LA RÉSOLUTION DES EQUATIONS ALGÉBRIQUES

Soit toujours

[i) ' Z = a -^ bz -^ cz^ -\- . . . -h gz^-' ■+■ hz"

une fonction entière de la variable

Comme on la expliqué clans le Mémoire précédent, on pourra lésoudre iiuf équation algébrique quelconque à l'aide de tout procédé qui fournira pour la variable z une valeur à laquelle correspondra un module R de la fonction Z. sensiblement inférieur au module a du premier terme a.

Cela posé, considérons d'abord le cas où, la valeur de Z étant donnée par I équation (i), le coefficient b de z diffère de zéro. Alors une méthode de résolution très-simple pourra évidemment se déduire du théorème que nous allons énoncer.

i" Théorème. Soient , ^

(i) Z = a + èz + cz^ + . . . + gz"-' + hz"

une fonction entière de la variable z =: /),, et

a, b, c,..., g, h, les modules des coefficients

Supposons d'ailleurs que, les coefficients a, b n'étant pas nuls, ou nomme po la racine de l'équation binôme

(2) a -^ bz=z o,

( '8^ ) «H t- la valeur de r pour laquelle le produit

(3) /-(b -c/-...-gr"-^-hr'-';

devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine positive Il unique de l'équation

(4) b - 2 cr - .. . — (n — i) gr"-' - nhr"-' = o.

Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier terme a , il suffira de réduire ce module /? à la plus petite des deux valeurs qu'on obtient quand ou pose successivement

Démonstration. Lorsque , l'argument de z étant égal à s , le module de z est épal ou inférieur à p, le module du binôme a -\- bzse réduit à la différence

a — br;

par conséquent, le module de Z ne surpasse pas la somme

5) a — b;-+er^ +...-!- gr"-'+hr".

D'autre part, le produit (3), qui croîtra en passant d'une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que r croîtra depuis zéro jusqu'à t-, sera toujours

positif dans cet intervalle. Donc, pour / =: ou < t, on aura

(6) cr' + ... + gr"-'-h hr"< br.

Or il résulte immédiatement de cette dernière formule que, si 1 on réduit le module r au plus petit des deux nombres p, t , la somme (5), et à plus forte raison le module R de Z, offriront des valeurs inférieures au module a. Donc le plus petit des modules di Z , correspondants aux valeurs p^^x. de

E, sera certainement inférieur au modide a.

Corollaire. Il est bon d'observer que, si l'on considère le produit (3) comme fonction de r, ce produit, qui croît toujours avec r quand on fait varier r entre les limites o, t,, offrira dans cet intervalle une dérivée toujours

positive. Donc, pour /■ < ï, , on aura toujours

b — 2 cr — . . . — i^/i — i) gr"~' — «hr"~' > o,

( «83 ) ou , ce qui revient au »nênie,

br — 1 c/-* — ... — [Ti — i)gr"~' — nhr" > o; puis on en conclura ^ r

(7) hr—cr- -... — gr"-'— hr' > cr» + ... 4- (n — i){',r"''+ n —i)hr"-

Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle la condition (6), le module a surpassera la somme (5) dime quantité supérieure au nombre a déterminé par la formule

(8) a = cr--4-. ..-h{n - 1) ^,r"-' + ( n — i]hr".

Donc, par suite, le module M de Z deviendra inférieur à la différence a — a, si Ion pose z = r en prenant pour r le plus petit des deux nombres f> , ^: et, à plus forte raii^on, si l'on réduit le module /? à la plus petite des deux valeurs qu'il acquiert quand on pose successivement z = p^ . s ^ ^.

