ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT
La méthode que nous avons appliquée dans le Mémoire précédent a la réduction du module d'une fonction entière de la variable z, peut subii une modification qu'il est bon de connaître, et que nous allons indiquei-.
Soient toujours
Z = n -\- bz -\- cz- + . . . -\- gz"~' ■+- hz" = R,, une fonction entière de la variable z =: /'^ , et
a, b, c, ..., g, il les modides des coefficients - ; ' :] • - , '- ■
IJ, 1/, c, . . . , Q , (/ . !
Soit encore
la racine unique de l'équation linéaire Y." . ;'
a -h bz = o, en sorte cpi'on ait " ' 1 v
et posons ,,.
Q = c + ... -^ gz"-' + hz"--,
(^. = c + ... -h s^p"-' -h hp"~-.
On aura
(i) Z = a-^ bzH- Qz\
Cela posé, lorsqu'on prendra z = v^, le module r étant égal ou inférieur à p, on obtiendra évidemment un module de Q égal ou inférieur à C, et , par suite, un module de Z égal ou inférieur à la somme
(2) a - hr ■+-(:!-.
Or, la valeur minimum de cette somme, savoir,
( i«9 ) est inférieure, quand b ne s'évanouit pas, au module a, et correspond a ni
module t, de z déterminé par la formule
Donc, si l'on a t < p , ou, ce cpii revient au même, (3) C > i ^,
il suffira de poseï- Ç = ï ^ pour obtenir un module de Z inférieui- à a. Si ,tn contraiie, on n t > (^ - ou, ce qui revient au même,
2 a d suffira de poser z = p^ pour obtenir ini module 'le Z inférieur a
el , par conséquent , à
Ainsi, en résumé, on peut énoncer la proposition suivante: i^' Théorème. Soit
Z = a~- bz + cz" + ... -^ gz"-' + hz"
une fonction entière de la variable z. Soient encore a, b, c, ••., g, li les modules des coefficients a, h, c, ..., g, h [a et b étant supposés distincts de zéro], et ,o la racine unique de l'équation linéaire
a -i- bz z= o ; enfin , prenons
et
Il suffira de poser Ç = (5 si l'on n p < t , et Ç == t^ si l'on .i o > i , pour
abaisser le module R de Z au-dessous d'une limite inférieure an modide a
de a; savoir, dans le premier cas, au-dessous de la limite - a , et , ilans le
b' second cas, au-dessous de la limite a — -r^-
Il ])ourrait arriver qu'iui on plusieurs des coefficients 6, f, ... se réduisissent a zéro. Alors, à l'aide de raisonnements semblables a ceux diml
( ' 9° ) nous avons fait usage, on obtiendrait, à la place du théorème i''', la proposition suivante :
a*" Théorème. Soit
Z = a + bz' + cz'" + . . . -H hz"
une fonction entière de la variable z. Soient encore a, 1>, c, . . , h les modules des coefficients a, b, c, ..., h, et çi^ l'une des racines de l'équation binôme
a + bz' =; o ; ^
enfin, prenons
C = C + ... + \irj"-"'
Il suffira de poser z = p^ si l'on a p < t, et z ^ t si l'on a jS > t , pour abaisser le module R de Z au-dessous d'une limite inférieure au module a de a, savoir, dans le premier cas, au-dessous de la limite — a (*) , et , dans
le second cas, au-dessous de la limite a hx} .
Les deux théorèmes que nous venons d'établir fouriiissent , pour la réduction du module d'une fonction entière quelconque, et, par suite, pour la résolution des équations de tous les degrés, une méthode facilement applicable, puisqu'en la suivant , on a seulement à résoudre des équations hnéaires ou des équations binômes. Ajoutons qu'après lui certain nombre d'opérations, cette méthode nouvelle finit toujours par coïncider avec la méthode linéaire ou newtonienne , quand on a réduit, comme on peut toujours le faire, l'équation proposée à n'avoir que des racines inégales entre elles.
