X -+- ci, jc — ;i

On peut observer qu'en vertu de la fornude identique

{\x^ -+- \x- — i) {s,x- — \x- — i) = I, on .uu'a

\ {\x- ~ \x- — i) -4-1 [s^x- — \x- — i) = o, on, ce qui revient au même.

1 {\x- — \x- — i) — —\ {^jc- + \x- — i), et qu'en conséquence la formule (i3) peut s'écrire comme il suit

(i/j) arc sin x =arc sin -t- -^ ±: i 1 (y J:"' -f- \x- — !)•

J'avais déjà remarqué, dans la onzième leçon de mon Calcul différentiel [page 19,6], qu'en supposant

jr- > I. j = o, on réduit, dans la valeur de

arc sin [x ^ j^ \ — 1 ) :

Ex. d'An, rc do Ph. math.. T. tV. .-ÎO* livr.l 38

( 298 ) la partie réelle à

arc sin -— : ,

et le coefficient de y — ' à la quantité

qui, à cause du double signe, cesse d'être complètement déterminée. Cette cil-constance m'avait alors engagé à m'absteiiir d'empiojer la notation arc sin x, dans le cas où, x étant réel, on a x^ > i . M. Bjorling a eu raison de croire qu'il ne fallait pas se laisser arrêter par cette considération. En adoptant, sur ce point, l'opinion qu'il a émise, et qui d'ailleurs est conforme au principe rappelé en tète de ce paragraphe, on obtient immédiatement une équation qui se réduit à la formule (i4), quand on y pose v — i = i.

Si, «n supposant^ = o, on attribuait à x une valeur infinie, on tirerait de la formule (i4), pour jt = oo ,

(l5) arc sin ( oc ) = - ±: i 1 { ce ),

et pour X =z — 00 ,

{x6 ) arc sin ( — oo) = — -±il(Go).

Enfin, si, en sup])osant j distinct de zéro, on attribuait à chacune des variables x, j ou à une seule d'entre elles, une valeur infinie positive ou négative, alors dans la formule (lo) on aurait encore 1 (?f + i') = ±:1(go) ;

mais le rapport - conserverait une.valeur finie qui coïnciderait avec celle du rapport

et dépendrait, en conséquence, du rapport -» son signe étant le même

que le signe de x.

Les valeurs singulières de la fonction arc sin z étant connues, on obtiendra celles de la fonction arc cos s à l'aide de la formule

arc cos z ^ arc sin ;:;,

puis, celles de arc séc z et arc coséc z à l'aide des formules

arc sec z- = arc cos -. arc cosec z = arc sm -•

Sur tes divers arcs qui ont pour sinus ou cosinus, pour tangente ou cotangente, pour sécante ou cosécante une quantité géométrifpie donnée.

Soit z une quantité géométrique liée aux quantités algébriques x, y par la formule

D'après ce qui a été dit dans l'article précédent, a une valeur donnée de z correspondra généralement une \aîeur unique et finie Z de l'une quelconque des fonctions de 2 représentées par les notations

arc sin ï, arc cos z-, arc tang r, arccotz, aie séc r-, arccusécz;

et, de plus, ces fonctions pourront être considérées comme inverses de celles que représentent les notations

siu s, cos I, tangz, cot z, séc z, coséc z,

en soîte que la valeur trouvée Z exprimera une racine de I luie des équations

sin Z = z, cos Z = s, tang Z = z. cot Z = c, séc Z, := z, coséc Z = r.

Mais, évidemment, chacune de ces dernières équations admettra, outre la racine Z, une infinité d'autres racines parmi lesquelles on devra ranger les divers termes de la progression arithmétique

... Z — /jT'i Z— 271, Z, Z-^27:, Z-|-4~!---r

indélinunent prolongée dans les deux sens. Nous nous proposons ici tic rechercher toutes les racines de chacune des équations dont il s'agit. En d'autres termes, nous nous proposons de trouver tous les arcs qui ont pour sinus ou cosinus, pour tangente ou cotangente, pour sécante ou cosécante

( 3oo )

une yaleur donnée de z. On y panient sans peine en commençant, ainsi qu'on va le faire, par la recherche des arcs dont le sinus s'évanouit.

§ I. — Sur les diverses racines des équations sin Ç = o, cos Ç = o.

En désignant par la lettre n le rapport de l'a circonférence au diamètre, et par -la lettre /t une quantité entière, positive, nulle ou négative, on a généralement

sin An = o ;

par conséquent l'équation

(i) sin Ç = o

a pour racine l'nne quelconque des valeurs de Ç, comprises dans la fornude

(2) Ç + A-Tt,

c'est-à-dire l'un quelconque des divers termes fie la progression géométrique

indéfiniment prolongée dans les deux sens. J'ajoute que ces divers termes sont les seules valeurs algébiiques ou même géométriques de Ç, qui soient propres à vérifier l'équation (i). Effectivement, comme on a

SUl Ç = : ■<

l'équation (i) donnera

e =e , ou, ce qui revient au même,

Donc, en vertu de l'équation (i), le produit 2 Ci devra se réduire à l'un quelconque des logarithmes népériens de l'unité. Mais on a vu (page 249) que les divers logarithmes népériens de l'iuiité se réduisent aux diverses valeurs du produit

2/f7ri,

k étant une quantité entière. Donc l'équation (1) donnera

( 3oi ) k étant une quantité entière ; et, par suite,

Si à l'équation (i) on substituait la suivante, (3) cos Ç ^ o,

il suffirait, pour résoudre cette dernitre, d observer que i f)n a généraletnent

cos

Ç=sin(J-ç)=-sm(r-^)-

tn conséquence, les diverses valeurs de Ç, propres à vérifier l'équation (i,, seront encore celles qui vérifieront la formule

(4j sin [-Ç -~\ = o.

Or ces diverses valeiu's de | seront données par la tormule

'C — - = k-, »le la(|iielle on tire (5) : Ç = An4-^,

À" étant inie quantité entière quelconque.

§ II. — Sur li'S diverses racines des équatinits sin o = ", l'oS X.- i= ;.

.Supposons maintenant que, z étant une quantité géométriquequelconqne. l'on (leiTiande les diverses i-acines de l'équation

(i) sin i = z.

L'une de ces racines sera précisément la fonction Z de :; représentée par arc sin z, de sorte qu'en posant

Z = arc sin z, on aura

sin Z = z.

Donc l'équation (t) pourra être présentée sous la forme

sin & ^ sin Z,

ou, ce qui revient au même, sous la forme

sin fe — sin Z = o.

D'ailleurs, en vertu de la seconde fies formules (44) ^^ 1» P^ige 278, on aura

. „ . jô — Z r- -»- 2

sin fe — sin Z = 2 sin cos

Donc l'équation (i) donnera

sm cos = o?

et, pour ia vérifier, il faudra supposer ou

( 2 I sin = o.

(3) cos ^^ = o.

Mais, en vertu des principes établis dans le § I^% les diverses valeurs de t-, propres à vérifier les équations (2) et (3), seront données par les deux formules

= A-7T, = kv. + -.

ou, ce qui revient au uiëme, par les deux formules

(4) i = Z -4- 2 A-rr,

k étant une quantité entière quelconque. Donc les diverses racines de 1 équation (i) seront précisément les valeurs de o fournies par les équations (4) et (5), que l'on peut encore écrire comme il suit :

(6) i = 2A- + arc sin z, (■7) Sb = (2^7: +1) 7:' — arc sin 2.

En raisonnant de la même manière, et en ayant égard à la seconde des formules (43) de la page 278, on reconnaîtra que l'équation

( 8 ) cos & = :;

a pour racine, non-seulement la quantité géométrique Z, déterminée par

( 3o3 ) ia lorinule

Z = arc cos i:,

mais encore les diverses valeurs de 2;, propres a véritier les deux équatioiis

(9) si'î ^^^^ = o.

(10) sin l-l!l£ = o,

c'est-à-dire les diverses valeurs de îb comprises dans les deux formules

(la) i = 2Â::r-Z,

ou, ce qui revient au même, dans les deux formules

(i3) i =: 2A';r -I- arc cos z,

(i4) S; = 2A7: — arc cos z,

/. étant une quantité entière quelconque. On arriverait aussi à la même conclusion en observant que pour résoudre l'équation (8) il suffit de

résoudre Péquation (i), après y avoir écrit - — ji à la place de la lettre - ^ III . — Sur les diverses racines des équations tang & =: z , cot î =r ;

Supposons maintenant que, z étant une quantité géométrique (pielconque, l'on demande les diverses racines de l'équation

(i) tang % = z.

L'une de ces racines sera précisément la fonction Z de s représentée par arc tang z, de sorte qu'en posant

Z = arc tang z,

on aura

tang Z = z.

Donc l'équation (i) pourra être présentée sous la forme

tang i = tang Z,

( 3o4 ) ou, ce qui revieut au même, sous la forme . ' »

tang i- — tang Z =o.

Mais OH aura d'ailleurs

sin X- sin 2 sin(2>— Z)

tane --■ — tane Z = r- — — ^j = — r ?

^ "^ cos X- cos 7. cos t- cos 7.

par conséquent

taiig % — tang Z = sin (^ — Z) séc 51- séc Z. Donc l'équation (i) donnera

sin (X — Z) séc & sec Z = o, et, |)Our la vérifier, il faudra supposer ou (2) sin (5ô — Z) = o

ou ( 3 ) séc X séc Z =: o.

Mais, en vertu des principes établis dans le § I", les diverses valeurs de ï-, propres à vérifier l'équation (2), seront données par la formule

^ ou, ce cjui revient au même, par la formule

& = Z -f- A'rr,

que Ion poiuia encore écrire comme il suit,

'4) ~ =r arc tang z -\- kr..

h étant une quantité entière quelconque.

(^uant à l'équation (3), elle ne pourra se vérifier (|ue si l'on a

( 5 ) séc Z = o

(6) * séc % = 0.

Mais d'autre part, en vertu de la formule (10) de l'avant-deriiier article, on aura

séc^ Z=: I + tang^ Z =; i 4- z" et

séc" S; = I + tang- 5b = i -i- z=.

Donc l'équation ( '>) on (6 ne pourra se vérifier que dans le cas où l'on aui;i

I + z^ = o, î>ii, ce qui revient au même,

et, par suite,

D'ailleurs, dans ce ilernier cas, l'équation (i), réduite à la forme

lang & = ± i, donnera

tang- S> =: — I , ou, ce qui revient au même,

séc* i = o ;

elle entraînera donc la formule (6), que Ton pourra écrire comme il suit :

(8) cosi- = i.

II \ a plus : comme ou a

COS Jo =: •

l'équation (8) donnera

et, comme a une valeur finie de l'exposant ~-i correspond toujours une valeur finie de chacune tles exponentielles

il est clair qu'on ne pourra satisfaire à la formule (9) en attribuant ;i i;i quantité géométrique i une valeur finie. Donc, dans le cas dont il s a^it. les diverses racines de l'équation (1) deviendront infinies, y compris celle que nous avons désignée par arc tang z. Cette conclusion s'accoide avec les résultats obtenus dans le dt^rnier paragraphe de l'article précédent. C>ti doit même remarquer que, dans le cas où l'on a r- = ± 1, la vaieui dv arc tang r, devenue tout à la lois indéfinie et indéterminée, est une valentsingulière, déterminée par la formule (Zj) ou (.^) de la page 295.

En définitive, si on laisse de côté le cas oii l'on a s = ± i. et ou les diverses racines de récpuition (i) deviennent infinies, les valeurs de ces diverses racines seront toutes fournies par l'équation (4)-

i>, d.\n. tt dr l-h. math., T. I\ . ( -iC' livr.) 3g

Si l'équation (i) était remplacée par la suivante, (lo) COt i = z,

on pourrait présenter cette dernière sous la tonne

(il) tang5b = ^;

et de ce qui vient d'être dit, l'on conclurait immédiatement que les diverses racines de l'équation (i i) sont, en général, les diverses valeurs de i données par la formule

S, =: arc tang - -h kr:,

ou, ce qui revient au même, par la formule

(12) i =: arc cot z + kn.

