opposés, offrira un ou deux modules représentés chacun par l'une des limites vers lesquelles convergeront, pour des valeurs croissantes de «, les deux expressions
Mais, pour des valeurs croissantes de /«, la valeur de N déterminée par la formule (^7), et celle qu'on déduirait de la même formule en y remplaçant n par — «, convergent généralement vers la limite w. Donc, eu égard à la formule (6) , les limites des expressions
seront généralement les mêmes que celles des expressions
En partant de cette remarque , et raisonnant comme dans le cas où le terme général de la progression géométrique se réduisait à
ou établira immédiatement les deux propositions suivantes :
3* Théorème. Soit m un nombre impair quelconque. La progression géométrique et de l'ordre m , qui a pour terme général la valeur de u,, déter-
V '«9 ) minée par réquation
H„ = kx"j"'- z"' . . . l^"'""' w"",
étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, offrira })énéralenient deii\ modules inverses l'un de l'autre, et sera par conséquent divergente, à moins que le module w de la variable w ne se réduise à l'unité. La même progression, prolongée indéfiniment dans un seul sens à partii' du fei-nie
A-.xV-=^
et
rédi
uile ainsi
l'une
des séries
kx)z.
IHV,
kx-j*z'
(g) k, kx^' fz~' ...vw', kx~- y* z~''..a>^"' iv"-'". kx~^j
sera convergente , si le module du dernier des facteurs qui renferme le second terme reste inférieur à l'unité. En conséquence, \\ étant toujoin-s le module de la variable w, la série (8) sera convergente si Ion a
w < I, et la série (9), si Ton a
ou, ce qui levient au même,
Au contraire, la série (8) sera divergente si l'on a
^v > I, et la série (q) , si l'on a
4" Théorème. Soit ?n im nombre pair quelcontjue. I>a progression géométrique et de l'ordre w, qui a pour terme général
u„ =z kx"j"- z"' . . . i'""'' w""",
étant prolongée indéfiniment dans les deu.\ sens, offrira deux modules égaux et sera convergente ou divergente, suivant cpie le module w de la xariahie w sera inférieur ou supérieur à l'unité.
Les 3^ 614*^ théorèmes supposent que le module w de la variable (v diffère de l'unité. Si ce même module se réduisait précisément à l'unité, alors, [)our savoir si la série dont u„ représente le terme général est convergente ou
divcij'entc , il iaudiait recourir à la considération des modules
des aiiiies variable», ou pluiôt à la considération du premier d'entre ces modules (jui ne se réduirait pas à l'unité En suivant cette marche , on établirait généralement la proposition suivante :
5*" Théorème. Soit m un nombre entier quelconque, et nommons
les modules des variables
Ei'.fin, supposons que la progression géométrique, et de l'ordre m, qui a pour terme général
H„ = kx"f"'z''\ . .v"'°~'w""\
soit prolongée indéfiniment dans les deux sens. Cette progression sci a convergente si , parmi les modules
le premier de ceux qui ne se réduisent pas à l'unité reste inférieur à 1 unité et correspond à une variable dont l'exposant dans la formule (5) soit une puissance paire de /i. Tja même progression sera divergente si l'une de ces deux conditions n'est pas remplie.
Le 5*^ théorème eutraine inimédiateuient la proposition suivante :
6^ Théorème. Soit m un nombre impair et supérieiu' à l'unité. La progression géomélrique et d ordre impair, qui aura pour terme général
ka'y'z"'. . ^""'^'w""',
étant indéfiniment prolongée dans les deux sens, sera convergente si la dernière des variables
offre un module w = i, et l'avant-dernière c un module v inférieur à l'unité. Il suit des 4* et 5^ théorèmes cpie, parmi les progressions géométriques, celle du premier ordre est la seule qui, prolongée indéfiniment dans les deux sens, ne puisse jamais être convergente
1 2 r ) § III. — Propriétés remarquables des progressions géométriques des divers ordres.
Désignons par m un nombre entier quelconque , et considérons une pro- .;}ression géométrique de l'ordre /«, dont le terme général ?/„ soit déterminé par la formule
. i) //„ = ka.-"r"'' z"' • """"' '"""•
On aura
îi„ = k. Hf = kxyz. . .t'H', etc.,
^•2) — = x" r' z" . .1'" iv" ,
IJ„^, X'>-^'j("^'fz'"'*
II, xyz. . .vw
puis (jn tirera de l;i dernière (''(juation
les nouvelles variables X, F, Z,. . ., /^, tétant liées aux variables x, /, z,... par les formules
■ X = xjr'-z». ..t/''-'iv'",
i"//! — I m — 'i m ni — i'.
(m— r (m— 2) m— 3) m (m— i ^in—-i
dans lesquelles les variables Jr, J", z, ■•, v,\v se trouvent élevées à des puissances dont les exposants se confondent successivement avec les nombres figurés des divers ordres. Cela posé, on conclura des équations (2) et (3), qu'il suffit de remplacer les variables jr, j-, z, — c, tr par les variables X. Y. Z,..., ^, TV pour transformer le rapport
l-'xdAn Ci d, Pari ■nnth.T IV 40' livr.) '"
en une fonction nouvelle équivalente au rapport
Considérons spécialement le cas où la progression géométrique est convergente. Alors, de l'observation que nous venons de faire on déduira facilement les deux théorèmes dont je joins ici les énoncés.
