CHANGEMENT DES VARIABLES DANS LES LNTÉGRALES
§ I". — Considérations générales.
Considérons d'abord une intégrale simple ou de la forme
( f ) i, ^ l ùdx,
t étant une variable réelle et 12 une fonction réelle de x, qui demeure continue entre les limites x = x', x = x" . Supposons d ailleurs que dans cette intégrale on veuille substituer à la variable x une nouvelle variable x liée à X par une certaine équation
et soient x', x" les deux valeurs de x correspondantes aux valeurs x' . x de X. On aura, en regardant x comme fonction de x,
dx = \)y xd\:
puis on en conclura n) /" ildx— I' illhxdx,
pourvu ((ue, en vertu de l'équation (2), chacune des variables x, x reste fonction continue de l'autre , du moins entre les limites de l'intégration , c'est-à-dire pourvu qu'entre ces limites les deux quantités a:, x varient simultanément par degrés insensibles, et que, pour des valeurs croissantes de lune, l'autre soit toujours croissante ou décroissante. On aura donc, sous
cette condition ,
et alors, pour bubstituer, clans l'intégrale proposée S, la variable x à la variable ar, il suffira, i° de remplacer dx par r/x, en multipliant la fonction sous le signe/ par le facteur T)^x, 2° de substituer aux limites données de la variable x les limites correspondantes de la nouvelle variable x.
Si la condition énoncée n'était pas remplie, il deviendrait nécessaire, avant d'effectuer le changement de variable, de décomposer l'intégrale doimée § en plusieurs parties, pour chacune desquelles cette condition se vérifierait. Alors 1 intégrale s? relative à la variable x, se trouverait remplacée, non plus par une seule, mais par plusieurs intégrales relatives à la nouvelle variable x, et serait équivalente à la somme de ces dernières intégrales.
Il importe d'observer que, dans le second membre de la formule (3; ou (4)> X est considérée comme une fonction de x complètement déterminée en vertu de l'équation (2 . Si, pour chaque valeur réelle de x, léquation (2) fournissait plusieurs valeurs réelles de x, on devrait se borner à considérer une seule de ces dernières.
La substitution de x à j: ne pourrait plus avoir lieu si à une valeur de x comprise entre les limites x', x" ne correspondait pas toujours, en vertu de léquation (2), au moins une valeur réelle de x.
Observons encore que, si l'on suppose x' < x", le facteur D^x sera, dans la formule (3) on (4), une quantité affectée du même signe que la différence x" — x'. Donc, si l'on désigna para la plus jjctite et par b la plus grande des deux quantités x', x", si d'ailleurs on nomme 0 la valeur numérique de DsX, en sorte c|u'on ait
(5) e^s\D.xy,
on trouvera
OD.jrr/x = / HQdx,
et l'équation (4) pourra être remplacée par celle-ci :
(6) s^f'nedx.
Ex. dAn. cl de l'hjs. maih., T IV. (40« iivr.l
Considérons maintenant une intégrale multiple de la forme
(n) ^ = \ i ' \ . . . i " i \ Çhdwdvdu. . . dzdjdx,
n étant une fonction réelle et continue desn variables réelles j", y^z,...,ii^v^w, et les limites de chaque inléf^ratiou pouvant dépendre des variables auxquelles se rapportent les intégrations suivantes. Alors, les limites x\ oc" étant des quantités constantes, les limites j', j" pourront être fonctions de x, les limites z', z" fonctions de x , y,... les limites iv', w" fonctions de j:^, jr, z,..., a, V. D'ailleurs, l'intégrale S demeurant la même, au signe près, quand on échange entre elles les deux limites assignées à une même variable , par exemple x' et x", ou j' et j" ,... , ou enfin w' et tv", on pourra se borner a considérer le cas où x' serait inférieur à x'\ j' à j'\ z' à z",..., w' à w"; et il est clair que, dans ce cas, S pourra être regardée comme une somme d'éléments infiniment petits correspondants aux divers systèmes de valeurs de X, J', :,■■■, qni vérifieront simultanément les conditions
,g ^ X > x', J > y', z> z',..., u> II', c > V', w > ly', I .r < x\ 7 < j", z < z ", . . . , M < u'\ i- < v", w < w".