Toutefois, cette formule cesse d'être applicable dans le cas où l'on a z= ± i, et où les diverses racines de l'équation (i i) deviennent infinies.

§ IV. — Sur les diverses racines des équations séc % = z, cosec % = z.

Après avoir obtenu, par la méthode exposée dans le § II, les diverses racines des équations

sin 5î) = z, cos 2) ^ z,

on obtiendra sans peine les diverses racines des équations

(t) COSéc % =: z,

(2) sécîû = z,

en présentant ces dernières équations sous les formes

sin Ji = -, cos %> = -■

On reconnaîtra ainsi que les diverses racines de l'équation (1) sont données par les deux formules

(3) ■ % ■=■ ikn + arc coséc z,

(4) 2> = (aA- -H i) ;t — arc coséc-z,

et les diverses racines de l'équation (2) par les deux formules

(5) 5b = 2 An H- arc séc z,

(6) 5i = îAtt — arc séc z.

§ V. — Résumé.

Soir ï: une quantité géométrique propre à vérifier, comme racine, l'une des équations

sin5i = z-, cos i = 2, tang & = z-, cot& = r, séc i = z, coséc5:- = z;

et nommons Z celle des valeurs de i- qui se trouve représentée ])ar l'iuie des notations

arc sin z, aie cos z, arc tang z, arc cot z, arc séc z, arc coséc z.

Les diverses valeurs de i, ou, en d'autres termes, les diverses racines de l'équation proposée, seront en nombre infini et de deux espèces. Les unes seront toujours données par la formule

A- désignant une quantité entière, positive, nulle ou négative : et, pour déduire de celles-ci les autres racines, il suffira généralement de remplacer, dans le second membre de la formule (i), la quantité Z par la quantité — Z, s'il s'agit de résoudre l'une ties équations

(2) cos Sj = z, coséc S) = z;

par la quantité tî — Z, s il s'agit de résoudre l'une des équations

(3) sin i = z, coséc i = 2 ;

enfin, par la quantité - + Z, s'il s'agit de vérifier l'une des équations

(4) tang i = z, cot5a = z.

Cela posé, les racuies cherchées, ou, en d'autres termes, les diverses valeurs de % seront fournies, dans le premier cas, par la formule

(5j -U — ikT. + Z,

dans le second cas, pai- la formule

et, dans le troisième cas, par la fornuile

(7) ^ = kn -h Z,

la quantité k étant ici substituée à l'une des quantités entières 2 A', 2 A: + i . Ajoutons que, dans le cas particulier où l'on a z =: zh i, les diverses racines deviennent infinies, ce qui rend illusoire la formule (7).

Sur les fonctions des quantités géométriques .

LorsquVii adoptant les principes établis dans les articles précédents, on substitue aux expressions iinaginaines les quantités géométriques , les variables imaginaires ne sont autre chose que des quantités géométriques variables. Reste à savoir comment doivent être définies les fonctions de variables imaginaires. Cette dernière question a souvent embarrassé les géomètres; mais toute difficulté disparaît, lorsqu'en se laissant guider par l'analogie, on étend aux fonctions de quantités géométriques les définitions généralement adoptées pour les fonctions de quantités algébriques. On arrive ainsi à des conclusions singulières au premier abord, et néanmoins très-légitimes, que j'indiquerai en peu de mots.

Deux variables réelles, ou, en d'autres termes, deux quantités algébriques variables sont dites fonctions l'une de l'autre, quand elles varient simultanément, de telle sorte que la valeur de l'une détermine la valeur de l'autre. Si les deux variables sont censées représenter les abscisses de deux points assujettis à se niouvoir sur une même droite, la position de l'un de ces points déterminera la position de l'autre, et réciproquement.

Soit, maintenant, z une quantité géométrique qui représente Vaffixc d'un point A assujetti à se mouvoir dans un certain plan (page 216). Nommons /■ le module^ et p Y arguincut de la quantité géométrique z, c'est-à-dire le rayon vecteur mené, dans le plan dont il s'agit, d'une origine fixe O au point mobile A, et l'angle polaire formé par ce rayon vecteur avec un axe polaire OX. Soient, enfin, x, j les coordonnées rectangulaires du point A, mesurées à partir de l'origine O sur l'axe polaire OX, et sur un axe perpendiculaire OY. Non-seulement on aura

/cosp,

/Slll

mais.

plus.

posant

( 3o9 ) un trouvera (page 216)

Pareillement, si l'on nomme

Z l'aftixe d'un point mobile B ;

/?, P le module et l'argument de Z, ou, ce qiu revient au même, les coordonnées polaires du point B;

A', K les coordonnées rectangulaires du même point, ou aura non-seulement

mais encore

4) Z^X^Vi.

Cela posé, si, connue on doit naturellement le (aire, on étend aux fonctions de quantités géométriques variables les définitions généralement .idoptées pour les fonctions de quantités algébriques, Z devra être ci^nséjoiiclion de r, lorsc^ue la valeur de z déterminera la valeur de /. Or, il suffira pour cela que X et J' soient des fonctions déterminées de a et j. Alors aussi la position du })ouit mobile A déterinuiera toujours la position du pouit mobile B.

Les propriétés cpie possède une fonction peuvent être de deux espèce-, différentes. En effet, ces jjropriétés peuvent subsister pour des \aleurs ([uelconques de la varial)le dont cette fonction dépeiul. Mais il j)eut arrixe; aussi que certaines propriétés subsistent seulement pour certaines valeurs de la variable, par exemple s'il s'agit d'une variable réelle x-, pour les valeurs de X comprises entre deux limites données a. '>. et, s il s agit d une \ariable imaginaire z, [)our toutes les valeurs de z propres à représenter les attises de points renfermés dans une certaine aire plane 5 que limite un certain contour.

Les propriétés des fondions étant généralement exprimées par des équations ou par des formules, il suit de ce qu'on vient de dire que certaines équations ou formules subsistent seulement entre certaines limites. Cette conclusion s'accorde avec une remarque sur laquelle j'ai insisté dans mon Jtialjse algpbrique (Introduction, page iij), savoir, que la plupart des formules algcbibiues subsistent uniquement sous certaines confirions et pour certaines valeurs des quantités qu'elles rer^erment. Ainsi, par exemple, z = r,, étant une quantité géométrique variable, ou. en d'autres termes, une

( 3io ) variable imaginaire, l'équation

ne sera généralement vraie que pour un module /' de z inférieur à l'unité, c'est-à-dire pour des valeurs de z propres à représenter les affixes de points situés à l'intérieur du cercle qui a l'origine pour centre et l'unité pour rayon. Si l'on supposait précisément /■ = j , la série

dont la somme constitue le second membre de la formule (5), serait divergente, à moins toutefois que l'on n'eût z= i. D'ailleurs, dans ce dernier cas, les deux membres de la formule (5) devront être évidemment remplacés par les limites vers lesquelles ils convergent, tandis que s s'approche indéfiniment de l'unité, et il est clair que ces limites se réduiront pour le premier membre à l'infini positif ou négatif, ou même imaginaire, et pour le second membre à l'infini positif seulement.

Dans ce qui précède, nous nous sommes borné à considérer des fonctions d'une seule variable. Mais il est évident qu'une fonction peut dépendre de plusieurs variables, chacune de ces variables étant, ou une quantité algébrique, ou une quantité géométrique. Ajoutons qu'une telle fonction peut offrir des propriétés qui subsistent, ou pour toutes les valeurs, ou seulement pour certaines valeurs des diverses variables qu'elle renferme.

Observons encore qu'une fonction d'une ou de plusieurs variables peut être ou explicite ou implicite.

Lorsque des fonctions d'une ou de plusieiu's variables se trouvent immédiatement exprimées au moyen de ces variables, elles sont nommées Jonctions explicites. Mais lorsqu'on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c'est-à-dire les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire, tant que ces équations ne sont pas résolues , les fonctions, n'étant pas immédiatement exprimées au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent.

Souvent le résultat d'une opération effectuée sur une quantité peut avoir plusieurs valeurs différentes les luies des autres. Lorsqu'on veut désigner indistinctement une quelconque de ces valeurs, on peut, comme nous l'avons fait dans \ Analyse algébrique, recourir à des notations dans lesquelles la quantité soit entourée de doubles traits, ou de doubles paren-

( 3ii )

thèses, en réservant la notation usuelle pour la valeur la plus simple, ou pour celle qui parait mériter davantage d'être remarquée. Ces conventions étant admises, une fonction explicite, représentée par l'une des notations usuelles, offrira généralement, pour chaque valeur de la variable dont elle dépend, une valeur unique qui pourra toutefois devenir multiple dans certains cas particuliers. Ainsi, par exemple, chacune des fonctions

I 4- c + z-^, (i + zy, e', sin z. cos r, etc.,

offrira généralement, pour chaque valeur de la variable z, une valeur unique et finie; et Ton pourra encore en dire autant des fonctions

1 (z), arc tang :, arc cot z. arc sin z . etc.

Toutefois, ces dernières fonctions offriront, pour certaines valeurs particulières de z, des valeurs multiples. Telle sera la valeur infinie de -; positive ,

ou négative, ou même imaginaii-e, correspondante à une valeur nulle de z. Telle sera encore la \A\enr singulière de arc cot z. correspondante à : = o. et donnée par la formule

arc cot r= ± -•

dans laquelle le double signe doit être réduit au signe -i- ou au signe — . suivant, que la partie algébrique de la variable imaginaire - passe par îles valeurs positives ou négatives avant d'atteindre la limite zéro (page aiG . Quant aux fonctions implicites, elles pourront admettre des valeurs multiples correspondantes, non-seulement à des valeurs particulières, mais encore à des valeurs quelconques des variables. Ainsi, par exemple, la fonction Z de z, déterminée par l'équation

(6) Z=+ s== I, admet deux valeurs distinctes, savoir :

(7) Z = {i-z-f et Z=-{i-z^y.

Il arrive souvent que les diverses valeurs d'une fonction nuplicitr sont en nombre infini. On peut citer comme exemple la fonction / di-tt^rinmee par l'équation

8) cos/^s,

de laquelle on tire (page 3o3)

(g) Z z= -ikn ±i arc cos z,

k étant une quantité entière quelconque.

Nous désignerons sous le nom de ijpe une expression analytique propre à représenter généralement, ou la valeur unique d'une fonction explicite, ou l'une des valeurs diverses d'une fonction implicite. Cette définition étant admise, la fonction Z, déterminée par l'équation (6), admettra deux types distincts, que présentent les formules (■j); et la fonction Z, déterminée par l'équation (8), offrira une infinité de types, tous compris dans la formule (9 .

Les intégrales définies prises entre des limites variables , et celles qui renferment des paramètres variables, doivent être rangées au nombre des fonctions explicites. Très-souvent, les valeurs de ces intégrales sont déterminées par des formules qui subsistent unicpiement sous certaines conditions. Ainsi, par exemple, x étant une variable réelle, l'équation

r sin (a.r) , tt

(10) / ^ — 'da:=-

subsiste imiquement pour des valeurs positives de x, et doit être remplacée, quand x est négatif, par la formule

r ' sin iax) 1 - •

tandis que la moyenne arithmétique entre les deux quantités — -» -» c'est-à-dire zéro , est précisément la valeur de l'intégrale

sm(^J^^^

correspondante à une valeur nulle de x. Ainsi encore, z étant une quantité géométrique variable, ou, en d'autres termes, une variable imaginaire, liée aux variables réelles J?,jr par l'équation (2), la formule

subsiste uniquement j)Our des valeurs positives de la partie réelle x de la

variable z. Enfin, si l'on nonuiie / le module et p rargument de z, en sorle qu'on ait z = r^, la formule

subsistera uniquement pour un module /■ de z uiferieur à l'unité, c'est-àdire pour toute valeur de z propre à représenter l'affixe d'un |)oint situé dans l'intérieur du cercle qui a l'unité pour rayon. On aura pour r=^i, c'est-a-dire pour toute valeur de z correspondante à un point situé sur la circonférence du cercle dont il s'agit,

et pour / > I , c'est-à-dire pour toute valeur de ' coi-respondante a un point situé hors du même cercle,

r.j. d An. )i d,- Ph. 'mnih.. V . 1\ . JtG' ll^r•:' 4"

Sur les fonctions continues de quantités algébriques ou géométriques .

