Z, Z + AZ

La longueur AR, représentée géométriquement par AZ, et numériquement par le module ISip"^, se mesurera dans une direclion qui formera l'angle 1)-i-wsr avec l'axe polaire. Si, d'ailleurs, on fait croître le module p à partir de zéro, le point B, d'abord appliqué sur le point A, décrira un arc dont la droite AB sera la corde; et la tangente menée à cet arc par le point A formera, avec Taxe polaire, un angle égal non plus à la somme 1) + /war, mais à sa limite 'î -+- m-cs. Or, évidemment, la distance OB sera plus petite que la distance OA, si le point B est intérieur à la circonférence de cercle décrite du pôle O comme centre avec le rayon OA; et l'on peut ajouter que cette dernière condition sera certainement rein|)lie, pour de très-petites valeurs du module p , si la tangente menée par le point A à l'arc AB forme un angle obtus avec le prolongement du rayon OA, ou, en d'autres termes, si l'angle polaire IT, déterminé par la formule

(3) n = ® + mt7-p,

offre un cosinus négatif; ce qui aura lieu, par exemple, si l'on a 11 = 71. Mais, après avoir choisi arbitrairement pour 17 un angle dont le cosinus soit négatif, on pourra toujours satisfaire à l'équation (3) , en attribuant à ct une valeur convenable, puisque, pour y parvenir, il suffira de prendre

Donc , en définitive, si le module R de Z, correspondant à une valeur finie de

Ex. </'/ln. <-i de Phxs. math., T. IV. (42° livr.) ^^

la variable 3, n'est pas nul, on pourra modifier cette valeur de manière à faire décroître le module R. En conséquence, la plus petite valeur que pourra prendre le module R ne pourra différer de zéro. Mais quand R s'évanouira, la valeur de z, d'après ce qui a été dit plus haut, devra rester finie, et, puisqu'une telle valeur vérifiera l'équation

on pourra énoncer la proposition suivante :

i" Théorème. Soient zune quantité géométrique variable, et Z une fonction entière de z. On pourra toujours satisfaire, par une ou plusieurs valeurs finies de z, à l'équation

Une valeur finie de z, qui vérifie l'équation (5), est ce qu'on nomme une racine de cette équation. Soit z' une telle racine, la fonction Z s'évanouira avec la différence z — z'; et si le degré n de cette fonction surpasse l'unité, elle sera le produit de z — z' pour une autre fonction entière qui devra s'évanouir à son tour pour une nouvelle valeur z" de z, et sera , en conséquence, divisible par z — z". En continuant ainsi , on finira par établir la proposition suivante:

2"= Tliéorème. Soit z une quantité géométrique variable, et

Z = a + èz + cz" + . . . + gz"- ' -+- Az" luie fonction entière de z du degré n. L'équation

Z=^ o admettra n racines; et si l'on nomme

z', z",..., zw CCS mêmes racines , on aura identiquement , quel que soit z,

(6) Z=li{z-z'){z- z")...(z-z'")),

en sorte que la fonction z sera le produit de la constante h par les facteurs linéaires

Il est bon d'observer que, dans le cas oïli l'équation (5) se vérifie, le terme hz" de la fonction z équivaut à la somme de tous les autres, prise en signe

( 17' ) contraire. Donc alors le module hr" de ce terme doit être égal ou inférieur à la somme des modules de tous les autres ; el si Ion nomme b , c, ... , g, li les modules des coefficients b, c,..., g, h, on doit avoir

(7) a H- br + cr- + ... + gr"~' — hr" = ou >o. Or, cette dernière condition peut s'écrire comme il suit :

/n\ abc g ,

(8) p;+,— + ;:^+--+ ^-h= ou > o.

D'ailleurs, le premier membre de la formule (8) varie, en décroissant, par degrés insensibles, et passe de la limite oc à la limite — h, tandis que ; croît et varie par degrés insensibles en passant de zéro à 1 infini. Donc ce premier membre sévanouira pour une certaine valeur de r qui vérifiera l'équation

(9) a -)- br + cr- + . . . + g/"- ' — hr" = o ;

et si l'on nomme 1 la raciue positive unique de l'équation (9) , la condition (7) ou (8) donnera r< 1. On peut doue énoncer la proposition suivante :

3"^ Théorème. Les mêmes choses étant admises que dans le théorème 2, chacune des racines de l'équation proposée offrira un module inférieur à la racine positive unique de 1 équation auxiliaire qu on obtient lorsqu on remplace, dans la proposée, chaque terme par son module, en affectant du signe — le terme qui renferme la plus haute puissance de l'inconnue, et tous les autres du signe -1-.

liorsque, dans la fonction entière z, tous les termes s'évanouissent , à l'exception des termes extrêmes a et hz", la formule (5j, réduite à Y équation binôme

(10) a -h hz" = o, donne

(II) z"=-.,

et ses diverses racines ne sont autres que les racines tz'*""" du rapport — j^

§ V. — Sur la résolution des équations algébriques.

