L'EMPLOI DES THÉORÈMES

relatifs aux valeurs moyennes des fonctions dans l'intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles.

Supposons d'abord rinconnue zs déterminée en fonction du temps t par une équation différentielle de la forme

(i) D,- ïT = A"-cj,

k étant une quantité constante. Si I on nomme zsq, 37, les valeurs de zs ei \)cV! correspondantes à une valeur nulle de /, 1 intégrale générale de 1 équation ' l'j sera

^kl i p^kt pki ^ — lit

5T = TSn -t- ; 7S , ,

OU. ce qui revient au même,

\;i) . 37 = D, M te>-''^TS^,-^ M ie^'-'w,.

Si d'ailleurs la quantité h''- est la somme des carrés de plusieurs autres quantités /<,. u^, ■■, u„, en sorte qu'on ait

3^ k^ = u-, -h ul-h...-hu-^,

ou pourra, dans la formule 2), remplacer l'exponentielle f*'" par une aulre dans laquelle l'exposant soit réduit à une fonction linéaire de m,. Mj, .., "„. Eu effet, supposons d'abord que n soit un nombre impair. Alors, en désignant par , .

a,, aj,..., a„

Lx. d .\n. 4-1 de l'hjs. math.. T. W. (41' livr.) ^^

; t5/i ) ^ n variables auxiliaires , et posant

(^4J w = i/,a, + «aaa +...4- M„a„, p^ ^^ a\ + a\ +...-h a^,

on tirera de I équation (2), combinée avec la formule (2 i)da précédent Mémoire,

ar

! devant être réduit à l'unité, après les différentiations indiquées par la caractéristique D, . Si « était pair, ou, ce qui revient au mên\e, si, n étant impair, k'- était de la forme

\^} k'^ = u\ -h ul-\-...-h «,?,,

il suffirait, pour revenir au cas précédent, de joindre à la formule (Si l'équation

eu vertu de laquelle la valeur de m serait réduite à

(8) w = ll^a^ + U^Cf.^ +...+ ;<„,«„,.

Concevons maintenant que, x, j, z, . . . étant de nouvelles variables indépendantes. A" se transforme en une fonction de D^, D^., D^,... entière et du second degré, représentée par F(D^, D^,D,...). f /équation (i), ou, en d'autres termes, la formule

(9) D?trr = F(D,,D,,D„..,)t^,

sera une équation aux dérivées partielles, linéaire et du second ordre, qui déterminera l'inconnue ît considérée comme fonction àex,j\ z,..., t, quandon connaîtra les valeurs initiales de ct et D,w. Soient zso[x, j. z ...] , 3T, (x,j', :,...) ces valeurs initiales. L'intégrale générale de l'équation (i) ou (9) sera représentée par la formule symbolique

(10) OT = D, M te'"'-^7Za{x,jr,z,..:j^ M ««"-■'■ 3t, x,j) , 2,...),

analogue à l'équation (2). Soient d'ailleurs

u = Dj., V = D^., u' = D......

( .55 ) Oîi au l'a

(i 11 k" — Y [il, i', (t^,.--)- • -

et, si n désigne le nombre des variables x, j', 2, . . . , la valeur de k^ déterminée par l'équation (i i) pourra être p,énéralement réduite à la forme

(ra) k^ -- z/^ -f- ^2 H-... + ul^ . *

;^,, ri-i,..., u„ élaiit îles lonctions linéaires de ii, »', tv,..., en sorte qu'on aura

\ fi„ — a„u -H h„v -+- f„iv +...+ /„,

n, , b,, c, . ••,/,; a.2, h.2-, c^,.--, I^'t'-i ^ni b„, c „,..., l„ étant des coefficients cpii seront tous réels si la fonction F(x,^, z,.-) est du nombre de celles qui restent positives pour des valeurs quelconques de jc, y, z,.--- Admettons cette dernière hypothèse. Alors, pour déduire de la formule (5) l'iiitégraie générale de l'équation ( 1 1 , il suffira de remplacer dans cette formule ts„ et Uy par STp (jT, V, Z,...) et cr, (j:", j-, z,... ). D'autre part, en vertu des formules (i3) jointes à la première des é(juations (4), on aura

I i4j w ^ ai' -I- êi' + ytv -^...-^ '/ .

les valeurs de a, é, 7,. ., >. étant

7. = n,c/., ^ a.,a, ~i- ...+ a,ia.„, ë — b,a, +- b^a^ +...-h h„a„,. ...