(*) La limite dont il s'agit se présente d'abord sous la forme Co"; mais l'équation
jointe à la condition f- <^ x , donne
b/>/«Cp'"-'.
et, comme on a d'ailleurs
a = hp',
on tire des deu.\ dernières formules, combinées entre elles par voie de multiplication,
a / ^ 7« C p" ; par conséquent,
Cp'»<— a.
Quclquea définitions géncra/enicnt adoptées en Arithmétique
et en Algèbre.
(ionime je lai remarqué dans V A naljse algébrique, quelques détiuitious iiénéralement adoptées en arithmétique et en algèbre , spécialement la définition d'un produit et la définition d'une puissance, ne peuvent être hien lomprises qu'a l'aide de développements et d'explications qui font disp.iraitre ce que ces définitions offrent , au premier abord , de vague et d'indéterminé. En effet, dire que, pour obtenir un produit, iljaut opérer su i le multiplicande, comme on opère sur l'unité pour obtenir le multiplicateur. c est donner de ce produit ime définition qui, pour devenir claire cl précise, exige que l'on explique quelles sont les opérations à eltectuer.
D'autre part, comme Euler l'a montré, l'arithmétique et l'algebie s .ippinent sur deux notions fondamentales, qui se présentent naturellenienl .1 l'esjtril, des que 1 on veut comparer deux grandeurs entre elles, savoir. Us notions de rapport arithmétique et de rapport géométrique.
V.n effet, deux grandeurs de même espèce peuvent être comparées enire elles sous deux points de vue différents.
La mesure de la seconde grandeur comparée à la pi-emièi-e, est un nombre qui représente le rapport {^^) géométrique de l'une à l'autre. I. inverse de ee nombre ou de ce rapport est la mesure de la première grandeur compare e ,1 la seconde. I^orsque les deux grandeurs sont égales, leur rapport (lired on inverse se réduit à Vanité de nombre.
I /augmentation ou la diminution qu'il fani faire subir à l.t preimt re grandeur pour obtenu- la .seconde, est une quantité positive ou Jiégativc tpn représente le rapport arithmétique tle la seconde à la première. I.a
(*) Lorsque le mot rapport est employé seul, il désigne crencralenient , ronime l'on sait, nu mppnit i^cométrique.
( '93 ) quatilUd opposée est la diminution ou rauguieutation qu'il faut faire subir à la seconde grandeur pour obtenir la première. Lorsque deux grandeurs sont égales, leur rapport arithmétique est une grandeur nulle, dont la mesure est le nombre zéro.
Os notions de lapporl arithmétique et de rapport géométrique étant inie fois admises, les quatre opérations fondamentales de l'arithmétique et de l'algèbre, savoir, l'addition, la soustraction, la midtiplication, la division, peuvent être aisément définies en termes clairs et précis. En effet, on peut dire que la soustraction et la division se bornent à déterminer les rajiports arititinétique et géométrique de deux grandeiu's, Vadditioii et la mulliplicatioii, à déterminer Tune des grandeurs, quand on connaît l'autre avec le rapport arithmétique ou géométrique de l'une à l'autre.
On peut aussi, de la notion de rapport arithmétique ou géométrique, |)asser iinmédiatenient , connne l'on sait, à celle des propoi'tions et des progressions, puis à la notion des puissances des nombres et de leurs degrés ou exposants. l>es définitions et les théorèmes que l'on obtient alois étant bien connus, je me bornerai à les i-appeler en peu de mots.
Tne proportion arithmétique on géométrique n'est autre chose que l'egalité de deux rapports arithméticpies ou géométriques.
Une progression arithmétique ou géométrique est une suite dans laquelle le )-apport arithmétique ou géométrique de chacpie terme au précédent , se léduit à un nombre ou à une quantité constante, que 1 on nomme le rapport ou la raison de la progression dont il s'agit.