Ajoutons que le nombre a ne s'évanouira jamais, si ce n'est dans le cas particulier où , les coefficients c,..., g, A s'évanouissant tous simultanément, le polynôme Z se trouverait réduit au binôrncï a -+- bz. D'ailleuis, dans ce cas particulier, 1 équation algébrique Z =; o se réduirait précisément à l'équation binôme a -î- 6z= o. dont la racine est z =: p =: — t-

Considérons maintenant le cas où, dans la fonction Z, le toetficient de z s'évanouirait; ou, ce qui revient au même, supposons cetle fonciiori déterminée, non plus par la formule (i), mais par une équation de la forme

^ Z =a-^ bz' ^ cz'" -h ...-h hz". l.

Aloi's, au théorème 1"^, on pourra substituer la proposition suivante : ■1^ Th'orème. Soient * ■

Tg) Z ^a ^ bz' -^cz"'^ ...^ hz'\

une fonction entière de la variable z =: r , et

a,b,c,...,h, les modules des coefficients

Supposons d'ailleurs que les nombres /, m, .., n forment une suite croissante, et que, les coefficients rt , b n étant pas nuls, ou nomme c> l'une quel-

( i84 ) couque des racines de l'équation binôme

( loj a + 6z'= o.

Enfin , soit t la valeur de r, pour laquelle le produit

(il) r'{b — cr"'-'— .. . — kr"-')

devient ua maximum , ou, ce quirevient au naême, la racine positive unique de l'équation

(12) /b - mer'"-' — ... - nbr"-' = o.

Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier terme a, il suffira de réduire ce module à la plus petite des deux valeurs qu'il obtient quand on pose successivement

Démonstration. Lorsque, l'argument de z étant égal ct, le module de z est égal ou inférieur à p, le module du binôme a -f- hz' se réduit à la différence

a - br';

par conséquent, le module de Z ne surpasse pas la somme

,i3) a — br' -1- cr"' -)-...+ hr".

D'autre part, le produit (i r), qui croîtra en passant d'une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que/ croîtra depuis zéro jusqu'à t, sera toujours

positif dans cet intervalle. Donc, pour r = ou < t-, on aura

(i4) cV"+ ...■+■ br"< br'.

Or il résulte immédiatement de cette dernière formule que, si l'on réduit le module /au plus petit des deux nombres p, t,, la somme (i3), et à plus forte raison le :nodule de Z, offriront des valeurs inférieures au module a. Donc le plus petit des modules deZ correspondants aux valeurs p^, t-^ de z,

sera certainement inférieur au module a.

Corollaire. I! est bon d'observer que, si l'on considère le produit (ir) comme une fonction de /•, ce produit, qui croît toujours avec r quand on fait varier /• entre les limites o, t, offrira dans cet intervalle une dérivée

( i85 ) toujo.ns positive. Donc , pour /• < t , on aura tonjours

''5) Ihr'-'-mcr"-' -...^nh,"-' >o,

ou, ce r|ui revient au même,

Ibr' ~ mer'" -...-- nhr''>opuis on en concluin

(i6^ br' - c.'" - ... - Ur" > ( ^ ,) ,-'" ^ • - • + (^ - . ) h.".

J >- en vertu de celle dennere formule, qui entraîne évidemment avec elle la condition (14 le module a surpassera la somme (i3) d'une quantité supérieure au nombre a déterminé par la formule

Donc, par suite, le module /ï de Z deviendra inférieur a la quantité a a,

Si Ton pose z = r^, en prenant pour /• le plus pelit des deux nombres . , ^..

et a plus forte raison si Ton réduit le module R à la plus petite des deu.x va-

i-^nrs qu'il acquie.-t quand on pose successivement z= c^, - = ,,^. Ajoutons

que le nombre a ne , évanouira jamais, s. ce n est dans il cas parLulier ou^

les coethcientsc ...,g,h s évanouissant tous simultanément, le polvnôme /

- trouverait réduit au binôme . + bz^. D'ailleurs, dans ce cas paHiculier^

1 équation Z =^ o se réduirait précisément à l'équation binôme a + f-,z'= o .^

dont les racines se confondent avec les racines de de.;re / du rapport - ^

I ime d'elles étant p ' />'

