V.,, a, a» - •/— TT «/o Jo

pourvu que, dans le second membre de la formule (i4)i on regarde a,, aa , . . . , a„ , ô comme des fonctions de 9, , y, i • • • ^ <Pn-i déterminées par les formules (6) et (7).

Concevons, à présent, que u,, u.^.. . .., u„ étant des coefficients réels, on pose

(i 5) oj = n, a, + i/o «2 + . . . + M„ a„.

Soit, daiileius, k une quantité positive liée aux coefficients m,, u^,. . ., u„ par la formule

(16) k'^ = u\ + ul^ . . .^ ul;

et nommons F (/r) une fonction paire de A", développable suivant les puissances ascendantes de A^. En vertu de la formule (35) du précédent Mémoire, on aura, pour des valeurs impaires de «,

( , 7 ; F ik) = — i-^ U, ' P £ -" £ ■' ' ^ ^'^ V"'^ '^?' • ■ • '''f'-' '^?""' '

pourvu que Ion pose j = i, après les différentiations indiquées par la caractérisli(|ue D,. Donc, eu égard à la formule (1 4), on aura encore

(iH' F(A)=-^ M D~[t^~F(wv/j)J-

Concevons maintenant que F(A) désigne une fonction de k, paire ou impaire, mais développable suivant les puissances ascendantes de k. Alors I expression

"m' F(Aa)=:: - f' ¥(ka)da.

représentera une fonction paire de A, développable suivant les puissances ascendantes de A^; et à la formule (18) ou devra substituer celle qu'on en

déduit quand on remplace dans le premier membre F[k) par M F (A- a), et, dans le second membre, 1 expression

par l'expression

(19) D.'^j^î^ jl|^F(c.av£)J,

ou, ce qui revient au même, par la suivante :

(ao)

I F {wa\i)d(/.

dans laquelle on devra toujours réduire i à lUnité, après les diftérentiatious indiquées par la caractéristique D,. D^tilleurs, si l'on remplace F(A) par k'". m étant un nombre pair quelconque, l'expression (ao), réduite à

- D, ^ 1 j ^ / (wa yi )'" (ic

sera équivalente au produit

-t-rt — 2 m -\-5 m-\-Z

OU, ce qui revient au même, à 1 expression

On aura donc, pour des valeurs paires de 771,

wv'O'j-

iD. ^ [. ^ jr'(Mav7r^/«j-^D, ^ [, ' (Mvirj,

i>u, ce qui revient au même,

Kii é{}ard à cette dernière formule, dans laquelle le facteur — se réduira simplement à - pour t =^1, on tirera de Féquation (18), quand on y remola-

cera FiA) par M F(Aa), en supposant F {k) développable suivant les puissances ascendantes de A,

- n — Sfn— Q "1

(21) 'm F{kff.) = ^—- 'm D~^ L'~^ F(« V7)J-

!/.= — ! ar ( - ) "'> «>>•••«■•

En résumé, on peut énoncer les deux propositions suivantes :

2" Théorème. Soient a,, aj,- ■ • , a„ , n variables réelles; soit encore

w = u, a, -h ii^ao -h . . . + w„ a„

une fonction linéaire de ces variables, les coefficients u,, u^ ,■■.-, u„ élan! réels , et posons

p = y aj + a.] -h . . . + rt^ , A- = \/u; + «2 + . . . -t- M,^ •

Soit enfin F (A) une fonction paire de A, développable suivant les puissances ascendantes de A^. On aura, pour des valeurs impaires de n,

' F(wv'Oj'

pourvu qu'après avoir effectué les différentiations indiquées par la caractéristique D, on réduise le paramètre i à l'unité. On aura d'ailleurs, comme l'on sait.

rfî)

y Théorème;. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si l'on nomme F (A;) une fonction développable suivant les puissances ascendantes de A, on aura

m' F(Aa) = -^— - 'm' h^^~[i ' F(«v''7)J,

«=-' arl - 1 '-'.' "-'.<

pourvu qu'après L^s différentiations indiquées [)ar la caractéristique D, on réduise i à l'unité.