Si les variables jt, j, z,... se réduisent à une seule, ou à deux, ou à trois,..., et représentent des coordonnées rectilignes, ou polaires, ou de toute autre nature, alors les divers systèmes des valeurs de x, j\ z,..., pour lesquels les conditions (8) seront vérifiées, correspondront à des points situés sur une certaine ligue ou sur une certaine surface, ou renfermés dans un certain volume, par conséquent à des points compris dans un certain lieu géornétriijuej et l'intégrale s sera complètement déterminée quand on connaîtra ce lieu géométrique avec la fonction Q.. Si le nombre des variables x, j\ z,..., u.v.w devient supérieur à 3, les divers systèmes des valeurs de x, j, z,..., «, w, IV, pour lesquels se vérifieront les conditions (8), n'appartiendront plus à un lieu géométrique, mais à ce que nous appellerons un //e« analjtique. et l'intégrale s sera encore une intégrale multiple complètement déterminée , quand on connaîtra ce lieu analytic|ue avec la fonction il. Cela posé , on reconnaîtra sans peine qu'à l'intégrale ^ on peut substituer une intégrale ou une somme d'intégrales de même foime, mais dans lesquelles Tordre des intégrations ne serait plus le même, pourvu que l'on remplace les conditions (8) par d'autres conditions du même genre, mais de nature telle, que les divers systèmes de valeurs x, y, z...., w, s',u', correspondants aux divers
éléments des intégrales nouvelles, se réduisent aux divers systèmes de valeuis de X. j^ z,.--, ", i', "', propres à vérifier les conditions (8), c'est-à-diie, en d'autres termes, pourvu que les lieux analytiques correspondants aux nouvelles intégrales, étant réunis les uns aux autres, reproduisent ensemble le lieu analytique correspondant à l'intégrale S. En joignant à ce principe les règles ci-dessus rappelées et relatives au changement de variable dans les intégrales simples, on pourra changer aussi les variables que renferme une intégrale multiple. Ou pourra, par exemple, dans l'intégrale S, substituer aux variables x, j-, s...., h, c, \v des variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w, liées aux premières pai- un système d équations données
Knirons à ce sujet dans quelques détails.
.1 ob.serve d'abord que les valeurs de x^ j^ z,..., «, i^ H', tirées des équations (9) , devront être réduites à des fonctions réelles continues et déterminées de X, y, z,..., u, v, w, du moins entre les limites indiquée^ par les lieux analytiques correspondants aux intégrales nouvelles. Si, pour chaque système de valeurs réelles tie x, y, z,..., u, v, w ^ les équations (9) fournissaient plusieurs svstèmes de valeurs réelles de jt, j^ ",..., 11 , v, tv, on devrait se borner à considérer un seul de ces derniers systèmes.
La substitution des vaiûables x, y, z,..., u , v, w aux variables x , )\ z,..-, u^v^w ne pourrait plus avoir lieu si , à un système de valeurs de x, j\ z,..., Il, »', w, comprises entre les limites des intégrations, ne coirespondait pas toujours, en vertu des formules (9), au moins un système de valeurs réelles de x, y, z,..., u , v, w.
DaiHeurs, la substitution des variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w aux variables anciennes x, y, z,..., ?;, i', îv, sera une opération complexe, décomposablc en plusieurs autres, dans chacune desquelles une seule des variables nouvelles sera substituée à l'une des anciennes; et puisqu'on peut toujours, sans altérei' la fonction sous le signe /, intervertir l'ordre des intégrations relatives a des variables données, on pourra supposer, dans chaque opération particulière, (jue la variable ancienne à laquelle on substitue une variable nouvelle est précisément celle à laquelle se rapporte la première intégration. Donc chaque opération particulière se réduira toujours a utt changement de variable dans une intégrale simple, c'est-à-dire à une opération en vertu de laquelle la fonction sous le signe / «e trouvera multipliée par un certain facteur. Ajoutons que ce facteur sera tonjoin-s positif si dans chaque
( i3a ) intégrale nouvelle, aussi bien que dans l'intégrale S, l'intégration relative à chaque variable s effectue entre deux limites, dont la seconde surpasse la première.