f. application du théorème , ou . au.x fonctions entières, qui représentent les premiers membres d'une équation algébrique et de ses transformé , successives, fournit, pour la résolution de cette équation, une méthode et des formules précises qui ne renferment plus de quantités indéterminées e, a.b.traires, analogues au nombre 6 du Mémoire précédent. A la vérité i.our déduire de cette méthode, des principes exposés dans le Mémo e' P-ecedent, il suffit d'attribuer aux indéterminées dont il s'agit des valeurs spéciales, en prenant, par exemple, 9 = I. Mais conune ces valeurs spéciales sont précisément celles qui font décroître plus rapidement le module de la fonction entière donnée, ou, du moin, certains nombres que ce mo-

t:T. JAn it de p:.ys. ■uath.. T. 1\ . i-igc |jj^ , ,

diilc ne dépasse point , elli^s seront aussi géuéralemcol celles qui rendiont les

appioximations plus l'apides.

Siipposous, pour fixer les idées, ([ue Ton applique la nouvelle méthode

a la formule (aSl de la page 177, e'est;-à-dire à l'équation du spcoik!

de;; ré

a — bz + cî" = o, ,f

(Il siippo-aut toujours

On Irouvei'a

ac — I)- > o.

puis, PU preunnt

el taisant, pour abréger, a' =; a — a , on obtiendra immédiatement la traiis-

rorniee

iloiit les deux racines- coincideul avec les racines carrées du rapport

On retiouvcradonc ainsi l'équation (24) de la pago 178; et, ce qu'il importe de remarquer, on aura été conduit à cette équation, non plus par la recherche de la limite vers laquelle converge le ternie général d'une série formée avec des valeurs successives de la variable z, mais par la détermination d'une seule valeur de cette même variable.

S'il arrivait que la fonction Z offrît, à la suite de son premier tei-me a . un u plusieurs autres termes dont les coefficieiiîs fussent sensiblement nuls , DU pourrait, en se servant tlu théorème i ou 2 pour déterminer un module de Z inférieur ci celui de a, faire abstraction de' ces mêmes termes, sauf à constaier ensuite que le module trouvé de Z, quand on a égard aux termes omis, reste inférieur au module de a. Cette remarque permet d'employer la nouvelle méthode à la lésolution d'une équation numérique donnée, dans le cas même où l'application rigoureuse des théorèmes i et 2 aux premiers uieuibres des transformées de cette équation ferait décroître très-lentement, après un certain nombre d'opérations, les moduhîs de ces premiers membres.

On sait que Ion peut toujours ramener la résolution d une é([uation algébrique au cas où cette équation n'offre pas de racines égales. D'ailleurs, lorsqu'à l'aide de la nouvelle méthode on sera parvenu à une valeni- nès-approchée w dune racine simple d'une équation algébrique

( ii^7 ) alors, en posant

on transformera Z eu une fonction de Ç dans laquelle le terme constant sera >ensiblement mil, tandis que le coefficient de 'Ç différera sensiblement de zéro. Quant au coefficient de Ç", il se réduira précisément ;iu coefficient fie z" dans la fonction Z. Donc, dans Ihypothèse admise, on trouvera

(19) Z = u + 6r + cr= + ... -gç""'^- hç".

Il, 6, c, . . . , çi désignant de nouveaux coefficients dont le premier .1 offrira un module très-petit, tandis que le module de 6 différera sensiblement de zéro. Donc alors, en vertu du théorème i*"^, il faudra, pour lendre le module de Z inférieur au module de a, poser

( 20^' a -j- (iÇ z= o ,

ou, ce qui revient au même,

et, par suite, la nouvelle valeur approchée de la racine simple qui différait peu de u, sera celle que détermine la formule

Ainsi la nouvelle méthode^ appliquée à la résolution d'une équation algébrique qui n'offre pas de racines égales, finira par coïncider, après un certain nombre d'opérations, avec la méthode linéaire ou nexvtonienne .