§ I. — Considérations générales.

Parmi les caractères que les fonctions peuvent offrir, l'un de ceux qui, en raison de leur importance, méritent une attention sérieuse, est bien certainement la continuité , telle qne je l'ai définie dans mon Analyse algébrique. A la vérité, la définition des fonctions continues, donnée dans cet ouvrage, et généralement adoptée aujourd'hui par les géomètres, s'y trouvait spécialement appliquée aux fonctions réelles ou imaginaires des variables réelles, c'est-à-dire des quantités algébriques variables. Mais rien n'empêche d'étendre la même définition au cas où les variables sont des quantités géométriques, connue je l'expliquerai tout à l'heure.

§ II. — Sur les fonctions continues de quantités algél>riques. '

Commençons par rappeler les principes établis en 1821 dans mon Analyse algébrique, et reproduits en 1829 ^^^^ "^^s Leçons sur le Calcul différentiel :

« On dit qu'une quantité (algébrique) variable devient infiniment petite , )> lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment, de manière à con- » verger vers la limite zéro. {^Analyse algébrique , ])age 26.)

» Une quantité infiniment petite se nomme encore un injiniment petit . » [Préliminaires du Calcul différentiel ^ page 4)

» Les notions relatives à la continuité ou à la discontinuité des fonctions » doivent être placées parmi les objets qui se rattachent à la considération » des infiniment petits. (Analyse algébrique , page 3/|.)

» Soit j ( x) une fonction (réelle) de la variable ( réelle) x, et supposons • que, pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données, » cette fonction admette constauunent une valeur unique et finie. Si, en « partant d'une valeur de x comprise entre ces limites, on attribue à la

» variable x un accroissement infiniment petit a, la fonction elle-même » recevra pour accroissement la différence

f'ix -1- a) - f{x),

» qui dépendra en même temps de la nouvelle variable a et de la valeur » de a-. Cela posé, la fonction y .r) sera, entre les deux limites assignées » à la variable jr , fonction continue de cette variable, si, pour chaque » valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la » différence

» décroît indéfiniment avec celle de a. En d'autres termes, la Jonction » f [oc] restera continue par rapport à x entre les limites données, si , » entre ces limites , un accroissement infiniment petit de la variable produit » toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. » [jénaljse algébrique , pages 34 et 35.)

0 On dit encore que la Jonction J{^x) est., dans le voisinage d'une valeur » particulière , attribuée à la variable x , Jonction continue de cette va- » riable, toutes les fois qu'elle est continue entre deux limites de o", même » très-rapprochées, qui renferment la valeur dont il s'agit. Analyse » algébr if/ue , page 35.)

» Enfin, lorsqu'une fonction cesse d'être continue dans le voisinage • d'une valeur particulière de la variable J?. on dit qu'elle est alors discon- » tinue , et qu'il v a, pour cette valeur particulière , solution de continuité. " {Analyse algébrique , page 35.) »

Les définitions précédentes sont reproduites en termes équivalents, ou même identiques, dans les Préliminaires de mon Calcul rliflérentiel (page 6).

Ces définitions étant admises, il sera facile de reconnaître, non-seulement si une fonction explicite et réelle de la variable réelle x est ou n'est pas continue entre deux limites données, mais encore entre quelles limites ime telle fonction reste continue.

« Ainsi, par exemple, la fonction sin^, admettant pour chaque valeur » particulière de la variable x une valeur unique et finie, sera continue » entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur

» numérique de sin-» et, par suite, celle de la différence

sm [X + a — sm x = i sm - cos I x H — ]i

» décroissent indéfiniment avec celle de a, quelle que soit d'ailleurs la » valeur finie qu'on attribue à x. [Jiialjse algébrique , page 35.)

» Si (en désignant par a une constante réelle, par A un nombre con- » stant, et par Lx le logarithme réel de x pris dans le système dont la base V esl A), on envisage, sous le rapport de la continuité, les fonctions » simples

a + X, a— X, ax , -■> x", A^, L,x,

sin X , cos X , arc sin x , arc cos x ,

» on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux » limites finies de la variable x , toutes les fois qu'étant constamment réelle » entre ces deux limites, elle ne devient pas infinie dans l'intervalle. » [Analyse algébrique , pages 35 et 36.)

» Par suite , chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage » d'une valeur finie attribuée à la variable x, si cette valeur se trouve » comprise, pour les fonctions

a — X dx

sin jf cos X

» pour la fonction

entre les limites x := — oo , jt = oc ;

1° entre les limites jc = — co . x r= o, •'" ) 2° entre les limites x = o , x = co ;

» pour les fonctions

> entre les hmites x = o , x = x ;

L{x) ) » enfin pour les fonctions

arc sin x l

\ entre les limites x = — i , x = i. arc cos x [

[Analjse algébrique , page 36.) » 11-est bon d'observer que, dans le cas où l'on suppose

( ^17 ) " {m désignant un nombre entier), la fomnion simple or" est toujours » continue dans le voisinage d'une valeur finie de la variable .r, à moins ■' que cette valeur ne soit nulle, a étant égal à — m. ( .^nnljsc a/gébriqur- . » page 37. ) »

Lorsqu'une fonction devient infinie pour une valeur finie de la variable, un accroissement infiniment petit attribué à cette valeur cesse évidemment de produire un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même, et, par suite, il y a solution de continuité. Ainsi, par exempie. chacune des fonctions

- et X-'"

[rn éiiin[ ini nombre entier), devient discontinue en devenant infinie pour

Cela pose, pour qu'une fonction de la variable réelle jc reste contniuc dans le voisinage d'une valeur donnée de a-, il est nécessaire qu'à cette valeur de a: corresponde une valeur /m/e de la fonction. Mais est-i! pareillement nécessaire que, pour la valeur donnée de x et pour chaciuie des valeurs voisines, la fonction acquière une valeur «^//(/«eieprésentée par un seul type f [x) ? A la rigueur, cette question pourrait être résolue négativement; et, dans le cas où il s'agit d'une fonction implicite qui offi-e diverses vale!U-s représentées par divers types , ou , en d'autres terme?, d'inie fonction liée à la variable x par une équation qui admet plusieurs i-acines, on pourrait dire que cette fonction implicite est continue entre des limite.': données de x, lorsque entre ces limites, un accroissement infiniment petit aîtribuéà j; protluit toujours ini accroissement infiiiiment petit de l'un quelconque des tvpes. Mais il est plus simple de considérer chacun de ces types comme luie fonction iléterminée dex; et poiu' énoncer clairement l'iivpothése admise, il suffit de ilire que chacune des valeurs de In fonction implicite est une fonction explicite de x. qui reste continue entre les Innites assignées à cette variable.

Ainsi, par exemple, si l'on nomme j' une fonction unpiicile de x, déterminée par l'équation

(i) x^-hy' = \,

les deux valeurs qu admettra cette fonction implicite , pour une valeui' réelle, de^, comprise entre les limites

( 3t8 ) seront deux fonctions explicites représentées par les deux types

• ^ Y T — oc j — Y I — oc~ 7

et dont chacune restera continue entre les limites données.

Ainsi encore, si l'on nomme ^ une fonction implicite de x déterminée par l'équation

(2) tang j = x,

les valeurs qu'admettra cette fonction implicite, pour une valeur réelle dé x, seront les fonctions explicites représentées par les divers termes de la progression arithmétique

. . . — 2n + arctangx, — tt + arc tang j: , arctangA-, ■K -\- arc tang x , 2 tt + arc tang x , . . . ,

et chacune de ces fonctions explicites restera continue entre des limites quelconques de la variable, par conséquent entre les limites

Il n'est pas sans intérêt de rapprocher l'une de l'autre les notions de continuité dans les fonctions et de continuité dans les courbes. C'est ce que nous allons essayer de faire en peu de mots.

Concevons que, dans un plan donné, on construise une courbe dont les coordonnées rectilignes, rapportées à des axes rectangulaires ou obliques, soient la variable réelle x et une fonction réelle y de cette variable. Si l'ordonnée j^ considérée comme fonction de l'abscisse .r, est explicite et continue entre deux limites données

la courbe sera certainement continue entre deux points qui auront pour abscisses x , x^^. Il y a plus; elle offrira entre ces deux points une seule branche correspondante à la valeur unique de la fonction j. Si, au contraire, la fonction j- demeurant explicite, devient discontinue entre les limites données, pour certaines valeurs particulières x,, x„, . . . de l'abscisse x, la courbe deviendra elle-même discontinue et se décomposera en diverses branches que limiteront des ordonnées correspondantes à ces valeurs particulières de X. Enfin, si l'ordonnée j, considérée comme fonction de x^ est implicite et déterminée par une équation qui admette plusieurs racines.

chacune de ces racines, quand l'équation sera résolue, deviendra une iont tion explicite, continue ou discontinue, à laquelle répondra ou une seule branche de courbe , ou le système de plusieurs branches que limiteront les ordonnées correspondantes aux solutions de continuité. Donc alors des branches distinctes pourront répondre , non-seulement à des valeurs diverses, mais encore aune valeur unique de l'abscisse j:. D'ailleurs, dans le cas où, entre deux limites données de x, chaque valeur de la fonction implicite j- est une fonction continue de x , et représente en conséquence une seule branche de courbe , il peut arriver que les diverses branches correspondantes aux diverses valeurs de j se joignent par leurs extrémités, de manière à former une courbe continue. C'est ce qui aura lieu , par exemple, si l'ordonnée y est déterminée par l'équation (i). Alors, en effet, les deux valeurs de y, savoir

\! 1 — jc , — \' i — X- 1 resteront, comme on l'a dit, fonctions continues de x entre les limiles

et les deux branches de courbe correspondantes à ces deux valeurs seront deux demi-circonférences de cercle qui se joindront par leurs extrémités, de manière à reproduire la circonférence entière. C'est ce qui aura lien encore si l'ordonnée^ est déterminée par l'équation

(3) sinj = a-;

car la courbe continue que représente l'équation (3) peut être considérée comme composée de plusieurs branches qni se joignent par leurs extrémités, chaque branche ayant pour ordonnée, entre les limites

l'une des valeurs de j' comprises dans les deux progressions

. .-. — 4?: + arc sinx, — 2 7r + arc sin jr , arcsinx, :2- -t~ arc sin Ji-.

/^Tt -h arc sin X, . . . , ... — 3r: — arc sin X, — tî — arcsinx, ~ — arcsinjr, 3?! — arc sina',....

Comme on vient de le remarquer, quand on exprime, en fonction de l'abscisse x , l'ordonnée j' d'une courbe continue, cette ordonnée adniei souvent diverses valeurs représentées par diverses fonctions explicites de x.

Mais aiors ou peut aussi représenter chaciuie des coordonnées x, j par une fonction toujours continue d'une autre variable s. Il suffit pour cela que la lettre s désigne ou l'arc de la courbe continue, mesuré dans un sens déterminé à partir d'une origine fixe , ou une quantité qui croisse constamment avec cet arc. Ainsi, par exemple, si l'on nomme s un ai-c mesuré sur la circonférence de cercle que représente l'équation (i), à partir du point où cette circonférence coupe l'axe des x, et dirigé dans le premier instant, du côté des oi'données positives, les coordonnées jc, / de cette même circonférence pourront être représentées par des fonctions de l'arc s, toujours continues, et liées à cet arc par les équations

X = cos s , j

sm*.