Cela. posé, concevons qu'en opérant, comme on vient de ledire,sui 1 intégrale §, on substitue successivement la variable nouvelle w à la variable (v, puis la variable nouvelle v à la variable v, puis la variable nouvelle u à la variable u,..., puis enfin la variable nouvelle x à la variable jr. Lorsque dans l'intégrale S, relative aux variables x, j-, r- ,..., u,i>, iv, on substituera \v à w, on devra laisser invariables jt, j, z,.... D'ailleurs, considérant x, y, :■,..., u,v, M^ comme de* fonctions déterminées de x, y, z,..., u, v, w, on a
généralement
Ij = Dk /f/x 4- Dy j-<yy -f- . . . + D,jd\ -+- DkJ d\\ ,
di> = Dx i'dx + Dy vdy -)-...+ Dvt'^v -i- h„vdw, div = DjU^r/x + l^ywdj-h . . . + D,tvr/v 4- D„u'(Y\v.
Donc, si Ion se borne à faire varier tv avec x, y, z,..., u , v, w , en laissant
X , y, X. ,.-., u, i', îv invariables, on trouvera
o = D^xdx -+- Dy xdy -h . . . -{- Dvxdv + DwXfAv, o = Bxjdx + Hy jdy + . . . + Dyjdv + Dy/jdw,
o = Ds vdx + Dy udy -t- . . . + Dv vdv -+- Dw i>d\y , dw = Dswdx -+- Dy ivf/y + . . . + D^wdv + Dy,xvd\\',
et Ion en conclura
Donc le facteur positif par lequel on devra multipliei' la fonction sous le signe /, quand on substituei'a w à w et ^vv à dn\ ne sera autre chose que la valeur numérique du rapport
S(±DxxD,j. ..Dvi'D„,«')
S(±D,a;Dyj-.. .Dv<')
D'autre part , lorsqu'aprés avoir substitué w à w, on voudra substituer encore v à V et dv à dv^ en considérant v comme la variable à laquelle se rap-
porterait la première intégration, on devra se borner à taire varier v avec N. y, z,..., Il, V, eu laissant invariables x, j', z-,..., u et w. Donc alors le rapport de dv à dv sera déterminé par les équations
o = Dx X ds. -h Dj ,x dy -h . . , + Dy X d\ , o =z Ds J<fx + Dy j-rfy + . . . + Uv Jf/v ,
<) = D, f«r/x + Dy «r/y +...-!- !)> ?< ^v , dv — D^ l'rt'x -f- Dy vds — . . . + \)y vd\ .