De la définition même des progressions arithméticiues et géometiiques, on déduit immédiatement les propositions suivantes :
i*^' Théorème. Dans toute progression arithmétique dont un teinie se réduit à zéro, le terme suivant est la raison même de la progression. De plus, le rapport arithmétique de deux termes est encore lui terme de la progression; et, pour obtenir le rapport arithmétique d'un terme quelconque à l'un des termes précédents, il suffit d'ajouter la raison à elle-même autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre des termes intermédiaires.
a* Théorème. Dans toute progression géométrique dont un terme se réduit à l'unité, le terme suivant est la raison même de la progression. De |)lus, le rapport géométrique de deux tei'mes est encore un terme de la progression ; et , pour obtenir le rapport géométrique d'un terme quelconque à l'ini des termes précédents, il suffit de multiplier la raison par eile-méme autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre des termes intermédiaires.
])e ces deux théorèmes, on tire encore le suivant.
3^ Théorème. Étant données une progression aritliiuélique dont un teriuc se réduit à zéro, et une progression géométrique dont un terme se réduit a l'unité, si l'on fait correspondre aux termes de l'une les termes de l'autre, de telle sorte qu'au terme zéro de la progression arithmétique, correspr)n(lc le terme i de la progression géométrique, alors le rapport arithmétique entre deux termes de la progression arithmétique et le rapport géométrique entre les deux termes correspondants de la progression géométrique, seront deux nouveaux termes qui appartiendront respectivement aux Ak'xw progi'essions indéfiniment prolongées, et qui correspoiulront encore l'un a I autre.
Concevons, en particulier, que, la r.iison de la progi-ession arithmétique étant réduite à l'unité, la raison de la progression géométrique soit une quantité positive représentée par la lettre a. Les divers termes de la progi'ession arithmétique se réduiront aux quantités entières
et les termes cori'esj)ondants de la pi'ogression géométrique seroni
Mors aussi, n étant l'un quelconque des termes de la progressiuii antlimétique, le terme correspondant de la progression géométrique sera ce que Ion nomme la puissance entière de a, du degré marqué par l'exposant n. et ce que l'on désigne par la notation a". Cela |)osé, on aura non-seulement
mais encore
,4) •••, a' = A, A- = AA. A^ = AAA. ....
et
l'n vertu des formules (4) et (5), si « est positif et représente en conséipience un nomhre entier, la «'^'"^ puissance de A. représentée par la notation A", ne sera autre chose que le produit de n facteui-s égaux à a. et Ton aiua, de plus.
Ajoutons que, si m, n représentent deux quantités entières quelconques,
Ex. d'An, et A- Phxs. math., T. IV 42"^ luT ; 1.S
( 194 ) "Il ;iiii;i, en vertu du troisième théorème,
DolU' le rapport géométrique de deux puissances entières de \ est enconune puissance entière dont l'exposant se réduit au rapport arithmétique des exposants des deux premières.
Su[)posoiis maintenant que, n étant un nombre entier quelconque, on choisisse le nombre a de manière à vérifier l'équation
alois a sera ce que l'on nomme la racine n'""^ de A, et ce que l'on représente par la notation y \- Posons d'ailleurs, pour abréger.
et concevons quauv progressions (i), (2) on substitue les suivantes : (^8) ..-, —3a, —2a, —a, o, a, na, 3a, ...,
Les tenues (10) .... — 3mo'., — 2/.'a, — «a, a, «a, ina. "Sua. ...
