DUNE OU DE PLUSIEURS VARIABLES

Considérons d'abord une fonction fï d'une seule variable jc , et supposons que cette fonction reste continue entre deux valeurs données de la variable. Si, après avoir interposé entre ces deux valeurs d'autres valeurs équidistantes, dont le nombre représenté par n — i soit très-considérable, on cherche les diverses valeurs de la fonction i> correspondantes aux n — i valeurs données de la variable x , la moyenne arithmétique entre ces valeurs de O se transformera, quand le nombre n devicndia infini, en ce que nous nommerons la valeur mojerme àe\aioucùoi\ û, et cette valeur moyenne sera le rapport des ùcu^ intéf[rales définies relatives à x, dans lesquelles les fonctions sous le sif^ne /seront ii et l'unité. Pour plus de commodité, je désignerai cette valeur moyenne de û à l'aide de la lettre caractéristique M , et je placerai au-dessous et au-dessus du signe M , les limites de la variable, suivant l'usage adopté pour les intégrales définies.

Concevons maintenant que û représente une fonction de plusieurs variables X, X-,---i qui reste continue pour les systèmes de valeurs de x,jr,... oomi)rises entre certaines limites, f.e rapport entre les deux intégrales définies qui, étant relatives à jr , j-, . . ,, et prises entre les limites données, renfermeront sous le sijjne / la fonction il et l'unité, sera la limite vers latjuelle convergera la moyenne arithmétique entre les valeurs de O qui correspon Iront à des éléments égaux de la seconde intégrale. Pour cette raison, le rapport dont il .s'agit sera nommé Xa. valeur moyenne de la fonction U. et je désignerai encore cette valeur moyenne à l'aide de la lettre

Ejc. d'An, cl de l'Uys. mail,., T. tV. (41« livr ) 19-

( '46 ) cai-actéristiqueM, en indiquant au-dessous et au-dessus du signe M les limites

des diverses intéfi[rations.

Concevons, maiutenant, que les intégfations doivent être étendues a tous les systèmes de valeurs des variables x , /, z , . . . , qui réduisent une certame tonetion r de ces mêmes variables à une quantité comprise entre deux limites données a b. On pourra rechercher ce que devient la valeur moyenne de la fonction 0 dans le cas particulier où les deux limites a,bse réduisent a nn.- seule. Dans ce cas, qui mérite detre remarqué, nous pourrons nous borner à indiquer au-dessus du signe M la limite a de la fonction r, en ayant soin, d'ailleurs, d'écrire au-dessous du même signe les diverses variables .r. f, z, . - , auxquelles se rapportent les intégrations.

Comme nous le montrerons plus tard , la considération des valeurs moyennes des fonctions d'une ou de plusieurs variables peut être utilement employée dans la solution de plusieurs problèmes d'analyse, spécialement dans l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles.