OA, OA', OA

qui joignent le pôle O aux points A, A', A" concevons que l'on mène

par l'extrémité A du rayon vecteur OA une droite AB égale et paraileb^ au rayon vecteur OA', puis, par le point B une droite BC égale et parallèle au rayon vecteur OA", . . . ; et joignons le pAle O au dernier sonmiet K de la portion île polygone OABC . . . HK construite comme on vient de le dire.

f*) En général, les notations

repnîsenteront deux longueurs mi-surees sur la même droite . mais dans des directions opposées .

On obtiendra le dernier côté OK d un polygone fermé dont les premiers côtés seront OA, AB, BG , . . ., HK. Or, ce dernier côté OK sera ce que nous appellerons la somme des quantités géométriques données, et ce que nous indiquerons par la juxtaposition de ces quantités , liées l'une à l'autre par le signe + , comme on a coutume de le faire pour une somme de quantités algébriques. En conséquence, si l'on nomme R la valeur numérique du rayon vecteur OK , et P l'angle polaire formé par ce rayon avec l'axe polaire, on aura

Observons d'ailleurs que les côtés OA, AB, BC, . . ., HK, du polygone ABGD...HK, peuvent être censés représenter eux-mêmes les quantités géométriques désignées par les notations r , r',, r"„ , . ... Donc ^ pour obtenir la somme de plusieurs quantités géométriques, il suffit de porter, l'une après l'autre, les diverses longueurs qu'elles représentent, dans les directions indiquées par les divers arguments , en prenant pour origine de chaque longueur nouvelle l'extrémité de la longueur précédente, puis de joindre l'origitie de la première longueur à l'extrémité de la dernière, par une droite qui représentera en grandeur et en direction la somme cherchée.

Si l'on projette orthogonalement les divers côtés du polygone OABC. . . HK sui' l'axe polaire, la projection algébri<:]u<' du dernier côté OK sera évidemment la somme des projections algébriques de tous les autres, ou, ce qui revient au même, la somme des projections algébriques des rayons vecteurs OA, OA', OA", .... Donc l'équation (i) entraînei'S la suivante :

(2) R cos P = r cosp -h /■' cos p' -+- r" cosp" + . . . .

On trouvera de même , en projetant les divers côtés du polygone OABC. . HK , non plus sur Taxe polaire, mais sur un axe fixe, perpendiculaire à celui-ci :

(3) R siu P =: r sin /; + /•' sin p' 4- r" sin p " -+- ....

fiCs équations (2) et (3) fournissent le moyen de déterminer aisément le module R et l'argument P de la somme de plusieurs quantités géométriques. Si l'on considère seulement deux rayons vecteurs OA , OA', représentés en grandeur et en direction par les quantités géométriques/' , r' ,, la somme de ces dernières sera, en vertu de la définition admise, une troisième quantité géométrique propre à représenter en grandeur et en direction l;i diagonale OK du parallélogramme construit sur les rayons vecteurs donnés.

Ea d'autres termes, elle sera le troisième côté d'nn triangle qui aura pom premier côté le rayon vecteur OA, le second côté AK étaut égal et parallèle au rayon vecteur OA'. D'ailleurs, dans ce triangle, le côté OK, représenté en grandeur par le module de la somme i\-h /''., sera compris entre la somme et la différence des deux autres côtés, représentés en grandeur par les modules r et r'. On peut donc énoncer la proposition suivante ;

r'^'' Théorème. Le module de la somme de deux quantités géométriques est toujours compris entre la somme et la différence de leurs modules.

Il est bon d'observer que le module de la somme de deux quantités ;;éouiétriques r' , r'^, pourrait atteindre les limites qui lui sont assignées par le

théorème précédent, et se réduirait effectivement à la somme ou à la différence des modules /', /•', si les rayons vecteurs OA, 0.\' étaient dirigés suivant une même droite, dans le même sens ou en sens opposés. Le théorème i" entraîne évidemment le suivant :

i'' Théorème. Le module de la somme de plusieurs quantités géométriques ne peut surpasser la somme de leurs modules.

On peut, au reste, déduire directement ce 2" théorème de cette seule considération , que dans un polygone formé OABC . . . HK , le dernier côté OK ne peut surpasser la somme de tous les autres.

Ce que nous nommerons le produit de plusieurs, quantités géométriques , ce sera une nouvelle quantité géométrique qui aura pour module le produit de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments. iSous iudi(|uerous le produit de plusieurs quantités géométriques,

a laide des notations que Ion em[)loie dans le cas où il sagit de quantités algébriques, par exemple, eu plaçant ces (jiiautilés à la suite les unes des autres, sans les faire précéder d'aucun signe. Cela posé, on aura, d'après i.i définition énoncée,

Ou sait que, pour midlipli.r par un farteur donné la somme de n!;isicurs nombres ou de plusieurs quantités algébriques, il suffît de multiplifr chaque terme de la sonune par le facteur dont il s'agit, lia somme R^, de plusieurs quantités géométiiques /•./',,... jouit de la même propriété. Pour le prouver, il suffit de faire voir qt'.e l'étjuation r) continuera de

Ex. d'An ci de Phri mnth,, T. IV, (41"^ livr.) *-* 1

( i6^ ) subsister, si l'on multiplie les divers termes

par un facteur géométrique p.. Or, en premier lieu , si le module p se réduit à l'unité, il suffira, pour effectuer la multiplication dont il s'agit, d'ajouter l'argument sr à cliaciin des arguments P, p, p', p" ■,■■■■ Mais cette opération revient à faire tourner autour de l'origine chacun des rayons vecteurs

et, par suite, le polygone OABC . . . HK, dont la construction fournit la valeur de flp, en faisant décrire à chaque rayon vecteur l'angle sr; elle laissera donc subsister l'équation (i), qui deviendra

En secon-.l lieu, ou poiirra, sans altérer les directions des côtés du polygone (MBC... HK, le transformer eu un polygone semblable, en faisant varier ses côtés dans le rapport de i à p, et l'on pourra ainsi , de la. formule (5), déduire l'équation

qui peut être présentée sous la forme

On peut lionc énoncer la proposition suivante : 3'= Théorème. Pour multiplier la somme

de plusieurs quantités géométriques r^^, /,... par le facteur géométrique p^,

il suffit de nndtiplier chacun des termes qui la composent par ce même fac-

teur

Ce théorème une fois établi, on en déduit innnédiatement la proposition plus générale dont voici l'énoncé :

4'^ ' Théorème. Le produit de plusieurs sommes de quantités géométriques est la somme des produits partiels que l'on peut former avec les divers termes de ces mêmes sommes, en prenant un facteur dans chacune d'elles.

( i63) Soit maiulenant m un nombre entier quelconque. Le produit de m tacteurs égaux à la quantité géométrique r est ce que nous appellerons la m'""^ puissance de cette quantité, et ce que nous indiquerons, suivant l'usage adopté pour les quantités algébriques, par la notation

Gela posé, l'équation (/i) entraînera évidemment la formule

(7) >^;^ir"),„r^ . ■

et l'on étendra sans peine aux puissances entières de quantités géométriques les .propositions connues et relatives aux puissances entières de quantités algébriques. Ainsi, par exemple, en désignant par ni, n deux nombres entiers, on' aura

Ainsi encore, on conclura du 4*^ théorème que la formule de Newton, relative au développement de la puissance entière d'un binôme, subsiste dans le cas même où ce binôme est la somme de deux quantiiés géométriques.

Deux quantités géométriques serout dites opposées l'une à l'autre, lorsque leur somme sera nulle, et inverses l'une de Taulre , lorsque leur produit sera l'unité. D'après ces définitions, la quantité géométrique r ou — r sera l'opposée de r^. De plus, si Ion étend les formules ('^), (8) au cas même ou l'exposant m devient nul ou négatif, on aura identiquement

et la quantité géométrique r^' ne sera autre chose que l'inverse de r Pareillement, r~"' sera l'inverse de /'". et l'on aura

Suivant l'usage adopté pour les quantités algébriques, ime quantité géométrique pourra quelquefois être représentée par une seule lettre.

ai .

§ III. — Différences , quotients et racines de quantités géométriques.

Pour les quantités géométriques comme pour les quantités algébriques, la soustraction, la division, l'extraction des racines ne seront autre chose que les opérations inverses de Tadditiou, delà multiplication, de l'élévation aux puissances. Par suite, les résultats de ces opérations inverses, désignés sous les noms de différences, de quotients, de racines, se trouveront complètement définis. Ainsi, en particulier,

La différence entre deux quantités géométriques sera ce qu'il faut ajouter à la seconde pour obtenir la première;

Le quotient d'une quantité géométrique par une autre sera le facteur qui . multiplié par la seconde, reproduit la première;

La racine n'""'' d'une quantité géométrique, n étant un nombre entier quelconque, sera im facteur dont la n"'"'^ puissance reproduira la quantité dont il s'agit.

De ces défiuuions, on déduira immédiatement les propositions suivantes :

i"^"^ Théorème. Pour soustraire une quantité géométrique, il suffit d'ajouter la quantité opposée.

% Théorème. Pour diviser par une quantité géométrique, il suffit de multiplier par la quantité inverse.

[jCS différences et quotients de quantités géométriques s'indiqueront à l'aide des notations usitées pour les quantités algébriques. Ainsi la différence des deux quantités géométriques Rp., r , sera désignée par la notation

et le rapport ou quotient qu'on obtient en divisant la première par la seconde, sera exprimé par la notation

Lorsque, dans une somme ou différence de quantités géométriques, quelques unes s évanouiront, on pourra se dispenser de les écrire. Donc, la somme et la différence des quantités géométriques o ef ,• pourront être représentées simplement par + r et — r •, et l'on aura, eu égard au i" théorème,

( i65 ) Si, dans la dernière des deux formules précédentes, on pose p =: o, el

lonnera

Soit maintenant p la racine «'""*" de /■ : l'équation

et, par suite [voir le § P"") ,

(2) p" = '\ nrs-=p + ikT:,

k désignant une quantité entière, [)Ositive, nulle ou néjjative; puis on en conclura

En vertu de la seconde des formules (3), l'anj^le polaire

P iKt.

pourra être un terme quelconque de la progression arithmétique dont la raison serait — 1 lun des termes étant • Il en resuite (ju une même quantité géométrique r offrira n racines du degré «, toutes comprises dans la formule

et représentées par des rayons vecteurs égaux, menés du pôle à n points qui diviseront une même circonférence en parties égales. Ajoutons que, l'expression (5) reprenant exactement la même valeur, lorsqu'on fait croître ou décroître le rapport - d'une ou de plusieurs unités, par conséquent, lorsquon

fait croître ou décroître k de n ou d'un multiple de «, il suffira, pour obtenir les diverses valeurs de cette expression, de prendre successivement pour A" les divers termes de la suite

( i66 ) Si p se réduit à zéro , et r à l'unité , on aura simplement

Alors les diverses valeurs de l'expression (5), réduites à la forme

ne seront auti-e chose que les racines «"'"" de l'unité, représentées par les divers ternies de la suite

Il est bon d observer que, parmi ces termes, deux au plus se réduiront à des quantités algébriques, savoir : le premier terme 1^=; i , et, quand n sera

pair, le terme i^ = — 1 , que Ton obtiendra en posant k =: -■ De plus,

comme on aura

et, par conséquent,

il est clair que les diverses racines de runité pourront être représentées nonseulement par les divers termes de la suite (8), mais encore, si «est impair, par les termes de la suite

(9) 'l:!zill5''"' '-il' 'i5' '' ''iiî' 'if'""' '("-■'-'

et, si « est pair , par les termes de la suite

1'° ';«--2)t'---- '1ï' '^' '' 'lu' '4 7r'*"'' '(n— 2)îr^ ~'n n ri ti n n

Si, par exemple, on attribue successivement à n les valeurs

on trouvera pour racines carrées de l'unité les deux quantités algébriques

( "67 ) pour racines cubiques de l'unité, la seule quantité algébrique i, et les deux quantités géométriques

pour racines quatrièmes de 1 unité, les deux quantités algébriques i, — i et les deux quantités géométriques .

liées entre elles par la formule

etc.

Si , dans l'expression (5) , on posait A- = o, celte expression , réduite à

iA.

représenterait une seule des lacines 7/'^'"" de /■ . Or, il suffira de multiplier celle-ci par l'une des valeurs de i, ;; , c'est-à dire, par l'une quelconque

des racines «'*'"" de l'unité, pour reproduire l'expression (5 >, propre à représenter I une quelconque des racines «"^'"" de /■ , attendu que l'on nurn généralement

Oa peut donc énoncer la proposition suivante:

3*" Théorème. Pour obtenir les diveises racines n"""^' d'une quantité géométrique, il suffit de multiplier successivement l'une quelconque d'entre elles par les diverses racines «'"""de l'unité.

§ IV. — Fonctions entières. Équations algébriques.

Nousappelleronsyo/zc</o« entière d'une quantité géométrique, une somme de termes proportionnels à des puissances entières et positives de cette quantité. lie degré de la puissance la plus élevée sera le degré de la fonction. Gela posé, si l'on désigne par z inie quantité géométrique variable, et par Z une fonction de z entière et du degré n, la forme générale de la fonction Z sera (i) Z = a -h />z -h es' -f- . . . + gi;"- ' -^ hz".

a, b, c ,..., g, h , désifjnant des coefficients constants, dont chacun pourra être une quantité géométrique. Ajoutons que l'on pourra encore écrire l'équation (i) comme il suit:

(a) Z = z" {h -+- gz-' + . . . + cz-"^^ +i,z-«+<H- az-").

Si Ti se réduisait à zéro , la fonction entière Z se réduirait à la constante a. Dans toute autre hypothèse, la fonction Z sera variable avec z, et son module deviendra infini avec le module de z. En effet , posons

^'=''p, Z—Rp,

soit, de plus, h le module de la constante /?, et concevons que le module / de z vienne à croître indéfiniment; on verra décroître indéfiniment les modules de z~', z~^, ... ,z~", et, par suite, le polynôme

+ ...-+- az-

s'approchera indéfiniment de la limite h. Donc, pour de très-grandes valeurs de r, le module de ce polynôme différera très-peu du module h de la constante h, et le module i? de Z, eu égard à la formule (2), différera très-peu du module de hz", c'est-à-dire du produit

Donc le module R de Z deviendra indéfiniment graijd avec le module /• de z;ctà une valeur Jinie du module R de la jonction Z ne pourra jamais correspondre qu'une valeurjinie du module rde la variable Z.

Concevons maintenant que I on attribue à la vai'iable 2 une valeur finie, puis à cette valeur finie un accroissement

dont le module p soit très-petit; et en désignant cet accroissement par Az, nommons AZ l'accroissement correspondant de la fonction Z. Pour obtenir Z -t- AZ, il suffira de remplacer z par z-\-^ dans le second membre de l'équation (i), où chaque terme pourra être développé, à l'aide de la formule du binôme, en une suite ordonnée selon les puissances entières et ascendantes de Ç. En opérant ainsi et réuiàssant les termes semblables, on obtiendra le développement de Z + A Z en une suite de termes proportionnels aux puissances entières de Ç, d'uu degré inférieur ou égal an. Si, de cette suite, on retranche la fonction Z représentée par le terme indépendant de Ç, on obtiendra un reste qui sera divisible algébriquement par Ç, et qui

( >69) représentera le développement de AZ. Nommons Ç"" la plus petite des puissances de Ç, comprises dans ce développement. Le quotient que produira la division de AZ par Ç'", sera une fonction entière de Ç qui se réduira, pour une valeur nulle de Ç, à une limite finie et différente de zéro. Soient Hij ce quotient, et iR.(jE' la limite dont il s'agit. On aura non-seulement

?'" = (?"■),„., mais encore

AZ = îi|,r=(iip'")|i^„.„,

et pour des valeurs décroissantes de p , l'argument "P -+• mzs de AZ convergera vers la limite (P + wzw. Cela posé, nommons A et B les extrémités de deiux rayons vecteurs qui, partant du pôle O, soient représentés en grandeur et en direction par les deux quantités géométriques