desquelles on tirera
, , , Si±DsJ:D, ) . . .Du« Dvi) ,
('•) ''"= S(±D.xD,v...D„») '''■
Donc le facteur positif par lequel on devra multiplier la fonction sous le signe/, quand on substituera v à c, ne sera autre chose que la valeur numélique du rapport
.S(±:D.xDy/...D,.H) En continuant ainsi , et désignant par
les valeurs numériques des résultantes
S(=tDtJ:-Dy r-DvC'D„w:, S( ±Dxa:Dy)...Dv »'),..., S( iDx.r Dy j), D^x,
on conclura définitivement que si, dans l'intégrale s, on substitue successivement w à tv, puis V à w-,..., puis y à j', puis eufin x à x, les facteurs positifs par lesquels la fonction sous le signe / devra être successivement multipliée se réduiront aux rapports
fi' ©("-î'
0'' &"' qC-o'
Donc le facteur 0 équivalent au produit de tous ces rapports sera le facteur positif par lequel la fonction sous le signe / se trouvera définitivement nndtipliée, quand on aura substitué aux anciennes variables x, j,z,...,ji, v, w les variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w; et l'on peut énoncer la proposition suivante :
( i34 ) i*^ Théorème. Concevons qne, dans l'intégrale multiple
^, = I (' j ... j j I ùdwdvdu. . .dzdjdx;
J x' Jy' J s' J II' t/f' J w'
il désigne unr fonction réelle de Ji variaîjles réelles x, j, z,... , u, i>, w, prises cliacune entre deux limites dont la seconde surpasse la première ; les deux limites de chaque variable pouvant d'ailleurs dépendre des variables auxquelles se rapportent les intégrations non encore effectuées. Si aux variables x, J, z,.. , II, V, îv on veut substituer n variables nouvelles x, y, z ,..., u , V, w, dont les premières soient des fonctions déterminées, on devra , en remplaçant dans l'intégrale proposée dx , dj\, dz,..., du, dv, dw par d\, dy, dz,..., c?u, r/v, d\v, multiplier la fonction sous le signe / par la valeur numérique 0 de la résultante
{ r 2 ) S ( rt Ds a? Dy 7- DjZ . . . D„ u Dv v D„ w) ,
tormèe avec les diveis ternies du tableau
Ds.x, DjX, DiX,... D„.r,
,7,... D„.jr,
i'i3) \ D,:, Dv2, D,z, ... D„-s,
\ D.r, DyJ, D.j ( D,:, Dvz, D,z,
DxM', DjW, Dztv, ... Dv
puis égaler l'intégrale proposée a une intégrale ou à une somme d'intégrales de la forme
(i 4 j f I f . . . f f f ÙQ d\y dv du... dz dy dx ,
en choisissant les limites des intégrations de telle sorte que chaque variable croisse quand elle passe de la première limite à la seconde, et que les lieux analytiques correspondants aux intégrales nouvelles reproduisent le lieu analytique correspondant a l'intégrale donnée. On peut encore exprimer cette dernière condition en disant que les divers systèmes de valeurs de .r, r, z ,. ., it, t', TV correspondants aux divers éléments des nouvelles intégrales, doivent se réduire précisément aux divers systèmes pour lesquels se vérifient les conditions 81.
Le théorème précédent comprend les règles établies par les géomètres , spécialement par Lagrauge et par M. Jacobi pour le changement des variables dans les intégrales multiples.
Lorsque les vaiiables anciennes JC , r, :;,.•••■ "i *'; '^ s'exprime ni eu toutlion des \anables nouvelles x , y, z,..., u, v, w, de telle sorte que de celles-ci la dernière seulement entre dansiv, les deux dernières seulement dans 4^, les îi-ûis dernières seulement dans u, etc., alors les formules (lo), i i ) , etc. . se réduisent évidemment aux suivantes:
(hv = Dw Vf (iw , (h' = Uv i'd\ , . . . , djc ^= D^ .r dx ,
et, en conséquence, le facteur 0, par lequel on doit multiplier la fonction sous le signe J, quand on substitue les nouvelles variables aux anciennes, se réduit à la valeur numérique du produit
(i 5 ) - D, X Dv r Y), z . . Du u D> i' D,v (v.
On arriverait à la même conclusion en observant que, dans l'bypolbèse admise , le tableau ; i3) se réduit au suivant :
' D^x, DyX, DzX,..., n„:i*.
y o, Dyj^-, D,j,. . ., D„ 7,
I <^ 1 " ' ^' Dz z , . . . , Dw r ,
> o, o, o, ..., DwïV,
et la résultante
au seul tej'me
S(rt D.xDvjD.;,. . .n„^^D>i■D„.l^)
1), jrDyj- DzZ. . .nu"Dvi'D„vv.
Ajoutons que la même résultante se réduirait encore à ce îeruie unique, si tableau (i3) se réduisait au suivant ;
Dï JT , o , o , . . . , o ,
.17) \ D,z, DvZ, D.--, ...