de la jirogi-ession (8) se réduiront évidemment à ceux cpii composent la progression (i), et les termes correspondants de la progi-ession (9) à ceux qui composent la progression (2), c'est-à-dire aux puissances entières de .\. On a été conduit, par cette remarque, à générali.ser la notion des |)uissances des nombres, en l'étendant au cas où les degrés de ces puissances cessent d'être des quantités entières; et à dire qu'un terme quelconque de la progression (9) est la puissance de a du degré marqué par le terme coirespondant de la progression (8). D'ailleurs, y étant im terme quelconque de la progression (8), on est convenu d'indiquer encore, à l'aide de la notation A% la puissance de A du degré marqué par 1 exposant v. Cela posé, comme l'exposant de a dans un terme de la progression (g) est le produit
du terme correspondant de la progression (8), par le nombre entier n = -■
on aura toujoui's
On tr(Mivei;i, p;it exemple, en posant v = -•
jmis, en désignant par i?i un entier quelconque, distinct de n,
ni / " \
M 3; A"=a'"=(vÂj,
el
nt
ri ri rr
r; di
Viusi, les puissances de A, des degrés marqués pai- les exposants -, —5
ne seront autre cliose que la racine ji"'""' de a, la /«""'"" puissance de cette acine, et le nombre inverse de cette puissance. De plus, a" étant le j)rolit de ?i facteurs égaux a a, il est clair c[ue a"" représentera le produit de inn tacteiu-s égaux à a, par conséquent le produit de m facteurs égaux
a a" = a, ou bien encore le produit de n factein's égaux à a'" ^= a". IJoik-, par suite, on aura
"loue, si l'on pose
DU aura encore
en sorte que les équations 1 i6j, (17) fourniionl loujotus l;t même valeur pour le nombre B. Enfui, en désignant par p., v deux quelconques (\e.< termes de la progression (8), on aura, en vertu du troisième théorème,
ou, ce (jui revient au même.
Comme on peut, sans changer la valeur d'une (ractiou. midtiplier ses
( '96 ) deux tenues par un même iactear, il en résulte qii un nombre fraction naiie (juelcouque a jteut être présenté sous diverses formes. Mais on (h'iuontre aisément qu'à ces diverses formes répond une seule valeur de a'-
Kn effet, soient m, u les nombres entiers dont le rapport géométrique i-eprésente le nombre fractionnaire [x réduit à sa plus simple expression, i^es fractions équivalentes au i-apport — seront de la forme — i k pouvant être un nombre entiei- c[uelconque. D'ailleurs, si l'on pose
on en conclura, connue ci-dessus,
r." = A'", puis, en é]e\ant les deux membres à la puissance entière du degi'é k ..
ou, ce qui revient au même.
On aura donc
Ajoutons que de l'éqtiation ^19) on tirera
ou, ce qui revient au même,
Im ni
Or, il suit immédiatement des formules ( 19) el (20), qu'à un exposant fractionnaire fji, ])Ositif ou même négatif, correspond toujours tnie seide valeur de a". Ajoutons qu'en vertu de la formule (18), le rapport géométrique de deux puissances fractionnaires de A est encore une puissance fractionnaire dont l'exposant se réduit au rapport arithmétique des exposants des deux premières.
Il suit évidemment de la fornnde (7), que la raison A de la progression (2), et la raison a de la progression (g), sont toutes deux supérieiu'es ou toutes deux inférieures à l'unité. Les deux progressions sont croissantes
- . hm
Ini
j^Tir
km
( '97 ) dans le premier cas, décroissantes dans le second; par consécjuent , les puissances entières et jractionnaires d'un nombre donné a croissent ou décroissent pour des valeurs croissantes de V exposant, suivant (jue ce nombre est supérieur ou injérieur à l'unité.
Concevons maintenant que, dans la formule (7), le nombre n devienne de plus en plus grand. Il est aisé de voir que la valeur de a. déterminée par cette formide, s approchera indéfiniment de l'unité.
En eftét, \\ suit de cette formule même, 1° que les deux nombres <i, a seront tous deux supérieiu's ou tous deux inférieurs à l'unité; 1° que l'on aura
(21) iZLi = *!zil =: I +a ^- a- + ... -f-a"-'.
De plus, on tirera de la formule (2 1^, i°en supposant a > i. et. par suite. :l > I.
par conséquent ,
et
1° en supposant a < i. et. par suite, a < i ,
par conséquent ,
et • ■ *
Or, \\ résulte évidemment de la formule '23) ou (2.5), que le nombre a s'approchera indéfiniment de l'unité, si , en attribuant au nombre a une valeiu- constante, on fait croître indéfiniment le nombre entier n.