Considérons toujours une équation algébrique

( 17=^ ) dont le premier membre

(2) Z=n + bz+ cz^^ ... + gz''-'+ hz"

soit une fonction entière de la variable

les coefficients «, b, c,...,g, A pouvant être eux-mêmes des quantités {géométriques. Comme on l'a prouvé dans le précédent paragraphe, cette équation admettra généralement h racines, c'esl-à-dire que l'on pourra généralement assigner à z, n valeurs pour lesquelles la fonction Z s'évanouira. Résoudre 1 équation, c'est déterminer ces racines en commençant par l'une quelconque d'entre elles; et la condition à laquelle une méthode de résolution devra satisfaire, sera de fournir chaque racine avec telle approximation que l'on voudra. Or le caractère d'une racine est de réduire à zéro la fonction Z avec son module R; et si des valeurs successives de z correspondent à des valeurs de R cpii décroissent sans cesse, en s'approchant indéfiniment de la limite ze'ro, ces valeurs de z formeront une série dont le terme général convergera vers une racine de l'équalion (i). Donc, pour résoudre cette équation , il suffira de faire décroître indéfiniment le module /?, et l'on pourra considérer comme appropriée à ce but toute méthode qui permettra de substituer à une valeur finie quelconque de z une autre valeur qui fournisse un module s<'nsiblement plus petit de la fonction Z. D'ailleurs, si, de ces deux valeurs de z, la première n'est pas nulle, on pourra considérer la seconde comme composée de deux parties dont l'une serait précisément la première valeur de 2, à laquelle s'ajouterait une \aleur particulière d'une variable nouvelle qui aurait commencé par être nulle. Donc on peut admettre comme méthode de résolution tout procédé qui permet d'assigner à une variable z com|irise daus une fonction entière Z, une valeur à laquelle corresponde un module R de Z sensiblement inférieur au module du terme constant a, qu'on obtient en posant, daus cette fonction , z ^ o.

Cela posé, concevons que, la valeur générale de Z étant donnée par l'équation (a), on considère d'abord le cas où le coefficient b àe z diffère de zéro. Si la variable z passe d'une valeur nulle à une valeur très-peu différente de zéro, la fonction Z |)assera de la valeur a à une valeur peu différente de a, et représentée approximativement par le binôme

rt + bz.

Si , d'ailleurs , le module de a est très-petit relativement au module de b ,

( '73 ) l'équation (i) offrira, pour l'ordinaire, une racine très-rapprochée cie zéi'o. et cette racine se confondra sensiblerueui avec celle de l'équation binôme

(3) rt 4- èz = G,

ou , ce qui revient au même , avec la quantité géométrique o^ détei luiiiée par la formule

On pourra donc alors prendre ordinairement la quantité p^ pour valeur approchée dé l'une des racines de l'équation (i), et c'est en cela que consiste la méthode d'approximation linéaire on nexvtonienne. Toutefois ^ la valeur jo^ ■ attribuée à la variable z ne pourra être admise comme valeur approchée d une racine qu'autant qu'elle fourniia un module R de Z inférieur au module de a

Si , en posant 5) z=p^,

on obtient un module de Z supérieur au module de a, on pourra substituer à la valeur précédente de z une autre valeur de la forme

r étant inférieur à o , et convenablement choisi. Effectivement . soient

les modules des coefficients

rt, f', c,..., g, h. Le module de

a + bz, qui se réduisait à

lorsqu'on prenait z ^= p , deviendra

lorsqu'on posera z = /• ; alors aussi le module de la somme ,

cz- + ... + gz"-' + /?z"

sera , en vertu du a' théorème du § II , égal ou inférieur à la quantité positive

cr = + ... + g/"-' -^hr", et par suite le module du polynôme

Z = a-\-hz-^ cz^-h ... -h gz"- ' -r- hz"

sera égal ou inférieur à la quantité positive

a — br 4- cr- -f- . . . + gr'-~ ' -f- h/",

( 174) on, ce qui revient au même, à la différence

(8) a — /■( b - c/- - . . . — gr"-- — lir"- ' ).

Donc le module fi de Z sera inférieur au module a de la constante a, si l'on détermine z à l'aide de l'équation (6), en assujettissant le module r à vérifier non-seulement la condition (y), mais encore la suivante :

(9) h — cr— ... — gr"-^ — hr"-' > o. D'ailleurs, si l'on nomme <* la racine positive unique de l'équation ( lo) b — cr — . . . — gr"~ ^ — hr"~ ' =^ o,

il suffira, ;)«ir satisfaire simultanément aux conditions (7) et (9), que le module r devioniie inférieur au plus petit des deux nombres p et r. En conséquence, (in peut énoncer la proposition suivante : i*"' Théorème. Soient

Z = a -i- bz-i-cz^-h ...^ gz"-' -^ kz" une fonciion entière de la variable s = r , et

a. b, c,..., g, h les modules des coefficients

Supposons, d'ailleurs, que, les coefficients a, b n'étant pas nuls, on nomme 0 la racine de l'équation binôme

a -h bz:= o.

et r la racine positive unique de l'équation

b — c?-— ... — gr"-2 — hr"-' = o.

Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier terme a, il suffira de poser p ^^ zs, et d'attribuer au module r de s une

valeur inférieure au plus petit des deux nombres p , r.

Nous avons ici supposé que , dans la fonction Z, le coefficient de z ne se réduisait pas à zéro. Mais ce coefficient et d'autres encore pourraient s'évanouir. Admettons cette hypothèse, ou, ce qui revient au même, supposons la fonction Z déterminée, non plus par l'équation (2), mais par une équation de la forme

(11) Z = a + bz'-hcz'" +...-{- hz",

( 175 ) les nombres /, m,..., n formant une suite croissante. Alors, si le modiiKde a était très-petit relativement au module de b, on pourrait, dans un( première approximation , réduire poui l'ordinaire réquation algébrique

Z = o à l'équation binôme

(12) ' a -^ bz' — o.

De plus, en raisonnant comme ci-dessus, on établirait a la place du ibéorème i^'', la proposition suivante : ,

•2^ Théorème. Soient

Z = a -i- bz' -+- cz'" +...-+- hz"

une fonction entière de la variable :: =^ r^ , et

a, b, c,..., h les modules des coefficients

Supposons, d ailleurs, que les nombres /,/?;,..., n forment une suite croi>saute,

et que, les coefficients n, b n'étant pas nuls, on uoninie p^ l'une quelconque

des racines de l'équation binôme '

(12) a -^ bz' ^ o,

et r la racine positive unique de l'équation

(i3) b - cr'"-' - ... - hr"-' = o.

Four rendre le module de la fonction Z inférieui- au module de sou premier terme a, il suffira de poser p = t7, et d attribuer au module / de z une valeur inférieure au plus petit des deux nombres p, r-

En s'appuyant sur les théorèmes i et 2 , on pourra , d'une valeur nulle de z, déduire une série d'autres valeurs auxquelles correspondiont des valeurs sans cesse décroissantes du module R de la fonction Z. Si ces valeurs décroissantes de R s'approchent indéfiniment de zéro , les valeui's correspondantes de z convergeront vers une limite qui sera certainemenc une racim de l'équation (i). Mais il peut arriver aussi que les valeurs de R successivement obtenues décroissent sans s'approcher indéfiniment de zéro. C'est ce que l'on reconnaîtra sans peine en essayant d'appliquer les théorèmes énoncés à la résolution d'équations très-simples, par exemple d'équations du second degré.

( '76) Eu eftet , considérons le cas où, Z étant du second degré , l'on aurait (i4j Z = a -t- /;z + cz^.

Supposons, d'ailleurs, que a, b, c étant les modules de rt, è, c , on ait

rti=a, A = — b, c = c.

fia valeur de Z deviendra (i5) Z=a — bz + cz^;

et les racines p , \- des équations

a — bz = o, b — cr=o

seront

rn b c

de sorte qu'on auia encore

Si, d'ailleurs, p est supérieur à r , ou, ce qui revient au même, si Ion a (i6) ac — b^> o;

alors, |)our obtenir un module de Z inférieur au module a, il suffira, en vertu du théorème i", de poser

(17) z = er,

5 désignant un nombre entier inférieur à l'unité, mais qui pourra varier arbitrairement entre les limites o, i ; et comme, en posant

(18) z=Ôr+Ç, on trouvera

(19) Z = a'-b'Ç+cÇ% les valeurs de a', b' étant

(20) a'= a-Ô(i -Ô)br, b' = (i-2Ô)b;

il est clair qu'à la valeur zéro de Ç, ou, ce qui revient au même, à la valeur

5f de z correspondra un module de Z, inférieur au module a, et représenté

par a'. Il y a plus : comme des formules (20), jointes à la condition (16), on tirera

il suffira d'appliquer le ibéoreme i" à la valeur générale de Z, que détermine non plus Téquation (i5), mais l'équation transformée (19), pour démontrer que le module de Z décroîtra encore si la nouvelle variable Ç passe de la valeur zéro à la valeur

0 étant déterminé par la formule

0= I -- 25, ou. ce qui revient au même, si la variable z passe de la valeur 5r à la valeur Qt (i -1-0). Eu continuant ainsi, on reconnaîtra que, pour obtenir des

valeurs décroissantes du module de Z, il suffit de prendre pour valeurs successives de z les divers termes de la suite

(22) o, 5r, 5r(i+0), 5r (1 -h 0 -i- 0-), etc....

Or le terme général de cette suite converge vers la limite

er(, + 0 + 0^+...; = -^r=:^r,

et comme, en supposant remplie la condition (16), on trouve, pour

il est clair que, dans cette hypothèse, la limite vers laquelle converge le terme général de la série (22} ne peut être une racine de l'équation du second degré

(aS) a — bz + cz* = o.

On arriverait aux mêmes conclusions en formant la série des valeurs décroissantes du module R de Z, qui correspondraient aux valeurs successives de la variable s, et l'on reconnaîtrait ainsi que le terme général de cette nouvelle série , au lieu de s npprocher indéfiniment de zéro , converge vers la limite

a (i - 9) rb (i + 0= ^ 0* + . . . : = a - ^~^P br =.a - i br,

I 1. ■ I Ij , . ,3

par conséquent vers la limite a — 7 — : supérieure a -, a.

La limite vers laquelle converge le terme général de la série (22) n'étant pas une racine de l'équation (21), on pourrait être tenté de regarder le calcul de cette limite comme inutile à la résolution de cette équation. Mais

F.x.dAn.rlde Ph/i.malh., T. l V , (-52' livr. ) 2J

( '78 ) cette opinion serait une erreur; car si l'on décompose la variable zen deux parties dont la premièri; soit la limite trouvée, ou en d'autres termes , si l'on pose

il suffira de substituer à la variable z la nouvelle variable Ç, pour réduire l'équation (aS) à l'équation binôme

[il\) a'+ cÇ' = o,

la valeur a' étant

D'ailleurs, les deux racines de l'équation (24) ne sont autres que les deux racines carrées du rapport

Généralement, si, au lieu d'une équation du second degré, on considère une équation de degré quelconque, la série des valeurs de z, successivement déduites des règles que nous avons énoncées, et correspondantes à des valeurs décroissantes du module /? de Z, pourra converger vers une limite qui, n'étant pas une racine de l'équation donnée, ne fasse pas évanouir le module R. Mais alors il suffira d'attribuer à cette limite un accroissement représenté par une nouvelle variable Ç; puis de substituer ^ k z , pour obtenir, à la place de l'équation donnée, une équation transformée, de laquelle on pourra déduire, par l'application des mêmes règles, une nouvelle série de valeurs de Ç , et par conséquent une nouvelle série de valeurs de z, correspondantes à de nouvelles valeurs décroissantes du module R.

En continuant de la sorte, c'est-à-dire en déduisant, s'il est nécessaire, des règles énoncées plusieurs séries de valeurs de z , en déterminant d'ailleurs avec une approximation suffisante les limites vers lesquelles convergent les termes généraux de ces séries , et en transformant l'équation donnée par l'introduction de variables nouvelles qui, ajoutées à ces limites, reproduisent la variable z, on pourra non-seulement diminuer sans cesse, mais encore rapprocher indéfiniment de zéro le module R; par conséquent, on finira par résoudre l'équation donnée avec une approximation aussi grande que l'on voudra. Il y a plus : cette méthode de résolution peut encore servir à démontrer l'existence des racines, f^orsqu'on veut l'employer à cet usage, il n'est pas absolument nécessaire de considérer les équations ar.xiliaires (3) et (10), ou (12) et (i3); il suffit d'observer que l'on satisfait aux conditions

requises, par exemple aux conditions (7) et (9), en attribuant au modide r

! '79 ) de z une valeur infiniment petite; et l'on se trouve ainsi ramené au théorème I*' du § IV, par une démoustraiiou qui est précisément celle qu en a donnée M. Argand dans un article que renferme le IV volume des annales de M. Gergonne, pages i3^ et suivantes (*). C'est encore à cette démonstiation que se réduit celle que M. Legendre a proposée pour le même théorème dans la seconde é.lition de la Théorie des noinhiei. D'ailleurs M. Legendre observe qn'en diminuant continutllement le module d'une fonction entière par des opérations semblables, répétées convenablement, on parviendra, en définitive, à une valeur de ce module aussi petite que I on voudra; il présente, en conséquence, ce décroissement graduel comme méthode de résolution pour les é.juatious algébriques, et surtout comme propre à fournir une première valeur approchée d'une racine dune telle équation. Mais le moyen qu'il propose pour conduire le calculateur à ce but laisse beaucoup à désirer, et consiste à fairi' tiécroître le module de In fonction entière Z, en attribuant à la variable z une valeur égale au produit d un coeificient très-petit par la racine de l'équation ('5), ou par une racine de ré(|uation (la). Du reste, il n'explique pas comment on doit s'y prendre pour obtenir un coefficient d'une petitesse telle, que le module Z décroisse effectivement, et ne parle pas de I éqitation (lo) ou(i!^), qui permet de répondre à cette question. Ajoutons que, même en ayant égard à l'équation (lo) ou (i3\ et en suivant la méthode ci-dessus tracée, on peut èli-e exposé à im travail long et pénible, si l'on n'a pas soin de choisir convenablement les quantités que la méthode laisse indéterminées; par rxemple. le nombre désigné par 9 dans la formule (i8). Supposons, poiu- fixer les idées, que l'équation 'a3 1 se réduise à la suivante :

Alors, le rapport - ou r étant réduit à 1 unité, le n""""" terme delà série (2a) sera

et convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite-- Mais il

s'approchera très-lentement de cette limite, si Ion attribue au nombre 6 ime valeur peu différente de zéro, à laquelle correspondra une valeur de 0 peu différente de l'unité. Donc alors on devra prolonger fort loin la série (aa),

{*) J'ai en ce moment sous les yeux un exemplaire de l'ouvrage dont cet article ofïre le résumé. Cet ouvrage , qui a pour titre : Essai sur une mauitrc de rrpri-senur lit quantités imaginaires dans les constructions géométriques , porte la il.itc de 1806. Li nom de l'auteur, Robert Argand , de Genève , est ccrit à la main.

avant d'obtenir un terme sensiblement égal à cette limite ; et l'on peut ajouter que les valeurs de R, correspondantes aux valeurs successives de z, décroitront très-lentement. A la vérité, dans le cas présent, ou peut déterminer directement la limite cherchée. Mais il n'en sera plus de même quand l'équation donnée sera d'un degré supérieur au second; et généralement le calcul des valeurs successives de z deviendra pénible , si le module R décroît trèslentement tandis que l'on passe d'une valeur de z à la suivante ; ce qui obliger.i le calculateur d'effectuer une longue suite d'opérations avant que ce module devienne sensiblement nul.

On évitera ces inconvénients , ou , du moins , on les atténuera notablement si, en appliquant à une fonction entière Z le théorème i ou a, on attribue à la variable z un module /■ qui, sans dépasser la plus petite des limites indiquées p et r» fasse décroître, autant qu'il sera possible, le module de Z. D'ailleurs, lorsque, le coefficient de z dans Z étant différent de zéro, on attribue à la variable z, avec l'argument zs, un. module égal et inférieur au plus

petit des nombres p, f, le module de Z ne dépasse pas la somme (8), savoir : (8) a - r(b - cr-... -gr"-=- hr"-M,

dont la valeur minimum, inférieure à a, corresponde la valeur maximum

du produit

(a5) ;-(b — cr— ... — gr"-- — hr"-').

Enfin, le produit laS) , dont les deux facteurs s'évanouissent , le premier

quand ou pose r = o, le second quand on pose r = r, aura pour maximum

une valeur positive correspondante à une valeur fc de r, qui vérifiera la condition

Cela posé, la quantité t, inférieure à r, sera la valeur de r à laquelle correspondra la valeur minimum de la somme ( 8) , que le module de Z ne dépassera point si l'on a r < (j'. On se trouvera donc naturellement conduit à substituer,

dans le théorème i^"^, ï- à t*; on pourra même réduire le module r de z à celle des deux quantités p, x, qui fournira le plus petit module de Z. et l'on obtiendra ainsi, pour la résolution des équations algébriques, la méthode nouvelle et très-simple qui fera l'objet de l'article suivant.