DsTv, DyW, Djtv,..., Dwiv;
c est-à-dire, si des anciennes variables, expiimées en fonction des nouvelles, la première jc renfermait x seulement, tandis que x et y seules entreraient
dans 7"; x, y et z seules dans z, etc. On peut donc énoncer encore ia proposilion suivante :
2* Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le i^'' théorème, si d'ailleurs les valeurs de x ^j\ '■■>■••■: "^ '') t^'> exprimées en fonction des variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w, renferment seulement, la première, la variable x; la deuxième, les deux variables x, y ; la troisième, les trois variables X, v, z; elc; alors le facteur positif 0, par lequel on devra multiplier la fonction sous le signe /, quand on substituera les nouvelles variables aux anciennes, se réduira simplement à la valeur numérique du produit
Dx jjDjJtDzZ. . .DiiMDvt" Dwîv.
Remarquons encore que, dans le cas particulier où les variables a\j, z,..., u, (', H' sont liées par des équations linéaiies aux variables nouvelles X, V, z,..., u, V, w, le facteur 0 se réduit évidemment à une quantité constante.
Remarquons enfiu que les principes ci-dessus exposés entraînent la proposition suivante :
3*^ Théorème. Si la fonction placée sous le signe f, dans une intégrale multiple relative aux variables JC , j., 2,..., u, i', iv, doit être multipliée par le facteur 0 quand on substitue au système jc, j-, z,..., u, f, tv un autre système x, y, z,..., u, v, w, et par 0' quand on substitue au second système
X, y, z,..., u, V, w un troisième système ,v- u, ;C,-i u. v, u'. cette même
fonction devra être multipliée par le produit 00' quand on passera directement du premier système .r, j-, z,..., u , v, w an troisième svstème
D'ailleurs ce théorème, ainsi que les précédeuls, continuci-ait évidemment de subsister, si plusieurs variables appartenaient à la fois aux divers systèmes que l'on considère.
§ II. — Applications diverses dex principes exposés dans le premier paragraphe.
Pour montrer une application des principes établis dans le § 1", supposons que, Q. étant une fonction réelle de n variables réelles a:, 7-, r, ...,«, t;, w, et ;• une autre variable, réelle et positive, liée aux premières par la formule
(i) Ji- -i- y- H- ;:^ -f- ... -I- M- -4- v- + w- = r-.
( «37 ) on Rtende Pintégrale
(2) S= f I' C. .. f C Cùdwfivcfu. . dzdjdx
a tous les systèmes des valeurs de oc, j, z, . . ., u, v, w pour lesquels /■ demeure compris entre les limites
Si l'on pose
(4) a: = a,r, y — a^i\ z = a^r, . . . ,u= ry,„.^r, v = a„,r, w = (/.„i\
les nouvelles variables
devront , eu égard à l'équation (i), véiifier la condition
(5) aj 4- a| -1- . . . -f- a,r = I, à laquelle ou satisfera en prenant
i a, = cosC|, ao =sinç;, cosço,..., «„, = sinqp, sin<j;j...cosç„aC0S(p„,,
( a„ — sinç, suiç;o...sinç)„ .3 smç;„,.
Si d'ailleurs on assujettit les angles o, ,92,..., 9„2 à demeurer compris entre les limites o, ;:, et Tanjile 9„, à demeurer compris entre les limites — r: , 4-7:; alors a tout système de valeurs de «f , J', z,..., u, ^>, w, pour lequel se vérifiera la condition (i), correspondra toujours un système unique de valeurs de a, , a,,..., a„, pour lequel se vérifiera la condition (5); et, par suite, si aux variables x, J-, z,. . ., h, v, \i> on substitue les variables /•, ç, , 92 , ■ • • , ç„i , on aura , en vertu du i " théorème du § l"'',
0 désignant un facteur positif que l'on déterminera sans peine en opérant comme il suit.