Quand la courbe que l'on considère est, comme dans le cas précédent, ime courbe fermée et rentrante sur elle-même, les coordonnées x,j\ exprimées en fonction de l'arc s , sont évidemment des fonctions périodiques qui reprennent les mêmes valeurs au moment où l'extrémité de l'arc s, après avoir parcouru le périmètre entier de la courbe, retrouve la position qu'elle occupait d'abord.

§ III. — ^«7- les fonctions continues de quantités géométriques.

Désignons par la lettre z une variable imaginaire, ou, en d'autres termes, une quantité géométrique variable dont ;■ soit le module, et p l'argument. Posons d'ailleurs

. • X = rcof>p, j- = rsin/5.

La variable '-. ^' '

(i) z = rp= X +ji

sera propie à représenter l'affixe d'un point mobile A, qui aura pour coordonnées polaires les variables réelles p, ;■, et pour coordonnées rectangulaires les variables réelles x, j-.

Soient maintenant

(2) z=:R =x+ri

une autre variable imaginaire, ou, en d'autres termes, une autre quantité géométrique variable, propre à représenter l'affixe d'un autre point mobile B qui a pour coordonnées polaires les variables réelles P, R, et pour coordonnées rectangulaires les variables réelles X, Y. Comme on l'a dit, dans le

précédent article, Z sera fonction de z, si le mouvement du point A entraine le mouvement du point B, ou, ce qui revient au mè;ne, si les variables réelles X, V sont fonctions des variables réelles x, j. D'ailleurs, certaines propriétés de Z considérée comme fonction de z pourront subsister uniquement pour certaines valeurs de z comprises entre certaines limites , par exemple pour les valeurs de z propres à représenter les affixes de pôinis renfermés dans une certaine aire S. Ajoutons que les lignes droites ou courbes qui limiteront l'aire S seront entièrement arbitraires. On poiu'ra , pour fixer les idées, supposer l'aire S limitée extérieurement par un certain contour PQR composé de lignes droites ou courbes; et l'on pourra aussi la supposer comprise entre deux contours de cette espèce KLM, PQR, qui lui serviraient de limite intérieure et extérieure

Considérons maintenant d'une manière spéciale, parmi les propriétés que les fonctions peuvent offrir, celle qui fait le sujet principal de cet article, et que l'on nomme la continuité. Pour les fonctions des variables imaginaires, comme pour les fonctions des ^ariables réelles, cette propriété se rattache à la considération des infiniment petits. Entrons à cet égard dans quelques détails.

Une variable imaginaire est appelée iufmimefit petite , lorsqu'elle converge vers la limite zéro [^ualjse algébrique , page 200). Cela posé, pour que la variable imaginaire

soit infiniment petite, il suffira évidemment que les variables réelles x, j soient infiniment petites, et, par suite, il suffira que le module

soit infiniment petit. Réciproquement , si le mofiule /■ est infiniment petit, les variables x , j seront elles-mêmes infiniment petites, et, par suite, ou nourra en dire autant de la variable imaginaire z. Soit maintenant

lUie fonction de la variable imaginaire z, et supposons que, pour chaque valeur de z propre à représenter l'affixe d'un point renfermé dans l'aire S, cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en partant dune telle valeur de z, on attribue à la variable z un accroissement infiniment petit 'Ç . la fonction elle-même recevra pour accroissement ladif-

Et. dAn. cl d,- l'h. math.; T. IV ( 4G« liïr. ) 4 ■

( 3s»-. ) férence

qui dépendra en même temps de la nouvelle variable Ç et de la valeur de 2. Cela posé, la fonction y (s) sera entre les limites assignées à la variable z, c'est-à-dire, pour toutes les valeurs de z renfermées dans l'aire S, fonction" continue de z, si pour chacune de ces valeurs, le module de la différence

devient infiniment petit avec le module de Ç. En d'autres termes, lajoîictionf[z) de la variable imaginaire z restera continue par rapport à cette variable entre les limites données, si, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable z produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.

De plus, étant donnée une valeur particulière de z propre à représenter l'affixe d'un point déterminé A , la fonction^ ( z) sera ^\te fonction continue de la variable imaginaire z , dans le voisinage de la valeur particulière attribuée à z, si elle est continue pour toutes les valeurs de z propres à rej)résenter les affixes de points situés dans l'intérieur d'une aire même trèspetite qui renferme le point A.

Enfin, lorsqu'une fonctiony (z) de la variable imaginaire z cessera d'être continue dans le voisinage d'une valeur particulière dez, on dira que, pour cette valeur, elle est discontinue , et offre une solution de continuité.

Ces définitions étant admises, considérons d'abord ime fonction explicite de la variable z, cette fonction étant exprimée à l'aide des notations usuelles. Comme je l'ai remarqué dans le précédent article, cette fonction explicite offrira généralement, pour chaque valeur finie de z, une valeur unique complètement déterminée, et dès lors il sera facile de reconnaître, non-seulement si elle est ou n'est pas continue entre des limites données, mais encore entre quelles limites elle reste continue.

Ainsi , par exemple , la fonction

sinz = : )

qui admet pour chaque valeur particulière de z une valeur unique et finie, sera continue entre deux limites quelconques de la variable z, attendu que le module de

-tr — -?l

Sin - = : !

( 323 ) et. par suite, ie module de la différence

sin {z + Ç ) — sin z = 2 sin - cos ( z + ^ ) >

décroissent indéfiniment avec le module de Ç, quelle que soit d'ailleurs la valeur finie que l'on attribue à z.

Si, en désignant par c une constante réelle on imaginaire, et par ^ un nombre constant, on envisage, sous le rapport de la continuité les six fonctions simples

c 4- z , C — z , cz, A~ . sin z , cos z ,

on reconnaîtra que chacune d'elles reste continue par rapport à z entre des limites quelconques. On pourra encore en dire autant de toute fonction entière de la variable z.

Au contraire, une fonction rationnelle, mais non entière, de z deviendra discontinue pour les valeurs de z qui la rendront infinie. Ainsi, par exemple, la fonction

deviendra discontinue, en devenant infinie, pour z = o; mais elle sera continue dans le voisinage de toute valeur finie de z distincte de zéro.

Le nombre des valeurs de z, pour lesquelles une fonctiony (z) devient discontinue en devenant infinie, peut être ou fini ou même infini. Ce nombre est toujours fini, lorsque^ (z) se réduit à une fonction rationnelle de z. Il deviendrait infini si /(s) était une fonction rationnelle de sinz ei cosz. Ainsi, par exemple, la fonction , sinz I f-' — c""-'

tane z = = - -r^, n

devient discontinue, en devenant infinie, pour toutes les valeurs dez comprises dans la progression arithmétique

par conséquent, pour une infinité de valeurs de z, propres à représenter les affixes de points équidistants, séparés les unes des autres, et situés sur Taxe polaire. '

Il arrive souvent qu'une foncfion explicite Z de la variable imaginaire z devient discontinue , même sans cesser d'être finie, pour une infinité de va-

leurs de z propres à représenter les affixes de tous les points situés sur certaines lignes, ou certaines portions de lignes droites ou courbes, que nous appellerons lignes d'arrêt.

Ainsi, par exemple, si l'on envisage, sous le rapport de la continuité, les deux fonctions

la lettre caractéristique 1 indiquant un logarithme népérien, on reconnaîtra que ces deux fonctions deviennent discontinues, toutes les fois que les variables réelles x, j. liées à la variable imaginaire z par l'équation

vérifient les conditions

(3) , . X := ou < O , J- = O.

Donc alors, il existe une seule ligne d'arrêt, qui n'est autre que Taxe polaire , indéfiniment prolongée , à partir de l'origine du côté des abscisses négatives.

Ainsi encore, si l'on envisage, sous le rapport de la continuité, la fonction

arctancs= -^^ -^-^ — ■ — -^

on reconnaîtra qu'elle devient discontinue, toutes les fois que, dans la variable imaginaire z = x -f-j"!, les variables x, y vérifient les conditions

(4) x=:o, ^'^ — ou > I.

Donc alors , il existe deux lignes d'arrêt qui se réduisent à deux partfes distinctes de l'axe des ordonnées, indéfiniment prolongé, dans le sens des ordonnées positives, k parfir du point dont l'ordonnée est i , et dans le sens lies ordonnées négatives , à partir du point dont l'ordonnée est — i .

Les extrémités des lignes d'arrêt seront nommées points d'arrêt : tels sont, par exemple, le pôle, ou, en d'autres termes, l'origine, dans la ligne d'arrêt correspondante à chacune des fonctions

et les deux points situés sur l'axe des ordonnées à la distance i de l'origine, dans les deux lignes d'arrêt correspondantes à la fonction arc tang z.

Dans les cas semblables à ceux que uous avons traités jusqu'ici, c'est-àdire quand une fonction de la variable imaginaire z est une fonction explicite représentée par l'une des notations usuelles, il ne dépend pas du calculateur de faire disj)araître les solutions de continuité que la fonction peut offrir. Ces solutions de continuité sont, en effet, une conséquence immédiate des conventions à l'aide desquelles on a fixé le sens des notations adoptées. Il est donc certain, comme je l'ai dit ailleurs (tome 11 du Journal de M. Liouville, page 323), que la nature des conventions n une influence marquée sur le caractère des fonctions considérées comme continues , de sorte qu'en, passant d'un système de conventions à un autre , on peut rendre discontinues des Jonctions qui étaient continues , et réciproquement.

Parmi les fonctions explicites, représentées à l'aide des notations usuelles, on doit distinguer celles qui ne cessent d'être continues qu'en devenant infinies. Nous les appellerons monodromes. Une fonction pourra d'aillfu!> être monodrome, seulement poui- les valeurs de z correspondantes aux points intérieurs d'une certaine aire S renfermée dans un certain contour PQR. ou entre deux contours donnés KLM, PQR. Dans tous les cas, le mot monodrome parait exprimer assez bien la propriété de la fonction que l'on considère, puisque celle-ci varie par degrés insensibles, en acquérant à chaque instaint une valeur unique , tandis tjue le point mobile A correspondant à l'affixe z court cà et là , sans sortir de l'aire S, ou tourne autoui- des points singuliers correspondants à des valeurs infinies de la fonction.

On j)eut citer, comme exemples de fonctions monodromes, non-seulement les deux fonctions

mais encore les fonctions rationnelles de z, de e'. de siii z, de cos r, etc.

Ainsi qu'on vient de l'explicpier, pour mettre en évidence la nature et les propriétés d'une fonction explicite Z de la variable imaginée z, il est surtout nécessaire d'avoir égard aux diverses positions que peut prendre le point mobile A qui a r pour affixe. Parlons maintenant des positions que peut prendre le point mobile B dont l'affixe est Z. Tandis que le point A parcourra en tous sens le plan des affixes, le point C pourra décrire oi: ce plan tout entier, ou seulement une portion de ce même plan. Dans le dernier cas, la portion décrite sera ce que nous nommerons la région correspondante à la fonction explicite s, et les lignes droites ou courbes qui serviront de limites à cette région, seront appelées lignes terminales. Ces lignes terminales correspondront ^•videmment aux lignes d'arrêt, de telle

sorte qu'au moment où le point mobile A dont z est l'affixe atteindra une ligne d'arrêt, le point mobile B dont Z est l'affixe atteindra une ligne terminale.

Si l'on considère, par exemple, la fonction explicite

on reconnaîtra, non-seulement que cette fonction devient discontinue au moment où le point mobile A atteint la ligne d'arrêt représentée par la formule (3), c'est-à-dire l'axe des x, indéfiniment prolongé à partir du pôle du côté des x négatives, mais encore que les valeurs diverses de cette fonction explicite sont les affixes de points situés du côté des x positives, et qu'en conséquence cette fonction représente l'affixe d'un point mobile B compris dans une région spéciale , savoir, dans la partie du plan des xy qui, s'étendant à l'infini du côté des x positives, a pour ligne terminale l'axe des ordonnées.