Enfin, en désignant par ct (.i',^, :,.•) une fonction arbitraire de x, y., z,..., ou ama, en vertu du théorème de Taylor, eu égard à la formule {i^),

(16) e'-" v'- zs {x,y, z,...) = e"'J'7s{a: h- at\i, y -^ at v'T,...).

Donc l'intégrale générale de l'équation 9) sera

îF

ar (- ) "i) "i»"-) ''"

t devant être réduit à l'imité après les différentiations indiquées par la caractéristique D,.

La formule (17) conduit aisément à la connaissance des lois des phénomènes dont l'étude exige l'intégration d'équations semblables à la formule (g). Supposons, pour fixer les idées, que x, y, z,... représentent des coordonnées d'une ou de plusieurs sortes. Supposons encore que 1 équation (g) soit homogène, et que, par suite, Z,, L,--, hii ^ s'évanouissent. Supposons enfin que les valeurs de l'inconnue ct et de sa dérivée soient insensibles au premier instant pour des valeurs de x, j, z,... sensiblement différentes de zéro. Alors, en vertu de la formule (17), la valeur de sr ne sera sensible au bout du temps t que pour des valeurs de jt, j, z,... qui vérifieront sensiblement les formules

•Soient d'ailleurs

(19) a, = a,a + b,ê -1- c,y -1- . . . , aj = a^a -H bjê -I- c^^ +. . . ,

les valeurs de a,, aj,.- tirées des formules (i5). Inéquation

{■xo) a'J -h «2 -!-■•■+ a,r = i,

jointe aux formules (18), (19), donnera

[i\) (a,;r^b,j-t-c, z...f +(a2X+b2j-+t-,3...;)^ + ... + (a„JC-hb„j-rC„z...)2=i^

et l'équation (21) devra être vérifiée sensiblement, au bout du temps ^, par tous les systèmes des valeurs x, 7', z,.. pour lesquelles l'inconnue sr conservera une valeur sensible.

Si X cessait de s'évanouir, les conclusions auxquelles nous venons de parvenir ne subsisteraient, en général, fjue pour des valeurs peu considérables de t.

Si la formule (9) se réduit à l'équation du mouvement des fluides élastiques, la formule (17) reproduira l'intégrale connue de cette équation, et la formule (21) sera l'équation de la surface sphérique mobile qui représentera l'onde sonore.

MÉMOIRE

LES Ql ANTITÉS GÉOMÉTRIOi'ES.

I.a théorie des équivaleuces algébriques, à laquelle se rapporte un des précédents Mémoires, n'est pas la seule qui puisse être utilement subslitnée à la théorie des expiessions imaginaires. On peut encore, avec avantage, lemplacercesexpressious par les quantités géométriques , dont l'emploi donne à l'algèbre non-seulement une clarté, une précision nouvelle, mais encore une plus grande généralité. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails.

La théorie des expressions imaginaires a été, à diverses époques, envisagée sous divers points de vue. Dès ! année 1806, M. l'abbé Buée et M. Argand , en partant de cette idée que y — i est un signe de perpendicularité, a%aient donné des expressions imaginaires une interprétation géométrique, contre laquelle des objections spécieuses ont été proposées. Plus tard , M. Argand et d'autres auteurs, [larnculièrement MM. Français, Faure, Mourey, Vallès, etc., ont publié des recherches (*) qui avaient pour but de développer ou de modifier l'intei'prétalion dont il s'agit. Dans mon yJna- Ijse algébrique, publiée en 1821, je mêlais contenté de faire voir qu on peut rendre rigoureuse la théorie des expressions et des équations imaginaires, en considérant ces expressions et ces équations comme symboliques. Mais, après de nouvelles et mûres réflexions, le meilleur parti à prendre me paraît être d'abandonner entièrement l'usage du signe \j — i, et de rem-