.Soit maintenant b un nombre quelconque, entier ou fi'actionnaire, ou même irrationnel. Si ce nombre n'est pas un des termes de la progiession (9). il sera du moins compris entre deux termes consécutifs
( 'QB) que l'on pourra aussi présenter sous les formes
et qiu pourront être censés exprimer deux valeurs appiochées du nombre h. D'ailleurs, n venant à croître indéfiniment, le rapport
el , à plus forte raison, le lapport
se rap|)rocherout indéfiniment de lunité. Donc alors a'" convergera \ers une limite égale à b. Mais, si Ion appelle p. la limite vers laquelle convergera, dans la même hypothèse, le produit la, on devra naturellement représenter, parla notation a'', la limite vers lacpielle convergera la puissance fiactionnaire a'". Donc, en adoptant cette dernière convention, on auia
Un pourra donc alors représenter un nombre c[uelconque b par une expression de la forme a'', [j. étant luie quantité positive ou négative, entière ou fractionnaire, ou même irrationnelle. Ajoutons que, si la valeuiimmérique de p. est irrationnelle, la progi'ession (9) ne renfermera jamais le nombre b ou a", mais seulement des valeurs approchées de ce nombre. Dans le même cas, a" sera ce qu'on nomme une puissance irrationnelle de A. Le degré ou V exposant de cette puissance sera la quantité irrationnelle a.
Remarquons, enfin, que l'équation (18), qui subsiste pour des valeurs fractionnaires (]uelconques des exposants p et v, continuera nécessairement de subsister, si ces exposants, après sêtre approchés indéfiniment de certaines limites irrationnelles, atteignent ces mêmes limites. On peut donc étendre la formule
an cas ou les exposants p, , v deviennent irrationnels, et, en conséquence, on peut énoncer la proposition suivante.
4*^ Thcorètne. T^e rappoi-t géométrique entre deux puissances c{uelcou- (pies dun nombre donné A est encore une puissance de a dont lexposant se réduit au rapport arithmétique des exposants des deux premières.
( '99 ) L'équation (26) peut encore être présentée sous une autre forme, qu il <'st bon de rappeler, et qu'on obtient eu expiiniant la différence y. — v par inie seule lettre. En effet, si l'on pose
et si d'ailleurs on substitue à la lettre v la lettre j^. on aura ij. ^= .x -\- r. et l'équation (^26) réduite à la formule
Alors aussi, à la pl.ice du quatrième théorème, on en obtiendra un :iulre qui, au fond, sera le même, et s'énoncera comme il suit.
5*" Théorème. Le produit de deux puissances quelconques d'un nombre donné a est encore une puissance de A ciui a pour exposant le produit des deux premières.
Le théorème 4 ou 5 exprime la propriété la plus remarquable des puissances d'un nombre, et même cette propriété suffit poiu- les caractéiiser. en sorte qu'on peut énoncer la proposition suivante.
6* Théorème. Supposons que, x étant une quantité quelconque positive ou négative, on se serve de la notation [a:] pour désigner une autie quantité qui varie avec x par degrés insensibles. Si Ion a. potu- des valeurs quelconques des quantités x, j\
on ain-a aussi
(29) w = [ir-
Démonstration. ( )ii (ircra successivement de la formule (^5), en désignant par or, j. z,.... Il, V. tv, des quantités quelconques
et. généralement , V
i-^l [jl[zi •■•["] h'] ['*'j = [x ^ y ^ z. -h ... + u-^ V + w\: puis, en désignant par n le nombre des quantités x, j, z, .... u. v, w. et supposant toutes ces quantités égales entre elles,
{3o;) -* \x]" = \7ix].
D'ailleurs, on tirera de l'équation (3o), i" en posant x = j.
2° en posant a: = - ; et , par conséquent ,
^° en désignant par m un nombre entier distinct de n , et posant .r = — ,
par conséquent , eu égard à la fornude (Sa),
puis, en faisant varier h. traction — de manière à ce qu elle s'approcVie indéfiniment d'un nombre donné v, on tirera de la formule (33),
On trouvera, en particulier, en posant v ^ o, dans la fornnile (3/j),
Enfin, en posant dans la formule (28)
X = V, 7' = — V, on en tirera
par conséquent,
et il résulte évidemment des formules (34), (36), que si l'on attribue à x une valeur réelle quelconque ± v, on aura
Quelques Théorèmes concernant les moyennes (triihmétiqncs et géométriques, les progressions, etc.