Comme en laissant invariables .r, j, z,..., m , t», on tire de la formule (i),
wdw =: vdi\ par conséquent,
,. dr
OtV = —5
il est clair c(ue, si Ton substitue r à w et dv à dw. ou devra, dans l'inté-
Ex. à An. al de Phys. math.. T. IV. (41« livr.) ï"
( ,38 ) fjrale S , multiplier la fonction placée sous le si^^ne / par la valeur nuitiérique du rapport — . Si l'on substitue ensuite a, à j: , «3 à j', . . . , a„, à t', on devra évidemment, en vertu des formules (4), remplacer
fljc , dy^ . . ., dv par
rdut, ri^Kj,..., rda„^t;
et, en conséqueiicp, remplace)' le produit
dxdy . . . dv par le produit
/•"^' r/a, da.^ . . . dc/.„^ .
Donc, si aux variables x, ^, z, ..., u, y, iv oi) siibslitue les variables r, a,, «2, . . ., a„, , on devra, dans Tinlégrale S, multiplier la fonction ii par la valeur numérique du rapport
D'autre part , si , dans une intégrale multiple , relative aux variables a,, «2,..., a„, , on substitue à celles-ci les angles (f,, (f^-, ■ ■ ■-, Çn-t liés avec elles par les équations (6 ) , on devra , en vertu du 1" théorème du § I", multiplier la fonction sous le signe f par la valeur numérique du produit
Dp, a, Dj^.aj . . . Dy„,a„, ,
qui peut être réduit à la forme
la valeur de 0 étaut positive et déterminée par l'équation
(8) 9 = sin"~* (f, sin"-' ©2 . . . sin' (fi„^ sin^„2.
Cela posé, on conclura du 3''théorènie[§ I], qu'en substituant aux variables x, j-,z,.. ., u, v,w les variables r, y, , «pj, • . • , (p„-, , on doit, avec M. .lacobi , multiplier la fonction sous le signe / par le facteur
Donc la formule (a) pourra être réduite. à
( -39 ) Coucevoas maintenant que les ?i variables ce, j, z,..., u,i>, w, soient liées à n autres variables x , y, z, . . . , u , v, w par des équations linéaires de la forme
/■ .T = rtx -H ^i, y + rtj z + . . . + a„, w, ' s
(i i) •:' z = rx -h f, y -T- Cj z -4- . . . + c„, w, %
w = /^x -i- A, y + ^a z + . . . -H k„, w. Pour que Ion ait identiquement
(12) :c--+- j=+ r.--+- ... -h«--f- 1»^+ tV^ = x=-K y'-h z^ +... + u^'-h v^-h w^ il suffira que les coefficients
a, b,c,. . . h; «,,/>,, c-,, .../?, ; ... «„,, ^„,, c„,, . . . h„,,, vérifient les conditions
a''-\-b'-\-...-hh' = i, aa,-i-bb, -\-...->rhh, =0, ...a a„,-hb b„,-i-...-i- h /i„,=o «?-!- *; + ■•■+ Aî = i,. .(7,a„,-(-é,è„,4-...+/,,/,,, = o,
Bailleurs, si aux conditions (i3) on joint la formule (24) du Mémoire sur les sommes alternées connues sous le nom de résultantes [tome II, page 176J, on en conclura
0^ = 1, ei , par suite ,
0 désignant la valeur numérique de la somme
S{± ah^c, ...h„,);
et, eu égard aux formules [1 1), cette ilernière somme ne diitérera pas de la
suivante :
S (±Dsa:Djj. . D^tvj.
Enfin, la formule (la) , jointe à l'équation (i; , donnera
Cela posé, il résulte du théorème i*^"^ du § I, que si les conditions (i3) sont remplies, on pourra, dans la formule (2), substituer immédiatement aux
variables x, j^, z, ... , m, f, iv les variables nouvelles x, y, z, ..., ii, v, w liées ^ux premières par les formules (i i), en sorte qu'on aura
(i6) Cf. . . C ÇQ.dwdv...djdx= Cf. . . Ç Co.dw d\- . . .dydx,-
les intégrations étant étendues à tous les systèmes de valeurs île x, y,--, v, w ou de X, y,. •» V, w ponr lesquels la variable positive r, liée avec les premières par la formule (i) ou (i5 ), demeure comprise entre les limites r', r".