(*) Une grande partiedes résultats de ces recherches avait été, à ce qu'il paraît, obtenue, même avant le siècle présent et dés l'année 1786, par un savant modeste, M. Henri-Dominique Truel, qui, après les avoir consignés dans divers manuscrits, lésa communiqués, vers l'année i8io, à M. Augustin Normand, constructeur de vaisseaux au Havre.

placer la théorie des expressions imaginaires par la théorie des quautilés que j ;tppellerai géoinétriqnes , en mettant à profit les idées émises et les notations proposées non-seulement par les auteurs déjà cités, mais aussi par M. de Saint- Venant, dans un Mémoire di^^jne de remarque, sur les sommes géométricjues. C'est ce que j'essayerai d'expliquer dans les paragraphes suivants, qui offriront une sorte de résumé des travaux faits sur cette matière, reproduits dans un ordre méthodique, avec des modifications utiles, sous une Tonne simple ei nouvelle en quehiues points.

§ t"'. — Définitions , notations.

Menoni.;, dans nu plan fixe, et par un point fixe O pris pour origine uii pôle, un axe polaire OX Soient d'ailleurs r la distance de l'origine O à mi autre point A du plan fixe, et p l'angle polaire, positif ou négatif, décrit par un rayon mobile, qui, en tournant autour de l'origine O dans un sens on dans un autre , passe de la position OX à la position OA.

Nous appellerons ijunnt.ité géométi ique , et nous désignerons par la notain>n /p le layon vecteur OA dirigé de O vers A. La longueur de ce rayon , représentée par la lettre r, sera nommée la valeur numérique ou le module de la quantité géoiuétrique r^; l'angle p, qui indique la direction du rayon vecteur OA , sera Vargument ou Vazimut de cettie même quantité. Deux quantités géométriques seront f'grt/f.ç entre elles, lorsqu'elles représenteront le même rayon vecteur. Donc, puisqu'un tel rayon revient toujotirs à la même position, quand on le fait tourner autour de l'origine dans un sens ou dans un autre, de manière que chacun de ses points décrive une ou plusieurs circonférences du cercle, il est clair <|ue si 1 ou désigne par A une quantité entière quelconque, positive, nulle ou négative, et parnle rapport de la circonférence au diamètre, une équation de la forme

Rp = r, eiilraiuera tou|uurs les (ieux suivantes:

R = r, P = p-^ ikn.

t ( par suite, les fornudes

cos P := cos p , ,>in P =; sm p.

Knfin, nous conviendrons de mesurer les longueurs absolues sur l'axe polaire OX . en sorte qu'on aura identiquement • , ' '

Quant à la quantité géométrique /•;:(*), elle se me.-urera aussi bien que /„, sur l'axe polaire OX , mais en sens invei-se, et, [iar suite, la notation r^ pouna erre censée représenter ce qu'on nomme, en algèbre, une quantité négative.

Cela posé, la notion de quantité géométrique comprendra, comme cas particulier, la notion àe quantité algébrique, positive ou négative, et, à plus forte raison , la notion de quantité arithmétique ou de nombre, renfermée '4le-même, comme cas particulier, dans la notion de quantité algébrique.

Ajoutons que, pour plus tic généralité, on pourra désigner encore, sous le nom de quantité géométrique , et à l'aide de la notation r^,, une longueur r mesurée dans le plan fixe donné, à partir d'un point que!c(nique, mais dans une direction cpii forme avec l'axe fixe OX, ou avec un axe parallèle, l'angle polaire y?. Alors le point à partir duquel se mesurera la longueur/-, et le point auquel elle aboutira, seront l'origine et \ extrémité àc cette longueur.

§ II. — Sommes, jiroduitx <e puissances entières des quantités géométriques.

Après avoir défini les quantités géométriques, il est encore nécessaire de définir les diverses fonctions de ces quantités, spécialement leurs somme>.. leurs produits et leurs puissances entières, en choisissant des définitions qui s'accordent avec celb s que l'on admet dans le cas où il s'agit simplement de quantités algébriques. Or, cette condition sera remplie, si l'on adopte les conventions que nous allons indiquer.

Étant données plusieurs quantités géométriques,

représentées en grandeur et en direction par les rayons vecteuis