§ I. — iVntinns relatives aux moyennes arit/inietïqius et gcoinétriqùes.
I.;i moyenne arithmétique entre n quantités données est la n"""" partie de leur somme.
La moyenne géométrique entre n nfjiiibres donnés est la n"'"'^ racine de leur produit.
D'autre part, la soinine de n quantités est évidemment comprise entre le.'' produits qu'on obtient quand on multiplie par n la plus petite et la plus grande de ces quantités.
Pareillement, le produit de n nombres est compris entre les n"''"''' puissances du plus petit el du plus a^rand de ces nombres.
Donc, par suite, la moyenne arithmétique entre plusieurs quantités est toujours renfermée entre la plus petite et la plus grande de ces (/nanti tés.
Pareillement, la moyenne géométrique entre plusieurs nombres est toujours renfermée entre le plus petit et le plus grand rie ces nombres.
En partant de ces principes, on établira divers théorèmes d'algèbre qui seront successivement énoncés dans les paragraphes suivants.
§ H. — Sur lis progressions gcoinétriquis , et sur les moyennes aritlimétii/ucs entre
leurs termes.
Considérons d abord une jjroi^ression géométrique dont le premier (eiine soit limité, et dont la raison /■ soit luie quantité positive quelconque. Les divers termes, dont nous supposerons le nombre repré.senté p.ir la lettre n, seront respectivement
Ex. d'An, n ,h Ph mnih.. T. I \'. -53'' livr.)
'f. si loi) désigne par s„\a somme de ces termes, on aura
D'aiJIeiUb, le plus petit el le plus t;rand des termes dont il s'agit seront les deux termes extrêmes
Donc, en vertu des principes exposés dans le § I", la somme S„ sera comprise entre les produits qu'on obtient, quand on multiplie ces deux termes par ;/, et l'on pourra énoncei- la proposition suivante : r"^ Théorème. La somme
des n termes de la progression géométrique
i. r, ;•%..., /"-' est comprise entre les limites
Il et iir"~' .
Nous avons ici supposé que le premier terme de la progression géométrique donnée était l'unité. Supposons maintenant que ce premier terme soit une quantité quelconque A', la raison étant toujours positive et représentée par r. hes divers termes de la progression deviendront
A, Av, Ar%..., Ar"-',
t't leur sonune que je représenterai par S„ sera évidemment égale a A,v„. l'A\e sera donc comprise entre les limites «A, jikr"^', et à la place du i^' théolème, on obtiendra la proposition suivante ;
■3." Théorème, r étant un nombre quelconque, et A une quantité quelconque positive ou négative, la somme
(les II termes de la progression géométrique
A, /fr, kr ',..., Ar"-', est comprise entre les limites
?i/<, 7ihr"-'.
Si l'on divise la somme S„ des termes de la progression géométrique don-
lire par leur noiiihiT n, ou obtiendra la iiiouMine aiitliiuétiqiie eiiti-e témêmes termes. En vertu du deuxième théorème, cette niovenne aritlunéliqne. que je désignerai par i?„, et que détermine la formule
-vera comprise entre les deux termes extrêmes
de la progression géométrique. Si Ion sup[)ose, en paiticulier, /.. = i , oi; auia i»'„ =: .y,,, par consécpient,
iHi, ce qui revieiU au même,
. , „ I + /■ -)- r ' -I- . . . -(- r"-' I i — /■" 1) ti„^^ — ■ = 1
el la (piantité /?„. cest-à-tlire la moyenne arithmétitpie eiUre les divers lermes de la progression géométrique
sera comprise entre les termes extrêmes
La moyenne arithmétique /i„ , déterminée par l.i Fornude 12 , possède encore une propriété remarquable dont l'énoncé fournit le (liéoreme sui- \ant :
3' Théorème. Si le nombre entier n vient à croître, la moveniie arilhmélique
n \ — .entre les divei's termes de la progression géoméfi'ique
croîtra ou décroîtra suivant que la raison r sera supériein-e ou inférieure .1 l'unité.