Si à la fonction z' on substituait la suivante :

Ir.,

qui devient encore discontinue au moment où le point mobile A rencontre l'axe des x, du côté des x négatives, la région parcourue par le point mobile B, ou, en d'autres termes, la région correspondante à la fonction 1 z cesserait de s'étendre à l'infini du côté des x positives, et se réduirait à la portion du plan des affixes, comprise entre deux lignes terminales parallèles à l'axe des y et situées de part et d'autre de cet axe à la distance 7Î.

Enfin , si l'on considérait la fonction

arc tang z

l(i+zi) — l(i — zi)

qui devient discontinue au moment où le point mobile A rencontre l'axe des j', à une distance du pôle égale ou supérieure à l'unité, la région parcourue par le point mobile B., c'est-à-dire, en d'autres termes, la région correspondante à la fonction arc tang z, se réduirait à la portion du plan des affixes comprise entre deux lignes terminales parallèles à l'axe des j- et situées de part et d'autre de cet axe à la distance -•

Il arrive souvent que deux fonctions explicites d'une variable imaginaire z sont égales entre elles pour certaines valeurs de cette variable, et inégales

( 32 7 ) pour d'autres valeurs. Ainsi, par exemple, si c représente inie valeur particulière de la variable r. les deux fonctions explicites

' • '- [cl

seront égales entre elles, quand les arguments principaux de c et de z fourniront une somme comprise entxe les limites — -. h- z. On ne doit donc pas s'étonner de voir correspondre à ces deux fonctions des lignes terminales distinctes, et à ces lignes terminales des lie;nes d'ari'èt distinctes. Si, pour fixer les idées, on nomme ts l'argument principal de la constante c. et si cet argument est positif, alors, pour obtenir la ligne terminale et la ligne d'arrêt correspondantes à la fonction

i! suffira de faire tourner autour di; pôle la ligne terminale et I i ligne

darret correspondantes à la fonction z \ en imprimant à ces dernières lignes un mouvement de lotation direct, de telle sorte que le rayon vecteur mené de l'origine à ini de leurs points décrive un angle égal à^rr.

Supposons à présent que l'on considère non plus une fonction explicite . mais une fonction implicite Z de la variable imaginaire z Cette fonctioi. nourra être déterminée ou isolément par une équation unique, ou avec d'autres fonctions implicites, par un système d'équations dont le nombre devra être égal à celui des fonctions elles-mêmes. Dans l'un et l'autre cas. Z admettra, pour chaque valeur de s, une ou plusieurs valeurs qui pourront devenir ou infinies, ou égales entre elles, pour certaines valeurs particulières de la variable z. Les points dont ces valeurs particulières de c seront les affixes, prendront le nom de points singufirrs.

Soient maintenant

diverses valeurs successivement attribuées à la variable imaginaire r, et

des valeurs correspondantes d'une fonction explicite ou unplicite Z, en sorte que Z, désigne une des valeurs de Z correspondantes à la valeur z, de z; Z une des valeurs de Z correspondantes à la valeur z„ de z; et ainsi de suite. Soient d'ailleurs

les points qui oi)t pour affixes les quantités géométriques

et soient encore

les points qui ont pour affixes les quantités géométriques

^ii ■^,/' ^/»'- • • •

Enfin concevons que, le nombre des points A,, A,,, A„,..., devenant infini, leur système se réduise à une courbe continue A, A„ A^, . . . , décrite par un point mobile A correspondant à une affixe variable z. Le système des points B^, B^ , B^^^, ... , pourra, dans certains cas, c'est-à-dire, pour certaines formes de la fonction Z, ou des équations qui la déterminent, et pour certaines formes de la courbe continue A, A,, A^, ..., se réduire lui-même à une courbe continue BB, B,^..., décrite par un point mobile B correspondant à luie affixe variable z. Alors la courbe continue A, A A,„ .. . sera ce que nous nommerons le chemin (*) du point A, et la courbe continue B, B^^B^^, ... sera le chemin correspondant du point B.

La nature d'une fonction implicite Z, c'est-à-dire , en d'autres termes, la nature de l'équation ou des équations qui déterminent Z, peut être telle, qu'à une courbe continue A, A,, A^„ . . . , considérée comme cliemin du point mobile A, corresponde toujours une autre courbe continue B, B,^ B^, . . . , propre à représenter le chemin du point mobile B, quelle que soit d'ailleurs , parmi les valeurs de Z correspondantes à s = z , celle que l'on prendra pour l'affixe Z^ du point B,. Il peut arriver aussi que cette condition, étant généralement remplie, cesse de l'être dans le seul cas où les affixes de quelques-uns des points B, , B„ , B,,, , . . . deviennent infinies , et où, par suite, la courbe B, B,B^, ... se trouve remplacée par le système de plusieurs courbes dont chacune reste continue , mais s'étend à l'infini. Dans l'une et l'autre hypoihèse, si le chemin A, A,,A^^, .. du point mobile A ne renferme aucun point singulier, le chemin correspondant B B,^B^,,. . . du point mobiie B, partant d'une position donnée B , dans laquelle il avait pour affixe la valeur Z, de Z, sera toujours une courbe continue ; et alors, ce dernier chemin n'étant jamais interrompu, n offrant aucune solution de

(*) Le nom de clicmin , appliqué à la combe que décrit le point A, a été, si je ne me trompe, employé pour la première fois' par M. Puiseux, dans un remarquable Mémoire qui a pour titre : Rcc/ie/chcs sur les fonctions algébriques. l^I'oir le Journal de Matliématiques de M. Liouville, pajje Sgô, tome XV.)

continuité, la fonction Z sera dite évodique (de ivodoc, permis j ivoâiv.. facilis via).

Ajoutons qu'une fonction implicite Z de la variable imaginaire z sera évodique seulement entre certaines limites , c'est-à-dire pour les valeurs de z propres à représenter les affixes de points situés dans l'intérieur d'une certaine aire S, si la condition ci-dessus énoncée ne se vérifie que dans hcas où le chemin A, A,, A,,,... du point mobile A est une courbe continue renfermée tout entière dans l'intérieur de l'aire S.

Concevons à présent que l'on parvienne à résoudre l'équation ou les équations qui servent à déterminer une fonction implicite Z de la variable imaginaire z, et à exprimer les diverses vaieiu's de cette fonction à l'aide des notations usuelles. Ces diverses valeurs deviendront des fonctions explicites de r, et chacime des fonctions explicites ainsi obtenues admettra généralement, pour chaque valeur finie de 3, une valeur unique complètement déterminée. Mais ces mêmes fonctions pourront devenir discontinues pour des valeurs particidieresde z, qui les rendront infinies; comme aussi pour des valeurs de z propres à représenter des affixes de pouits situés sur certaines lignes que nous avons appelées lignes d'arrêt. D'ailleurs, à ces lignes d'arrtt dont chacune limite la course du point mobile A, à l'instant où l'une des fonctions explicites ci-dessus mentionnées cesse détre continue, correspondront d'autres lignes que nous avons appelées lignes terminales^ et qui limiteront, dans les mêmes circonstances, la course du point mobile B.

Cela posé, considérons spécialement le cas où la fonction implicite Z est du nombre de celles que nous avons nommées fonctions évodiques; et soit, dans cette hvpothese. A, A„A„... une courbe continue qui représente ui' chemin attriliué au point mobile A dont l'affixe est z; soit encore B,B, B,„... le chemin correspondant que devra prendre le poiiû mobile B, dont 1 affixe est Z, en partant d'une position donnée B,, dont l'affixe est une valeur particulière de Z. I.e chemin B,B„B,„... se réduira lui-même soit à une seule courbe continue, soit au système de deux ou de plusieurs courbes continues qui pourront offrir des parties communes. Il se réduira effeclivemeni à une seule courbe continue, si le chemin A, A„A„,... ne renkrme aucim point singulier. jMais cette courbe unique sera remplacée par le système d^ deux ou plusieurs courbes qui s'étendiont à l'infini, si le chemin A, A,,A^,,... renferme des points singuliers dont les alfixes fournissent des valeurs infinies de Z, et la courbe ou les courbes dont il s'agit se ramifieront toujours à partir de points singuliers qui correspondraient à des valeurs de z pour lesquelles deux ou plusieurs des valeurs de la foncHon implicite Z devien-

ix d\U. et de l'h. math., T. IV. ;47' livr. ) 4^

tiraient égales entre elles. Ajoutons que, dans la première hypothèse, c'està-dire quand le chemin A,A„A,,,... ne renfermera aucun point singulier, l'affixe Z du point mobile B, dont le chemin B,B B,,... sera une seule courbe continue, pourra être représentée tantôt par une fonction explicite (le r, tantôt par une autre, attendu que chacune des fonctions explicites qui exprimeront les diverses valeurs de Z devra être remplacée par une autre fonction explicite à partir de l'instant où le point mobile R, après avoir eu la première fonction pour affixe, atteindra une ligne terminale correspondante à cette même fonction. On doit en conclure que, dans le cas où une fonction évodique Z admet diverses valeurs, les diverses fonctions explicites propres à les représenter correspondent, dans le plan des affixes, à diverses régions séparées les unes des autres par certaines lignes terminales. D'ailleurs, au moment où le point B, dont l'affixe est Z, atteindra une de ces lignes terminales, le point A, dont l'affixe est z, atteindra une ligne d'arrêt correspondante.

Vérifions ces remarques sur quelques exemples, et d'abord supposons la fonction implicite

liée à la variable imaginaire

par l'équation

La résolution de cette équation fournira pour valeurs de Z deux fonctions explicites de z, données par les formules

(6) Z = zJ,

(7) • • Z=-zi

Ces deux fonctions explicites deviendront égales entre elles, et s'évanouiront toutes deux pour une valeur nulle de la variable z; par conséquent, le point dont l'affixe est nulle, c'est-à-dire le pôle, sera un point singulier. D'ailleurs, chacune des fonctions explicites

quoique généralement continue, deviendra discontinue pour toute valeur réelle, mais négative de^, attendu que si, en attribuant à x une valeur

négative — /. on fait converger y vers la limite zéro, la fonction z' convergera elle-même vers la limite /'^ i, quand^' sera supposé positif, et vers la

limite — /' i, quand j' sera supposé négatif. En d'autres termes, chacune

(les fonctions explicites S' , — z% deviendra discontinue pour toute valeur

de z propre à représenter l'affixe d'un point situé sur Taxe des x, du côté

des jc négatives, et par conséquent sur la li^?ie d'arrêt qui. représentée par

les formules (3 > a pour extrémité l'origine. De plus, à cette ligne d'arrêt qui

limite la course du point mobile A à l'instant où lune des fonctions z- ,

— r' cesse d'être continue, correspondra une ligne terminale qui limitera au même instant la course du point mobile E; et cette dernière ligne, qui sera précisément l'axe des ordonnées, séparera l'une de l'autre, dans le plan des affixes, les deux régions qui seront occupées l'une par les points dont

les affixes seront les diverses valeurs de la fonction explicite z- , l'autre par les points dont les affixes seront les diverses valeurs de la fonction explicite — z'^. En6n la fonction implicite Z, liée à la variable imaginaire z par l'équation (3), sera certainement évodique. Car, si l'on exprime Z non plus en fonction de la variable z, mais en fonction du module /• et de l'angle /'. liés à z par la formule

z — T'p = re'

on obtiendra l'équation

dans laquelle il suffira de faire varier p entre les limites — ce , -+- oc , ou même entre les lunites — i-, + a;:, pour que le second membre devienne propre à représenter une valeur quelconque de Z. Or, si, en partant d'une certaine position correspondante à des valetu's délerminées de r etp, le point mobile A, dont l'affixe est z, décrit luie courbe continue A, A,, A,,,.... on pourra satisfaire a la formule (8) par des valeurs de /■ et p qui varieront avec z par degrés insensibles; et à ces valeurs de /, /? répondra évidemment, en vertu de la formule (9 , une valeur de la l'onction implicite Z, qu: variera elle-même par degrés insensibles avec la variable z. Donc alors le point mobile B, dont Z sera l'affixe, décrira, comme le point A, inie courbe continue B,B,,B,, —

En résumé, la fonction implicite Z, liée à z par l'équation (5), est une fonction évodique qui, pour chaque valeur de z. acquiert deux valeurs

( 332 ) distinctes; et ces deux valeurs peuvent être réduites aux deux fonctions explicites

dont chacune devient discontinue, en devenant l'affixe d'un point situé sur l'axe des ordonnées, au moment où la variable :; devient elle-même l'affixe d'ini point situé sur l'axe des x du côté des x négatives. En conséquence, la partie de l'axe des abscisses, sur laquelle se comptent les abscisses négatives, et l'axe des ordonnées, sont la ligne d'arrêt et la ligne terminale qui servent à limiter simultanément la course du point A, dont l'affixe est la variable s, et la course du point B, dont l'affixe est l'une des fonctions

explicites s' , — z' . De ces deux lignes, la seconde, c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est précisément celle qui sépare l'une de l'autre les régions

occupées par les points dont les affixes sont de la forme z^ et de la forme — z^. ■ .

