Un^^^xvz"'.. r"'"-'W

les valeurs des variables

étant liées à celles des variables

par les formules

A' = xjz . .

.vw.

F =xy-z-

...(''"-' tv'",

{m—l){m—'2 iii[in—i)

Z = arjr'z' .

..V ^ tv ■'

etc.,

V — vw"\

Cela posé, on déduira évidemment des i", 2^ et S*" théorèmes les propositions suivantes :

4* Théorème. Supposons que la jMOgfession géométrique et de 1 ordre ;n, qui a pour terme général

U„=:XJ"Z"-.. .V""'"w"'",

reste convergente, dans le cas ou elle est indéfiniment prolongée dans les deux sens; et soit

la somme de cette progression géométrique. Alors, en nommant X, V, Z,... des variables nouvelles liées aux variables x,j',z,... par les formules ( 10 , on aura

(11) f(^,j,z,. ..,c,îv)n= f(X,F,z,...,/^% rn.

5* Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , si l'on représente par

F {x, j, z,..., i-, (v) la factorielle

. . .(I -I- M-î) (l -+- «,) (j -1- Uo) (l ■+• M,) (l -f- «s). . .,

on aura encore

(12) F{x,j,z,..., i', TV) = F (X, r, z, . . . , r, W).

6* Théorème. Supposons que, la progression géométrique et de l'ordre w, qui a pour terme général

étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, les deux modules de cette progression, qui correspondent, Tun à des valeurs positives, l'antre à des valeurs négatives de n, soient, le premier inférieur, le second su|)érieur a lunité. Alors, en nommant X, V, Z,... des variables nouvelles liées aux variables x,j, z,.,. par les formules lo), et en désignant [)ar F {x, y, z,. . ., t», w) la factorielh;

( 1 -f- ,7-) ( ' -" ,7-) (■ ^ "0; (i -+- ".,) (i ^ "2). ■ .ou trouvera

F i .r , j-, 2, . . . , V, iv) = Mo F (X\ F, Z, . , . , F\ fV ;.

Dans le cas particulier où les progressions que l'on considère sont du second ordre, les divers théorèmes que nous venons d'énoncer, joints aux propositions fondamentales du calcul des résidus, fournissent le moyen d etablir un grand nombre de formules dignes de remarque, et relatives aii\ fonctions elliptiques. Si l'on suppose, au contraire, qu'il s agisse de progressions géométriques d'un ordre supérieur au second, alors, à la place de> formules qui se rapportent à la théorie des fonctions elliptiques, on obtiendra des formules plus générales que je développerai dans d'autres Mémoires.

MÉMOIRE