ANALYSE

Supposons que l'on fasse varier or, j, z, . . . , entre les limites

j„ , j, pouvant être des fonctions de .r , et «„ , z, des fonctions de x, 7, etc. .Soit d'ailleurs Û une fonction de x, ou de .r , j, etc. , qui reste continue entre les limites dont il s';'git. La valeur moyenne de ù entre ces limites sera

^ = ^0 / dx

ou

J""' l ' adydx

x = x„,r=J^. I I dy dx

etc.

Cela posé, on établira facilement la proposition suivante :

>, \" Théorème. Soit û une fonction réelle de n variables réelles .r , j,

2^ Si à celles-ci on substitue n autres variables réelles x, y, z,. . . qui

soient liées aux premières par n équations linéaires, il considérée comme

( '47 ) fonction île x, jr, z, . . . on de x, y, z,. . ., conservera dans les deux cas la même valeur moyenne, pourvu que les limites assignées au second svsteme de variables correspondent an\ limites assignées an premier système.

Démonstration. En eflet, qu.uid on iranstormera chaque intéfjrale relative aux variables .t,y,z.. . . , eu substituant à celles-ci les variables x, }\z, . . , la fouctiou sur l<" signe / seia multipliée, comme l'on sait, j)ar le facteur

0 = Si ~ D^ JT Dy j- IJ, z . . .)■

Si, d ailleurs, les variables x . j^. z, . . . sont liées [lar des équations linéaiies aux variables x , y. z , . . . , le l'acteur 0 se réduira simplement à une constante. Donc alors ce facteur pourra ètie placé en dchois des signes d'intégration, |)uis effacé comme facteur commun des deux termes du rapport qui représentera la \ dleur de Li.

'■ Soit maintenant /• = i[x , j', z,. . . . une nouvelle tonction , réelle aussi bien que Si, et supposons que l'on cherche la moyenne entre les valeurs de Q, correspondantes à toutes les valeurs de x , j', z,. . pour lesquelles la fonction /■ demeure comprise entre deux limites doimées a, h. Désignons d ailleurs à l'aide de la notation

M ii

ce que devient cette moyenne quand la différence h — a s'évanouit. On aiwa, en vertu du théorème précédent, et en supposant toujours j", r, z,... liées à X. y, /. . . ■ par des équations iinéaire>,

^i) -'m 12= ' ^\ Si.

Supposons, pour fixer les idées, cjue la variable /■, étant positive, suit liée aux n variables r,^', r,. . . par une équation de la forme

Si Ion nomme A la mo\ eune entre les diverses valeurs de il correspondantes aux divers systèmes de valeurs dex,^, r, . . ., pour lesouels /• demeure comprise entre les limites positives a, b, ou aura

fj'.f-'l-dx<lx '

f i48 ) les intégrations s'étendant à tous ces systèmes. Si d'ailleurs on pose, comme dans le Mémoire précédent,

les variables a, , a,, a,, . • ., a„, liées aux « variables x, J, z,. . . par les formules (4), devront, eu égard à l'équation (2), vérifier la condition

(5) aî + a^+ ... +«' = '•

D'ailleurs, pour satisfaire à cette condition, il suffit de prendre

^ jc/., = cos(p„ a, = sin<p,cos<p„..., a„, = sintp, sin?,...sin(p„,cos?„,, ^^^1 a„ = siny, sin9,...sin9„2sinœ„,

Il Y a plus, si l'on assujettit les angles 9., ?.,..., 9,,-. à demeurer compris entre les limites o, ::, et l'angle y«, à demeurer compris entre les limites TT 7:; alors, pour chnque système do valeurs de a, . a.^ ,... , a„ propres a vérifier la condition (5), on obtiendra toujours un système unique de valeurs de 9, , (?3 ,..., ?„-,. Cela posé, si l'on fait, pour abréger, In) B — sin"-^ ç, sin"-' 92 ■ • -sin" (p„-3 sin <p„2 ,

et si, en opérant comme dans le Mémoire précédent, on substitue, dans les deux intégrales que renferme la formule (3), les variables 9,, 9,,...^ 9«-2, 9«-4, '■ anx n variables x, j, z, . , -, on trouvera

Concevons maintenant que, dans l'équation (8), on pose h = a; alors le second membre de cette équation se présentera sous la forme °; et pour obtenir sa véritable valeur, il suffira de remplacer le rapport des deux intégrales qu'il renferme par le rapport de leurs dérivées relatives à h, puis de poser, dans ce dernier rapport, 6 = a ; et comme la valeur de A ainsi obtenue sera précisément la valeur moyenne de ii, désignée par la notation

( «49 ) iioiis devons conclure que l'on aura