Si à l'équation (2) on substituait la suivante:

la fonction implicite Z serait encore une fonction évodique qui, pour chaque valeur de z, offrirait généralement deux valeurs distinctes, ces deux valeurs étant les fonctions explicites déterminées par les formules

D'ailleurs, chacune de ces fonctions explicites devient discontinue au moment où z devient l'affixe d'un point situé sur l'axe des x à une distance de l'origine plus grande que l'unité, et, à ce moment, chacune des formules (i i), (12) fournit deux valeurs de Z égales aux signes près, mais affectées de signes contraires, qui représentent les affixes de deux points situés sur l'axe des ordonnées. Donc, dans le cas présent, les deux valeurs de Z, déterminées par les formules (i i), (12), correspondent encore à deux régions séparées l'une de l'autre par l'axe des ordonnées; et à cet axe, considéré comme ligne terminale, correspondent deux lignes d'arrêt représentées par les formules

(i3) x' = ou >i, ^- = o.

Ajoutons que les extrémités de ces deux lignes d'arrêt sont précisément les

( 333 ) deux points crarrèt dont les coordonnées sont fournies par les équations

[i^) ar- := I , 7' = o,

c'est-à-dire les deux points situés sur l'axe des abscisses, à la distance i de l'origine.

Si à l'équation (lo) on substituait la suivante:

la fonction implicite Z serait encore une fonction évodique qui, pour chaque valeur de z, offrirait deux valeurs distinctes, ces valeurs étant les fonctions explicites déterminées par les formules

Alors aussi à ces deux fonctions explicites correspondraient encore deux régions, séparées l'une de l'autre par l'axe des ordonnées; mais ces deux fonctions deviendraient discontinues au moment où z serait l'affixe d'un point situé sur l'axe desa:, à une distance de l'origine plus petite que l'unité. Donc alors, à l'axe des ordonnées, considéré comme ligne terminale, correspondrait une seule ligne d'arrêt, représentée par les formules

18) a:^ = ou < I , ^ = o.

.\joutons que les extrémités de cette. ligne d'arrêt seraient encore les deux points d'arrêt dont les coordonnées sont fournies par les équations (i4)- Mais les valeurs de Z, correspondantes à ces points d'arrêt, sont nulles quand on part de l'équation (10), et infinies quand on part de l'équation (i 5). Enfin, si l'on supposait la fonction implicite Z liée à la variable imaginaire z par l'équation

Z offrirait, pour chaque valeur de z, une infinité de valeurs distmctes, représentées par les fonctions explicites qui constituent les divers termes de la progression arithmétique

(20) . . . , — 4 !^ i + 1 z, — 2 Tî i — 1 ;, \z, 2 - i -+- 1 :, i~i ~r- \z,

D'ailleurs, en vertu de la formule (19), Z serait encore une fonction évodique de z. Car si l'on exprime Z, non plus en fonction de z, mais en fonction du module r et de l'angle p liés à z par la formule (8), on obtiendra l'équation

dans laquelle i! suffira de faire varier p entre les limites — oc , +00, pour que le second membre devienne propre à représenter une valeur quelconque de Z. Or, si en partant d'une certaine position correspondante à des valeurs déterminées de r et p, le point A, dont l'affixe est z, décrit une courbe continue A, A„A^,..., on pourra satisfaire à la formule (8) en attriijiiant à / et p des valeurs qui varient avec z par degrés insensibles; et à ces valeurs de r, p répondra évidemment, en vertu de la formule (21), une valeur de la fonction implicite Z, qui variera elle-même, par degrés insensibles, avec la variable s, si la courbe A^ A^^A,,,... ne renferme pas le point d'arrêt dont l'affixe se réduit à zéro, c'est-à-dire l'origine des coordonnées.

D'autre part, chacune des fonctions explicites qui constituent les divers termes de la série (■20) deviendra discontinue au moment où z deviendra l'affixe d'un point situé sur la ligne d'arrêt que représentent les formules (3), c'est-à-dire d'un point situé sur l'axe des x, du côté des x négatives; et à ce moment, ces fonctions elles-mêmes deviendront les affixes de points situés sur des lignes terminales qui se réduiront à des droites équidistantes et parallèles à l'axe des jc, la distance de deux droites voisines étant égale à 2 7r.

Donc, en définitive, la fonction Z, liée à 2 par l'équation (19), sera une fonction évodique qui, pour chaque valeur de z, offrira inie infinité de valeurs distinctes correspondantes à une infinité de régions dont chacune sera comprise entre deux des droites parallèles que nous venons de mentionner.

Il importe d'observer que, dans le cas où à une même valeur de la variable imaginaire z correspondent diverses valeurs de la fonction implicite Z, ces diverses valeurs, exprimées à l'aide des notations usuelles, et ainsi converties en fonctions explicites, peuvent généralement revêtir une infinité de formes distinctes. D'ailleurs, si l'on compare l'un à l'autre deux systèmes de fonctions explicites dont chacun est propre à représenter les diverses valeurs de Z, on reconnaîtra que ces fonctions, prises deux à deux, peuvent coïncider entre certaines linntes, sans être généralement égales entre elles; et qu'à deux semblables systèmes de fonctions explicites correspondent, pour l'ordinaire, deux systèmes de lignes d'arrêt et deux systèmes de lignes terminales.

Ainsi, par exemple, si la fonction implicite Z est liée à la variable imaginaire z par l'équation (5), les deux valeurs qu'admettra cette fonction pourront être supposées déterminées non-seulement par les formules (6) et (7), mais encore par une infinité d'autres formules, et en particulier par les

( 335 ) suivantes :

c désignant une constante quelconque réelle ou imaginaire.

D'ailleurs, d'après une remarque précédemment faite, si ron nomme tô l'argument principal de la constante c supposée imaginaire, il suffira., pouiobtenir la ligne d'arrêt et la ligne terminale correspondantes aux fonctions explicites que déteriiiinent les formides (2'2), (iS), de faire tourner autour du pôle la ligne d'arrêt et la ligne terminale correspondantes aux fonctions que déterminent les formules (6) et (-), en imprimant à ces dernières lignes un mouvement de rotation direct si rs est positif, ou rétrograde si 5t est négatif, de telle sorte que le rayon vecteur, mené de l'origine à un de leurs points, décrive un angle égal à u.

11 est bon d'observer qu'à une fonction implicite Z, déterminée par une équation unique ou par un système d'équations simultanées, correspond un système unique de points singuliers, par consécpient un système unique de points d'arrêt servant d'extrémités aux lignes d'arrêt, quelles que soient d'ailleurs ces dernières lignes. Ainsi, par exemple, à la fonction implicite Z, déterminée par l'équation (^5 , correspond lui seul point d'arrêt qui coïncide avec l'origine, et dont l'affixe est la valeur o de z, pour laquelle les deux valeurs de Z, fournies par les formules (6) et (7), ou par les formules ( 22 ) et ^aS), deviennent égales entre elles.

Sur les différentielles de quantités algébriques ou géométriques , et sur les dérivées des fonctions de ces quantités.

Dans le Mémoire sur V Analyse infinitésimale, placé en tête du troisième volume de cet. ouvrage, sont exposés les principes qui me paraissent devoir servir de base au calcul différentiel. Je vais indiquer aujourd'hui les conséquences qui se déduisent de ces principes, quand à la notion de variables imaginaires on substitue celles de quantités géométriques variables.

§ I". — Sur les différentielles de ij nanti tés algébriques ou géométriques.

En substituant, dans le Mémoire sur l'Analyse infinitésimale, les mots quantités géométriques aux mots expressions imaginaires, on obtient à la place des définitions et formules données dans ce Mémoire, celles que je vais transcrire :

Les différentielles de plusieurs quantités algébriques ou géométriques variables sont d'autres quantités algébriques ou géométriques dont les rapports sont rigoureusement égaux aux limites des rapports entre les accroissements simultanés et infiniment petits des variables proposées.

La définition précédente suppose évidemment qu'en vertu des équations qui lient entre elles les quantités algébriques ou géométriques dont il s'agit, ces quantités varient les unes avec les autres par degrés insensibles, ou , en d'autres termes , que ces quantités, considérées comme fonctions de quelques-unes d'entre elles, en sont des fonctions continues, du mojns dans le voisinage des valeurs attribuées aux variables considérées comme indépendantes.

Nous indiquerons, suivant l'usage, les accroissements simultanés finis ou infiniment petits des variables, à l'aide de la lettre caractéristique A, et leurs différentielles à l'aide de la lettre caractéristique d.

Il importe d'observer que, dans le cas même où chacun des rapports entre les accroissements infiniment petits des variables proposées converge

( 337) vers une limite unique et finie, la définition précédente ne détermine pas oomplélement les différentielles de ces variables, mais seulement les rapports qui existent entre ces différentielles. On pourra donc toujours disposer arbitrairement, au moins de la différentielle d'une variable.

D'ailleurs, la différentielle ou les différentielles qui resteront arbitraires, pourront être supposées ou constantes ou variables, et. dans le dernier cas, il suffirait de les faire converger vers la limite zéro pour les transformer, avec les autres différentielles, en quantités infiniment petites. Mais cette transformation n'offrirait aucun avantage, et tout au contraire, il peut être souvent utile d'attribuer aux différentielles des valeurs finies. En conséquence, nous continuerons à regarder les différentielles comme des quantités finies, ainsi que nous l'avons fait dans le JMémoire déjà cité.

De plus, nous attribuerons aux quantités diverses, comme il paraît convenable de le faire, des différentielles de même nature que leurs accroissements. En conséquence, les différentielles de quantités algébriques seront des quantités algébriques, et les différentielles de quantités géométriques seront des quantités géométriques.

Enfin, comme dans le Mémoire cité, nous appellerons vrtnVr/'/c priinitwe une quantité algébrique variable qui aura pour différentielle l'unité. Cette variable primitive pourra d'ailleurs être ou l'une des variables indépendantes pro|)osées, ou une variable nouvelle avec laquelle on fera variei' toutes les autres.

La considération de la variable primifive simplifie l'énoncé de la définition que nous avons donnée des différentielles. En effet, soient t la variable primitive, et Af ^ ; un accroissement infiniment petit attribué à cette variable. La différentielle As d'une variable quelconque s sera évidemment la limite du rapport entre les accroissements infiniment petits i^s et t de cette variable et de la variable primitive.

En partant de cette définition, on établira sans peine, comme dans le Mémoire cité, les règles relatives à la différentiation des quantités soit algébriques, soit géométriques.