Démonstration. Soit
m ^= Il -i- l
un nombre entier supérieur a n, en sorte que / soil j)osili(. On aura nmi-
seuienieiit
mais encore
on. ce cjui revient an même,
]>ar conséquent,
OU, ce qui revient au même, !;i valeur de A <Hiu\\
Or, l'unité étant inférieure aux puissances positives et supérieure aii\ puissances négatives de r, quand on a r > i, il est clair que, dans cette hypothèse, les deux moyennes arithmétiques dont la différence équivaut à A en vertu de la formule (4), seront, la première supérieure, la seconde inférieure à 1 unité. On aura donc alors
A > o, et, par suite, R„+, > i?„.
Mais le contraire aura lieu, si Ion suppose /' < i . et, dans ce dernier cas. les formules f4) et (3) donnent
A < o. par conséquent, R„+/ < R„.
§111. — Sur- lus jiiogiessiorts arithmétiques, et sur les iiioyeruies gcométiiques entre leurs termes.
Considérons maintenant une progression arithmétique dont tous les termes soient positifs. Si l'on nomme « le premier terme, h la raison, ii le nombre des termes, ceux-ci seront respectivement
a, a^b,..., a -h {n — ■2)b, a ~- {n — i) h; et, en nommant P„ le produit de tous ces termes.- on aura
,1 P„ — nia + b'^ ...[a + {n — ->-) b] [n -f- {n — i) b].
ao
D'aiileurs le plus petit et le plus grand des termes dont il s agit seront les (leu\ termes extrêmes
llonc, en vertu des principes exposés dans le § \", le produit P„ sera compris entre les n'""'"' puissances de ces deux termes, et Ion pourra énoncer la proposition suivante :
i" Théorème. Le produit P„ des n termes de la progression arithmétique
a. (i -\- h. ... , n'-r^ [n — a)/;, a -f- [n — i) J>, supposés tous positifs, est compris entre les limites
Vu reste, ou peut obtenir deux limites plus rapprochées qui compreuueni entre elles le produit P„ en suivant la marche que je vais indiquer.
Je remarquerai d'abord que, si Ton désigne la somme de deux nondjres par A, et leiu- différence par Z, ces deux nombres auront pour valeiu-s respectives les deux expressions
et pour produit l'expression
qui décroit sans cesse poiu- des valeiu-s croissantes de /. (.'.e produit sera donc inférieur ou tout au plus égal à I - ) , c'est-à-dire au carré de la demisomme des deux nombres, et deviendra le plus petit possible, tpiand la différence / sera la plus grande possible.
Cela posé, concevons que 1 ou multiplie le produit P„ par lui-même, après avoir renversé l'ordre des facteurs. Le carré P\ ainsi obtenu pourra être considéré comme le produit de n facteurs, dont chacun serait fourni par la multiplication de deux termes placés à égales distances des extrêmes dans la progression
c'est-à-diré par la multiplication de deux termes de la forme n -^ nib. a -H (n — m — i) l),
m étant uu nombre entier égal ou inférieur à n. D'ailleurs, d'après la re-
marque faite tout à l'heure, le produit de deux semblables termes sera toujours inférieur nu carré de leur demi-somme
et toujours égal ou supérieur au produit des termes extrêmes
Donc, par suite, PI sera compris entre les limites inférieure et supérieure
et le produit P„ lui-même entre les racines carrées de ces limites. On pourra donc énoncer encore la proposition suivante :
0." Théorème. Le produit P„ des termes de la progression arithmétique
n, n-hb,..., [a-\-ti — i)b, n-{-[n — \)h,
supposés fous positifs, est compris entre les limites inférieure et supérieure 'I 11
^■[a^[n-^)bf, (a^'-^h)"-
Corollaire i". Si l'on suppose a et /; réduits à l'unité, on conclura du deuxième théorème que le produit
est compris entre les limites inférieure et supérieure
Corollaire -2". Si l'on suppose
rt = I et A =: 5
m étant un nombre entier égal ou supérieiu- à n, on conclura du deuxième théorème que le produit
(i-i) (, ii')...(x-:i^)
\ n? ' \ ni I \ m J
est compris entre les limites inférieure et supérieure
/ « — 1\^ f II — r "
On aura donc
D.iutre part, si l'on pose
n étant égal ou inférieur a /». le nombre r sera inféi'ieur a l'unite. Un Mura, j)ar suite, en vertu du théorème i"du §11, ♦
on même, si n est un nond^re pair
= on < '^ ,
Il y a plus : si 11 est un nombre impaii' supériein- a l'unité, on aura nécessairement 7? > 2 , et le troisième théorème du §11 doiniera. pour /■ < 1 .