1*"' Théorème. Supposons que la série, ou plutôt la progression géométrique
(5) .. «3, M 2, «-,, Uo, II,, «21 "3,-'-,
dont le terme général u„ est déterminé par la formule (i), reste convergente, tandis qu'on la prolonge indéfiniment dans les deuN sens, et soit
(6) s — iix, j, z,. .., i>, w)
la somme de cette même progression , eu sorte qu'on ait
(7) {(x, y, z,. . . , t-, n>) — . . . U 3 -+- U., -H M, + llg -H », + «., -4- i<3 -h . . . .
Soient encore X, K,Z,,. ., F, ff^ de nouvelles variables liées aux vaiiables j:,^, z,..., f, îv par les formules (4). La fonction f [x, j', z, . .,v, w) .se trouvera reproduite par la substitution des variables nouvelles X, Y, Z,..., /^, Pf^ aux variables x, j, z,...,v, w et par l'adjonction du facteur
— = XJZ . . .VIV
au résultat de cette substitution ; et par conséquent la fon(;tion {{x,jy, z,..., v',iv; vérifiera l'équation linéaire
(8) f {x, f,z,..., ç', iv) = x}z . . . l'iv f [X, f , Z, . . . , F, ÎV).
1^ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le i*' théorème, la factorielle P (') déterminée par 1 équation
sera encore une fonction Aq x , j,z,. . .,%\ w, qui se trouvera reproduite par la substitution des variables X, V, Z,..., f^, TV m\\ variables X, j^ z-v; ^iW.
{*) Je suppose ici que, pour abréger, on désigne sous le nom de factoriellcs des produits composés d'un nombre fini ou infini de facteurs.
et par 1 adjouctioii du facteur
— = XYZ . . . VW
au résultat de cette substitution. Donc, si, pour plus de commodité, on désigne par
la valeur de P que foui'uit réquatioii (3), la fonction F [x, j. z,..., i-, w) aura la propriété de vérifier I équation liîiéaire
'11) F :x,j. z, ...,.', w) = xjz . . . Piv F (X r,z,...,F,fr).
§ tV. — ?K)Ui'elU's formules rr/ntites aux progressians géomttriijucs des divers ordres, et aux fonctions qui se reproduisent par substitution.
Aux foiniules {générales établies dans le p.ua;>raplje précédent , ou peut en joindre quelques autres, qui méritent encore dêtre remarquées; celles-ci se déduisent immédiatement de plusieurs nouveaux théorèmes relatifs aux fonctions qui se reproduisent par substitution. Ces nouveaux théorèmes peuvent s'énoncer comme il suit:
\" Théorème. Concevons que lindice n représente, an sijjue près, un nombre entier. Soit, de plus,
une fonction de lindice n et des variables .r, f , z. . . . . Enfin . supposons que les diverses valeurs de ?<„, savoii ,
i) . . .i<3, «2, n,. «f,, «,, «2; "Sî
forment une série convergente piolongée indéfiniment dans les deux sens. Si, eu substituant aux variables x. }\ z,... d'autres variables X, F, Z..... qui soient des fonctions connues et déterminées des premières, on tr.in^forme généralement u„ en «„^,, alors la somme
de la série (i)sera ime fonction de .r, y. z, . . . qui se trouvera reproduite par la substitution dont il s agit.
Dc'nionstra/ion. En effet, désignons, pour plus de commodité, par
f (x,^, z. . . ,) 1.1 somme s de la série (i). On aura noii-senlement
la somme qu'indique le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulle et néjjatives de n, mais encore, en vertu de l'hypothèse admise ,
et comme, évidemment, lu„+, ne diffère pns de 2?/„, on trouvera définitivement
(3) Ha:,j,^z,...) = f{X,r,Z,...).
2^ Théorème. I^es mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, la factorielle P déterminée par l'équation
sera encore une fonction de jc, y, z, . . . qui se trouvera reproduite par la substitution des variables X, F, Z, . . . aux variables x, y^z,....
Démonstration. En effet, représentons, pour plus de commodité, par F {x, j-, z, . . .) la factorielle P. L'équation (4) donnera
¥ [x, y, z,. ..) = .. .[i -)-«2')(i + "-«)(' + "o)(i +«.)(! -+■ «O- • • ; puis on en conclura, eu remplaçant x,j,z,... par X, K, Z, . . .,
et, p;ii' suite,
Supposons maintenant que les deux modules de la série (i), prolonjjée indéfiniment dans les deux sens, soient, l'un inférieur, l'autre supérieur à l'unité; de sorte ipie, la série (i) étant divergente, les deux séries
Wq, Wj , Mo, ^^3 , . • ■ -,