Ainsi, par exemple, <7, h, c désignant des quantités algébriques ou géométriques constantes, et s, u, v, w, ... des quantités algébriques ou géométriques variables, l'équation linéaire

(i) s = au -+- bv -^ cw -{-...

entraînera la formule

(a) d^ = adu -h ^di' -+- tùu', —

fr. dAn. 'ji de l>!.rs. math., T. IV. {47« livr.) 4'J

( 338 ) En conséquence, l'équation linéaire

(3) z = x + jr\,

qui sert à exprimer l'affixe z d'un point mobile A en fonction des coordonnées rectangulaires x,j de ce même point, entraînera la formule

(4) [dz = djT-t- idj-.

Concevons maintenant que, *, j, z, ... étant des variables dépendantes ou indépendantes les unes des autres, on nomme s une fonction de ces variables. Désignons d'ailleurs, à l'aide des notations

d^s, àyS, d.s , ...,

les différentielles partielles de s successivement considéré comme fonction de X., comme fonction de j, comme fonction de z, Alors, en

raisonnant comme dans le troisième volume [pages 27 et 28], on obtiendra la formule

(5) di' = d^5 -4- d„^ + dj

en vertu de laquelle la différentielle totale as sera la somme des différentielles partielles à^s, à^s ., d-j,

§ II. — Sur les dérivées des fonctions de quantités algébriques.

Soient x une quantité algébrique variable^ ou, en d'autres termes, une variable réelle, et

une fonction réelle ou imaginaire de cette variable. Soient encore Aj: un accroissement fini ou infiniment petit attribué à la variable x, et AA' 1 accroissement correspondant que prendra la fonction X. Si l'on assigne à x une valeur telle que, dans le voisinage de cette valeur de x, la fonction X demeure finie et continue, alors à une valeur infiniment pefite de l'accroissement Ajt, correspondra une valeur infiniment petite de l'accroissement AX; mais tandis que les deux accroissements A jr, A AT s'approcheront

indéfiniment l'un et l'autre de la limite zéro, leur rapport — s'approchera

lui-même, pour l'ordinaire , d'une limite finie et déterminée, qui pourra être finie ou infinie. Cette limite est ce qu'on nomme la dérivée de la fonc-

tion X ou / [x). On la représente à l'aide de la lettre caractéristique D, par la notation (*)

DX ou Df(x),

ou, mieux encore, par la notation

D;rX ou Dj.f[x),

dans laquelle la lettre x, placée au bas de la lettre caractéristique D, avertit le lecteur qu'il s'agit d'une dérivée prise par rapport à la variable x. Ajoutons que la dérivée de X, relative à x, se confond évidemment, d'après sa définition même, avec le rapport différentiel, de X à x, c'est-à-dire avec le

rapport -^ des différentielles àX, àx. On a donc identiquement

(2) àX = jy^XAx.

Concevons, pour fixer les idées, que la fonction réelle ou imaginaire X de la variable réelle x soit l'une de celles qui peuvent être exprimées à l'aide des notations usuelles. Sa dérivée sera, pour l'ordinaire, une quantité complètement déterminée. Toutefois, elle pourra cesser d'être déterminée, et acquérir deux ou plusieurs valeurs distinctes, ou même une infinité de valeurs diverses, pour certaines valeurs particulières assignées à la variable x. Ainsi, par exemple, si l'on pose

X =^x sin -

la dérivée de X deviendra indéterminée pour x = o, et acquerra, dans cette hypothèse, une valeur égale à celle de la fonction sin -■, par conséquent,

représentée par une quantité réelle comprise entre les limites — i, + i.

En général, on peut dire que, parmi les fonctions d'une variable réelle, les unes sont complètement déterminées, tandis que les autres cessent de l'être, au moins pour. certaines valeurs particulières de la variable.

Concevons maintenant que, x,j-, r,... étant des quantités algébriques variables, dépendantes ou indépendantes les unes des autres, on nomme s

(*) Suivant la notation de Lagrange, la dérivée de la fonction X ou /(x) s'indique à l'aille d'un trait par

X', ou /'(x).

une fonction réelle ou imaginaire de ces variables. Désignons, d'ailleurs, à l'aide des notations

D^j, ByS, B^s,...,

les dérivées partielles de s successivement considérée comme fonction de x, comme fonction de^, comme fonction de z,.... Alors, en raisonnant comme dans le troisième volume [page 27, 28 et 29], on établira non-seulement la formule ( 5 ) du § P% savoir :

dj = dj:5 + d^^ + djj -f-...,

mais encore les équations

(3) d;r* = Dj;^dx, dyS ^=T)ySdj-, d.s = D^sdz,...;

et l'on en conclura

(4) ds = T)j:sdx -h DySdj -hD^sdz +....

Il est généralement facile d'obtenir les dérivées, et par suite les différentielles des fonctions réelles ou imaginaires de quantités algébriques, quand ces fonctions sont exprimées à l'aide des notations usuelles.

Supposons, en particulier, que l'on demande la quantité géométrique i^, considérée comme fonction de l'argument/), et, pour abréger, désignons par la lettre zs un accroissement infiniment petit Ap attribué à cet argument. La dérivée cherchée sera la limite du rapport

elle sera donc égale au produit de ip par quantité géométrique qui représentera la limite du rapport

D'ailleurs, dans le cercle décrit du pôle connue centre avec le rayon i, tjT sera la mesure de l'arc compris entre les deux rayons qui, partant du pôle, seront représentés par les quantités géométriques i, i^, et la différence i„ — I de ces deux quantités représentera, en grandeur comme en direction, la corde de ce même arc. Par suite, l'expression (6) aura pour module le rapport numérique de cette corde à l'arc, et pour argument l'angle obtus formé par la même corde avec l'axe polaire. D'autre part, tandis que l'arc s'approchera indéfiniment de zéro, le rapport numérique de la corde à l'arc convergera vers la limite i , et l'angle obtus formé jiar la corde avec

l'axepolaiie vers la limite-, qui représente un angle droit. Donc, l'expression (6) aura pour limite

et la limite de l'expression (5), ou la dérivée de ip, sera le produit de \p par I:t= i, ou, ce qui revient au même, i

il) Dp'p=i

I:t = i, OU, ce qui revient au même, i ^j en sorte qu'on aura

Si, dans cette dernière équation, l'on substitue à l'expression ip, sa valeur tirée de la formule (i i) de la page 216, savoir

\p = cos/j + i sin p; on trouvera

( 8 ) Dp cos p ■+- i Dp sin /; = cos ip-^^) +isinl/; + -j-

et, par suite,

(9) Dpcos/j = cos ( p 4- ^ ). D,, sin p = sin (/; + - ]i

ou, ce qui revient au même,

(10) Dp cos/j = — sin p, DpSUïp = cosp.

Ainsi, en partant de la formule (7), on se trouve ramené aux équations connues qui fournissent les dérivées du cosinus et du sinus d'un arc ; et réciproquement on pourrait, de ces équations, ou , ce qui revient au même, des formules (g), déduire immédiatement l'équation (8), par conséquent la formule (7). Ajoutons que de l'équation (7), jointe aux formules

dip=Dpipd/;, I ,= rpi^=ipi,

on tirera

(11) dip=ipid/;.

Supposons maintenant que l'on demande non plus la dérivée ou la différentielle de ip, mais les dérivées partielles et la différentielle de la quantité géométrique /p considérée comme fonction du module ;■ et de l'argument p. Comme on aura

( 342 ) on en tirera, eu égard à la formule (7), (12) Dprp=i ^r, Ti.tp — ip,

et de ces formules , jointes aux équations

dip= Dpipdp + D;.ipdr, i ^ = iip,

on tirera

(i3) drp = ip(dr+ irdp).

Si, pour abréger, on désigne par la lettre z la quantité géométrique a,,, et si d'ailleurs on nomme x , j \es coordonnées rectangulaires du point dont l'affixe est z, le pôle étant pris pour origine, et l'axe polaire pour axe des a?, on aura

(i4) z = X'\-jï=rp;

et de cette dernière formule, jointe à l'équation (i3), et à l'équation ( i4) du paragraphe précédent, on tirera

(i5) dz = dx + id^ =: ip(dr+ ird/)).

§ III. — Sur tes dérwées des fonctions de quantités géométriques.

Soient (i) z = x +jr\

deux quantités géométriques variables , propres à représenter les affixes de deux points A et B qui, dans un certain plan, ont pour coordonnées rectangulaires, le premier les variables réelles x,j, le second les variables réelles X, Y. Comme je l'ai dit dans l'avant-dernier article, Z devra être censé fonction de z, si, la valeur de z étant donnée, on peut en déduire celle de Z, ou, en d'autres termes, si, la position du point A étant donnée, on peut en déduire celle du point B; et il suffira pour cela que les variables réelles X, J' soient des fonctions déterminées des variables réelles x ,j.

Concevons maintenant que l'on désigne, à l'aide de la lettre caractéristique A placée devant les variables

des accroissements finis ou infiniment petits attribués à ces mêmes variables. Supposons, d'ailleurs, que Z reste fonction continue de :■, du moins pour des valeurs de z comprises entre certaines limites. Pour de telles valeurs de z, à des accroissements infiniment petits Ajc, î^j de x^ y, correspondront des accroissements infiniment petits Az, \Z de z, Z; et la dérivée de la variable Z considérée comme fonction de z ne sera autre chose que la limite dont s'approchera indéfiniment le rapport

tandis que Ix , A^ s'approcheront indéfiniment de zéro. Cette dérivée sera désignée, comme dans le cas où z est réel , à l'aide de la lettre caractéristique D, par la notation D.Z. D'autre part, les quatre différentielles

dj:, d;-, ds, dZ

des quantités algébriques variables jc, j-, et des quantités géométriques variables r, Z, seront quatre quantités nouvelles, les deux premières algébriques, les deux dernières géométriques, dont les rapports seront précisément égaux aux limites des rapports entre les accroissements infiniment petits

Aor, Aj, As, AZ

de ces mêmes variables. Cela posé, la dérivée de Z, relative à c , se confondra évidemment avec le rapport différentiel de Z à r, c'est-à-dire avec le

rapport

àz

des différentielles dZ, d :, en sorte qu'on aura

àZ

Si, dans la foriiude(3), on substitue à la diftéieiitielle i\z, sa valeur tirée de la formule (i), savoir

dz = d x -+- id^,

et a la différentielle dZ, sa valeur foiu'uie par une équation semblable à la formule (4) du § II, savoir

dZ = D,Zdx + D,Zdr.

on trouvera

^^^ly.zA.^iyzày

Si, d'ailleurs, on pose

(5) ^ = tangîj,

oti, ce qui revient au même,

l'équation (4) donnera

dx dx

cos CI sin cj

D,Zcosct + Df 2sinra

cos CI + 1 sin o

puis, en ayant égard aux formules

ijj = COS37 + i sinsr, 1^1—3 = 1,

on tirera de l'équation (7),

(8) D;Z = i n(DrZcos3T 4- D^Zsinw j.

