III

soient 1 une et l'autre convergentes. Alors, à la place du ■;■' théorème, on ohtiendra évidemment la proposition suivante :

3"" Théorème. Supposons que la série (i), qui a pour terme générai ;/„ , étant prolongée in léfinimeiit dans les deux sens, les deux modules de cette série qui correspondent, l'un à des valeurs positives, l'autre à des valeurs négatives de 1 indice «, soient, le premier inférieur, le second supérieur a l'unité. Si , en substituant aux variables .r, j", r,... d'autres variables X, V, Z,... qui soient des fonctions connues des premières, on transforme généralement u,„ en ?/„,, alors lafactorielle P déterminée par l'équation

(6) P = . , ( ! + „' ) (|n-^)(i -h Mo): '-(-".)'■ -^tu).. .

sera une fonction de x,j,z,. . . qui se trouvera reproduite par la substitution des variables X, V, Z, . . . aux variables x,j,z,... et par ladjonction du facteur Uq au résultat de cette substitution même.

Démonstration. En effet, représentons, pour plus de commodité, pai

F(x,j-, z, . . .) la factorielle P. L'équation (6i donnera

F.r,J,Z, . .)z=. .. j^l-H-l-j (^I-u Lj ;, + „^|,I -hw,)(i -^u. ...,

puis on en tirera , en remplaçant x, f, z, . . . par X, V,Z,. . .^ et par suite

(7) »-' O^' . i", z, ...)=- "0 F ix, y, Z,...).

Considérons maintenant une progression géométrique, et de l'ordre /«, dont le terme général u„, correspondant à l'indice n, soit déterminé par une équation de la forme

(8) u„ = xf" z"' . . . »/'"■" ' tv"".

On tirera de cette équation