par conséquent ,
\nu<, en remplaçant dans cette dernière formule r par ;-, on trou\era
l')onc, si n désigne l'un quelconque des nombres entiers supérieins a 1 unité, la fornnile (3), que l'on peut encore écrire comme il suit,
(4) ' '■''= ou > 1 — ^(i-r) ■ ■
subsistera généralement poin /" < i • Elle subsistera donc alors poui
de sorte qu on aura
it
(Oj (l ) = OU >1 ^ '-■
Or, des tormules(a) et (5) réunies, on déduit immédiatement la proiiosilioii suivante.
3*^ Théorème, m, n étant deux nombres entiei's dont le second n surpasse l'unité, en demeurant inférieur à 7?z + i , le produit
(les fi termes de la progression arithmétique
ne pourra s'abaisser au-dessous de la limite inférieure
qu'il atteindra seulement dans le cas particulier ou l'on aura 7i = a.
Si 1 on extrait la racine ?i'^""' du produit P„ déterminé par la formide ^i j on obtiendra la moyenne géométrique entre les divers termes fie la' progression arithmétique
En nommant /f„ cette moyenne géométrique, on déduira immédiatement du tliéorème a la proposition suivante : 4'' Théorème. La moyenne géométrique
J,^ =z[a{a --h b]. . . {a -+-{n — i) b)]" entre les teimes de la progression arithmétique
supposés tous positifs, est comprise entre les limites inférieure et supéiieure
Si l'on suppose a et b réduits à liinité, alors, a la |)lace du quatrième (liéoreme. on obtiendra la proposition suivante : S'' Théorème. La moyenne géométrique
\i.i.3...r?f entre les nombres entiers
est comprise enlre les limites intérieui'e et supérieure
§ I\ . — ConstiiH) rues diverses ilts principes étnlilis duiis les parns,niiilies iiricrdtiil^.
On peut, (les principes établis dans les paragraphes précédents, déduire diverses conséquences cjui méritent d'être remarquées. Ainsi, en |)ailicniier, si. en désignant pai- /un nombre quelcontpie. tt |)ar // nii nomlne entier. Ion pr)se
Il I — r
si, (i ailleurs, ou nomiiie m un autre enliei- inléneui' a n. alor>. eu \crlu du troisième théorème du ^ II, on ain'a, pour /■ < i .
Rn < Rin •
ou. ce (pii rexieni au même,
e(, pour A' > I .
OU, ce qui revient au même,
Comme on aura d'ailleurs, tians lun ou l'autre cas.
R„ m I — r '• m r" — i R^ n I — r'" ' Il r" — i
on devra conclure que, si n surpasse ni, ou aura, |)oui' ;■ < i
^ ^ I — r tn
*'(, pour r > I ,
r"' — I tu
Si. mainteuant, on renq)lace, dans les formules (i) et (2), /■ par /'", ces (ormules seront réduites, la preiihère à
I — r II
Ix.tlAn Ci dt. i*h)*. Train., T IV, ('55'' li-r.