Il importe d'observer que des formules (i i)*jointes aux équations (i3), on tire immédiatement
•s. = ax -^ hj -\- cz + + hw,
y = rt, .r -+- i, j- -t- 6-, z + + h^ w,
(17) ( z = a.^x + />„ j + C'a r. + + Aotv,
Remarquons encore que l'on peut satisfaire d'une infini(é de manières aux conditions (i3), par des valeurs réelles des coefficients
a, b,. . .,h; a,, h,, ... , fi,; «„,, /;„, , . . . , h,
En effet, après avoir choisi des valeurs réelles de a, b, c , . . . , h propres à vérifier la formule
on pourra satisfaire, par des valeurs réelles de a, , b,, c,, . . . , h,, aux deux conditions
(19) an, 4- bb, -\- ce, + . . .-h hh, = 0, aj + Z»'J + cj + . . . + A^ = 1 , qui se réduiront simplement à
aa, -h bb, = o, a'I -h b'I =^ i,
si les coefficieiUs a,, b,, c,,. ■ ., h, sont tous supposés nuls à l'exception des deux premiers, et qui donneront alors
Il y a plus : à la première des équations (19) ou pourra juiudre n — i équations de même forme, c'est-à-dire n — i équations en vertu desquelles n — i
fonctions linéaires et homogènes de a,, b,,c,,. . ., arbitrairement choisies, se réduiront à zéro; et de ces n — i équations nouvelles, réunies à la première des équations (19), on en tirera une autre de la forme
A, B, C,. . ., H étant des quantités connues; puis de l'équation (20); jointe à la seconde des formules (19), on conclura
lies valeurs de ni, b,, Ct.. . . , h, étant ainsi déterminées, un prouvera, par des raisonnements semblables, que l'on peut encore satisfaire, par des valeurs réelles de «o , ^o, Cj , . . ., Zfj, aux trois éiiuations
Îflflj -+- hhr, -(-.,.-(- hh^ = o , a, a., + h , h..^ -h . . . -h h , h^ ^= u . a'I -^ b'I -h . . . -h Ii'l -= i,
dont les deux jjremieres peuvent être jointes à ri — 2 équations tie même forme, arbitraiiement choisies; et, en c<intinnant de la sorte, on finira par obtenir, pour les coefficients
des valeurs réelles qui seront propres à vérifier les formules (i3), quand ou les joindra aux valeurs rcelle^ et nrbitrairement choisies des coefficients a, b, c, . . . ., k.
Concevons à présent qu > 11 attribuant aux coetficients a, b, c, . . ., h I un quelconque des systèmes de valeurs réelles pour lesquels se vérifie la condition {18], on réduise Q h une fonction réelle et continue du polynôme
ax -~ bj -r es -I- ... -h hw,
en sort(! (jue celte fonction étant désignée à l'aide ie la lettre caractéristique f, on ait
ii = ï{ax -+- bj ^ cz -i- . . . -h hw).
L'équation ' 16) donnera
(aS) / /... i i\ax+bj + ...+ hw)dw ...djdx= j i .. i ((\)dw ...dy dx.