Il est bon d'observer que, dans les formules (4), (7), (8), les dérivées partielles D^-Z, D^Z varient généralement avec la position du point mobile A, et se réduisent à des fonctions des deux coordonnées rectangulaires X, y de ce même point, ou, ce qui levient au même, à des fonctions de l'affixe z. D'autre part, tandis que les coordonnées x , y varieront par degrés insensibles, le point A décrira généralement une courbe continue; et si par ce point on mène une droite qui forme, avec l'axe polaire, un angle tz propre à vérifier la formule (5), la direction de cette droite, appelée tangente^ sera ce qu'on peut nommer la direction de la courbe au point dont il s'agit. Si la ligne décrite par le point A se réduit à une droite, la tangente ne différera pas de cette même droite. Cela posé, il suit immédiatement de la formule (4), (7) ou (8) que la dérivée de Z, considérée comme fonction de z, dépend en général, non-seulement de la position du point A sur la ligne qu'il décrit, mais encore de la direction de cette ligne. Si cette direction devient parallèle à l'axe des x ou à l'axe des j, on aura

dj = o ou dx = o,

et la dérivée de Z , prise par rapport à z, sera , dans la première hypothèse,

dans la seconde hypothèse,

(10) £^=iD,Z;

comme on pourrait aussi le conclure de la formule (7) ou (8), en posant dans cette formule

cr = o ou î? = -•

Concevons maintenant que la fonction Z, supposée explicite, ou rendue explicite par la résolution de l'équation ou des équations qui la détermineraient, iio\t monodrnmc , du moins entre certaines limites de z; c'est-à-dire qu'entre ces limites elle conserve une valeur unique, en restant fonction continue de r, par conséquent de x et de j, tant qu'elle ne devient pas infinie. Concevons encore que les dérivées partielles du premier ordre

satisfassent à la même condition; c'est-à-dire qu'entre les limites données de z, chacune de ces dérivées partielles soit monodrome. Alors la dérivée

conservera entre les limites données de z, et tant qu'elle ne deviendra pas infinie, une valeur unique en restant fonction continue de la variable imaginaire z et de l'angle st. Ajoutons qu'en vertu de la formule (7) ou (8), cette dérivée deviendra indépendante de l'angle sr, si les deux valeurs particulières de cette dérivée, représentées par les expressions (9) et (10), deviennent égales entre elles. Alors, en effet, on aura

D,z „ „ (II) -f- = D,.Z,

par conséquent

(.2) D,.Z = iD,Z,

et l'équation (7) ou (8) donnera

quelle que soit d'ailleurs la valeur du rapport -p' o"; ^^ 'î"i revient au

même, de l'angle cr. Donc alors la dérivée

deviendra indépendante de la direction de la ligne que décrira le point mobile A , et se réduira simplement à une fonction des variables réelles jr, j-, ou, ce qui revient au même, à une fonction de la variable imaginaire z. D'ailleurs, pour que cette réduction s'effectue, il est évidemment nécessaire

£>. d'An, et lie n. math., T. 1\'. (■57'= livr.) 44

( 346 ) que la dérivée

conserve la même valeur quand la direction de la ligne décrite par le point A devient parallèle à l'axe des x, et quand elle devient parallèle à l'axe des j; en conséquence, il est nécessaire que les dérivées partielles de Z, relatives à ce et à j, savoir Dj.Z et D^Z, satisfassent à la condition exprimée par la formule (12).

Dans le cas spécial que nous venons d'indiquer, la dérivée D.Z sera, aussi bien que Z, du moins entre des limites données de Z, une fonction monodrome de cette variable.

Au reste, pour que la dérivée Ti-Z soit une fonction monodrome de la variable imaginaire z, entre des limites données de z, il n'est pas nécessaire qu'entre ces limites, la fonction Z soit elle-même monodrome : il suffit que les deux dérivées partielles du premier ordre

étant monodromes entre les limites dont il s'agit, satisfassent a l'équation (12).

Nous appellerons monogène une fonctioîi dont la dérivée sera monodrome. En vertu de la remarque précédente, une fonction de la variable imaginaire z pourra être monogène entre des limites données de z, sans être constamment monodrome entre ces mêmes limites.

Ainsi, par exemple, si l'on pose

ou , ce qui revient au même,

on aura encore, eu égard à la formule (3oj de la page 271,

(16) Z = - 1 [x- -h j'^) -i- i -p= arc cos — =

par conséquent,

et, comme les valeurs précédentes de D^Z, D,Z seront, entre des limites quelconques de la variable

z ^ X + f\ , des fonctions monodromes de cette variable qui vérifieront la condition (j 2),

( 347 ) la dérivée D.Z de Z = lz, déterminée par la formule (7) ou ^8), devra être aussi constamment une fonction monodrome de s, ce qu'il est aisé de vérifier, puisque l'on aura

Par suite, la fonction I2 sera constamment monogéne. Toutefois, cette fonction \z, qui restera elle-même monodrome, tandis que Ton fera varier X entre les limites o, 00 , cessera d'être monodrome quand jr deviendra négatif, puisque alors, en vertu de la formule (16), elle passera brusquement de la valeur

k la valeur

tandis que j passera, en décroissant, d'une valeur négative à une valeur positive.

Sur la différentiation des fonctions explicites ou implicites d'une ou de plusieurs quantités géométriques .

Les principes établis dans l'article précédent permettent d'obtenir facilement les différentielles des fonctions d'une ou de plusieurs quantités géométriques, quand ces fonctions se trouvent exprimées à l'aide des notations usuelles. De plus, en partant de ces principes, on reconnaît aisément que les formules et les propositions relatives à la différentiation des fonctions de variables réelles continuent généralement de subsister quand ces variables deviennent imaginaires. Ainsi, par exemple, Z étant fonction d'une variable imaginaire z, on aura, comme on l'a déjà remarqué dans 1 article précédent ,

(i) dZ = D^Zds;

et Z étant une fonction de plusieurs variables imaginaires ii, v , w,..., on aura généralement

(2) dZ = D„ZdM + D,Zdi'-hD,„Zdiv-f- ....

Les formules (i) et (2 ) fournissent les règles connues pour la détermination des fonctions de fonctions et des fonctions composées.

La différentiation des fonctions entières d'une variable unaginaire z s effectue de la même manière et conduit aux mêmes formules que dans le cas où cette variable est réelle. Ainsi, par exemple, x étant un nombre entier quelconque, et a, b^ c,..., des constantes imaginaires, on aura, pour des valeurs imaginaires, comme pour des valeurs réelles de z ,

(3) dr"= 7i:"-'d2,

(4) az-"= — //z-"-'d-.,

(5) A{a+ bz-{- cz^-h...+ kz") = {h+ 'icz -^ . ..+ ii/cz"') âz, et, par suite,

(8) D, (a + l>z + cz- -h...+ kz") = h + irz +...+ nkz"'' .

( 349 ) La même remarque s'applique aux fonctions rationnelles d'une variable imaginaire z. Leurs différentielles et leurs dérivées, exprimées en fonctions de z, sont précisément celles qu'on obtiendrait si z était réel. Considérons maintenant l'exponentielle e', et posons

z = X + J\, X, j étant réels; on aura

ou , ce qui revient au même,

puis on en conclura, eu égard à la formule (2),

et de cette dernière équation , combinée avec les formules

àe^^^e-'Ax, di,= i^idj-, dz = dx4-id^. on tirera

(9) «lé»' = e-d z, par conséquent

Donc la dérivée de l'exponentielle e~ est cette exponentielle même, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de z.

En partant de la formule (9), on déterminera sans peine les différentielles et les dérivées des exponentielles qui auraient pour base un nombre autre que e, comme aussi des fonctions entières ou même rationnelles d'exponentielles quelconques. Ainsi, par exemple, A étant un nombre quelconque, et a étant le logarithme népérien de a, on déduira de l'équation (9), jointe

à la formule

les équations

(ti) dA' =: AMAdz,

[vi) D,A^ = AMA.

Ue même, de l'équation ! 9), jointe aux formules

COS z r=: ■. , SUl Z =

on déduira immédiatement les différentielles et les dérivées de cos z et sui z,

considérées comme fonctions entières de l'exponentielle e^', et l'on trouvera ainsi ' •

(i3) d cosz. = — sin r-dz, d sin z = cos zdz,

(i4) D^ cosz = — sin s, D^sin s ;= cosz.

Enfin, des formules qui précèdent, jointes à l'équation (2), on déduira sans peine les différentielles et les dérivées d'une infinité de fonctions explicites d'une ou de plusieurs variables imaginaires.

Concevons , pour fixer les idées, que

Z = JT+Fi

représente une fonction de la variable imaginaire

z = a: + ji,

.r,^, X, 1^ étant des variables réelles. Pour que l'on puisse déduire de la formule (2), et de celles qui la suivent, les valeurs de la différentielle dZ, et de la dérivée

il suffira que les variables imaginaires z, Z puissent être considérées comme liées l'une à l'autre et à certaines variables auxiliaires

II, V, w,...,

de telle sorte que les diverses variables étant rangées dans un certain ordre indiqué par la suite

l'une quelconque d'entre elles, u par exemple, soit équivalente à une certaine fonction rationnelle des variables suivantes :

V, w,..., z, et des exponentielles

ou de quelques-unes de ces variables et de ces exponentielles. Dans cette hypothèse, la différentielle de m, considérée comme fonction de f, iv,..., z, sera fournie par une équation de la forme

(16) au— Ti^uàv + D„«dtv +...+ Ti.uàz;

la différentielle de Z , considérée comme fonction Ae . . . , u, v , w, . . ., z, sera fournie par une équation analogue; et, si de cette dernière on élimine

ies valeurs des différentielles

..., du, dv, div,...,

données par la formule (i6) et les formules de même espèce, l'équation résultante de l'élimination déterminera le rapport différentiel de Z à z, ou, en d'autres termes, la dérivée de Z considérée comme fonction de la seule variable z, par conséquent la valeur cherchée de D^ Z. D'ailleurs, cette valeur de D,Z sera généralement, ainsi que Z, une fonction continue de la variable z. dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à z; ou du moins les seules valeurs finies de z, pour lesquelles cette condition ne sera pas remplie, seront des valeurs singulières , propres à représenter les afïixes de certains points isolés et séparés les uns des autres. La circonstance particulière que nous venons de signaler se présenterait , par exemple, si l'on supposait

17) /=•-+-//. Il =z e' . ^" = 7-

et. par suile,

Alors la fonction Z et sa dérivée

resteraient finies et continues dans le voisinage de toute valeur finie de z distincte de zéro; mais Z exD-Z deviendraient simultanément discontinues pour une valeur nulle de -, et les limites dont s'approcheraient ces deux fonctions, tandis que la variable z =: x -h fi s'approcherait indéfiniment de zéro, pourraient être ou finies ou infinies. Ces limites seraient effective ment i et o, si Ton supposait 7^ = o, .r < o; elles seraient x et — ce , si Ion supposait j = o, x > o.

Si à la première des équations 17 ■ on substituait la suivante :

(20) Z=^^, on aurait

et les deux fonctions Z, D^Z deviendraient discontinues, non-seulement pour une valeur nulle de z , mais encore pour les valeurs singulières de z propres à vérifier la condition

(aS) e' = — 1,

c"est-à-dire pour toutes les valeurs de z données par la formule

(2/2 + IJtt

n étant un nombre entier quelconque.

Supposons maintenant que les termes de la suite (i 5), étant rangés dans un ordre quelconque, soient liés entre eux par des équations dont les premiers membres soient des fonctions rationnelles de ces mêmes termes et des exponentielles

les seconds membres étant réduits à zéro. En vertu de ces équations, quelques-unes des variables

seront des fonctions implicites des autres; et si le nombre des équations est égal au nombre des variables diminué de l'unité, Z sera une fonction implicite de z. Gela posé, il suffira évidemment de différentier les diverses équations , puis d'éliminer

dw, dt', dw,...

des équations différentielles ainsi formées, pour obtenir une équation finale que déterminera la différentielle dZ et la dérivée .

de Z considérée comme fonction de z. D'ailleurs, la valeur trouvée de D^Z sera généralement, ainsi que Z, une fonction continue de z, dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à z, ou du moins les seules valeurs finies de Z , pour lesquelles celte condition ne sera pas remplie , seront des valeurs singulières propres à représenter les affixes de certains points isolés et séparés les uns des autres.

Si, pour fixer les idées, on suppose Z lié à z par une seule équation

dont le premier membre C^soit une fonction rationnelle des variables z, Z

( 353 ) et des ex|)onentielles f?-, 1-'^, on Irouveri, en (lifftTcritiaiU celte équation. (26) l)^ [rdZ + i:)JWz = o,

et, par suite,

<l3 Vy ^'

on, ce <[iti revient au nnriie,

Supjjosons, |)ar exemple, Z lié à ; par léipiation

(pie Ton peut encore écrite comme il suit :

On trous ei a, en tlifiérentiant cette équation,

ou, ce cpii revient au même,