Si d'ailleurs, dans chaque membre de la foriuule (23), ou substitue aux variables x, j-, z, . . . , tv, ou x, y, z , . . . , w, la variable / liée avec elles
par lequation (i) ou (i5), et îles angles auxiliaires 9,, ©j,..., f„, liés encore à ces mêmes variables par des équations semblables aux formules (4) et (6), chaque membre prendra la forme de l'intégrale multiple que présente l'équation (10); et en posant, pour abréger,
(a4) w =^ aa, -+- ba.2 -f- . . . + f>(/.„,
on trouvera
la valeur de 6 étant toujours celle que détermine la formule (8); puis, eu différeutiaut les deux membres par rapport à / ', et posant après la différentiation /" =: i, on aura simplement
\ r }•■■(" r s H'-^)drp, dfj. . .da^n-1 ^?«-,
D'ailleurs si, en désignant par w, n des nombres entiers quelconques, et par (f un angle variable, on pose
a = cos (p , on aura généralement
r sin'"-' 9 cos"-' cpdf=j a"- ( 1 - a^ ) ^ da = ^V^'V' ■■
puis on en conclura
et, par suite, eu égard à la formule (8), ou trouvera
jl^£ " jJ^^'^^'" '^^""' ^"^"'^ ^ J"-'\
sin""* 0/,
■^"^' i{a\da.
( .43 ) Donc la formule (26 ) pourra être réduite à
!/ "^ /".../'/'■ 9 f M d<f, d(p^ . .. ri(p„^ d(p„,
On ne doit pas oublici- que, dans la formule (24)5 n,b,c , . . .,h dési{;nent des coefficients arl)itraires assujettis seulement à vérifier la condition
rt- + A' + c- + . . . + /i= = I . Si, en nommant A" une quantité réelle quelconque, on remplaçait a, A, 6',..., // par -,-,-, et f(a) par f(Aa), alors, a la place de la formule (27) on obtiendrait la suivante :
/ I r . . . j ' ' 6['{w) ^/f, df^... d<p„i r/ç)„,
la valeur de w étant toujours déterminée par la formule 1 24), eta,b,c , ...^h étant des coefficients arbitraires, mais liés au coefficient k par la formule
(29) a- -\-b--\- c"^-^ . . .+ lî^ — k-.
FiOrsque, dans la formule (28), on pose n = ^), alors en écrivant ip, / au lieu de ç,, ©2, <'t îc,ê, ■/ au lieu de a,, êo,"/.,, on trouve simplement
(30) / " / sin 9 f (aa + /^o -f- C7 ) d(fdy = a?: / f{ka)da,
les variables auxiliaires a, S, 7 étant liées aux angles f, y par les formules
(3i) a = cosç, ê := sin ç eos^, -y = sin qj sin /,
et les coefficients arbitraires a,h, c étant liés au coefficient A- par l'équation
La formule (3o) reproduit le théorème à l'aide duquel M. Poisson a intégré l'équation du mouvement des fluides élastiques. Si, dans la formule (28) on prend
a?)'^ i[ka)dr,..
m étant un nombre pair quelconque, l'intégrale que renferme le second membre sera réduite au produit de A'" par la suivante :
et ia tormuie (28) donnera
(33) J J .../ j 9w'"r/ç,4„...r/o„,rfy„., = 2 77 -^ ^___A'
Mais, d'autre part, en supposant n impair, on aura
r , n— I rn-^n- 2
£ devant être réduit à l'unité, après les différentiations indiquées par la caractéristiiiue D,. Cela posé, on tirera de la formule (33)
Cette dernière formule subsistant, quel que soit le nombre pair m, continuera de subsister, si l'on y remplace A''" par une fonction paire f(A') développable suivant les puissances ascendantes de A-, pourvu que l'on remplace
en même temps, dans le second membre, (w Vt)'" par f(w v't)- On aura donc encore, en supposant n impair, et i{k) développable suivant les puissances ascendantes de A",
(35) f (A) =-4^0 7" r r.-- f^ f^i~^Ôi'[u\t)d(p,d!p^...dfn,cl'^,,
pourvu que , les valeurs de oo, A étant déterminées par les formules
A^ = rt^ -4- è^ -t- c- -t- . . . -I- /^=, w = n a, -I- /? «2 -+- c «3 -f- . . . -t- /2 a„ ,
et les variables a, , a^ , . . • ■ a„ étant liées aux angles ®, , ç),, . . ., (p„, par les équations (6), on pose i = i,. après les différentiations indiquées par la lettre caractéristique D,.
MÉMOIRE
LES VVLELRS MOYENÎSES DES FONCTIONS
