IZ / I
Il est bon dobserver <p!e, lians le cas où le nombre des varial)les imaginaires représentées par
Z. Il ^ l', IV. ..., z
surpasse dune luulé le nond)re des ét[uations auxquelles ces variables sont; assujetties, on peut obtenir la difierentielle dZ, et, par suite, la dérivée D^Z de Z considéré comme fonction de ;, ou en différentiant, connue on vient lie le dire, les équations données, ou en tirant d'abord de ces équations supposées résolubles la valeur de Z, et en différentiant celte valeur présentée sous la forme
z = x+ri.
Si, pour fixer les idées, on suppose Z lié à r par l'équation (28^, la foî;clion implicite Z admettra luie infinité de valeiws distinctes qui seront toutes compi'ises dans la formule
Ex.d \n.,i,L' \<h.mai.\ U ;'5"' livr.) 4^
la constante c désignant riin quelconque des termes de la progression arithmétique
— l\n\, — 27ii, o, 27ii, l\n\^
Par suite, la dérivée de Z considéré comme fonction de z se réduira toujours à la dérivée de
(3i) l:i = -l(x-+ r-) + i^arccos— =
D'ailleurs cette dernière dérivée sera, comme on l'a déjà remarqué dans l'article précédent,
(32) D,lr. = 1.
Donc, en supposant Z déterminé par l'équation (28), on aura, comme l'indique la formule (29),
observons, toutefois, que le calcul est plus simple quand on déduit directement la formule (29) de l'équation (28), sans recourir aux équations(3o) et(3i).
On voit, par cet exemple, que pour obtenir la dérivée d'une fonction explicite Z de la variable z, dans le cas où cette fonction coïncide avec l'une des valeurs d'une fonction implicite déterminée par une ou plusieurs équations, il peut être avantageux de différentier directement l'équation ou les équations données.
En partant de la formule (32), on obtient aisément les dérivées d'un grand nombre de fonctions explicites qui peuvent être exprimées en logarithmes népériens. Ainsi, par exemple, comme on a [page 280],
/QQN . 1 (1 -|-;i) — l(i — si)
(33) arctangz=^ '--^ ,
on en concluia
D- arc tane z = - : H
par conséquent ,
(34) D, arc tang z = — ^ ■
De même encore, comme, en désignant par a une constante arbitrairement choisie, on a identiquement [3*^ vol., page 38 1]
( 355 ) on en conclura
B.z" = e"^' aBA{z] = a on, ce qui revient au même, (36) D,:" = rt:"-'.
On trouvera, en particulier.
puis ou en conclura, en remplaçant r par i — z'- (38) D,(.-.= )^ =
Enfin, comme on aura [pagP 282]
(39) arcsins = ^ 1 [^ , -2 ^ ;ij^
on tirera de celte dernière écpiation. jointe aux fbrniides 32^ et 38),
(40) D- arc sin : = .
Les fonctions explicites qui, comme arc tang z, :", arc sin z s'expriment en logarithmes népériens, peuvent être aussi considérées comme représentant certaines valeurs de fonctions implicites déterminées par des équations dont les deux membres renferment uniquement des fractions rationnelles et des exponentielles népériennes. Ainsi, par exemple, arc tangZ est luie des valeurs de Z propres à vérifier l'équation
z" est une des valeurs de Z fournies par le système des deux é([uations
enfin, arc sin z est luie des valeurs de Z fournies par le système des équations
(43) e^' = u + zi. H- = i — Z-.
Cela posé, on ne doit pas être surpris de voir que les formules (34) et ^3G) peuvent être déduites directement des équations (4i) et (42).
Mémoire sur les clefs algébriques.
Je nomme chjt. algébriques des variables qui n'apparaisseiit que passagèrement en des forniiiles où leurs produits sont définitivenient remplacés par des quantités qui peuvent être arbitrairement choisies. Ces variables mérilent doublement le nom de clefs, puisque leur intervention permet, non-seulement d'inlroduiie avec facilité dans le calcul des quantités qui se glissent A leur suite, et auxquelles elles ouvrent la porte pour ainsi dire, mais encore de résoudre promptement un grand nombre de questions diverses.
On peut d'ailleurs employer, comme clefs algébriques, toutes sortes de quantités variables, même celles que l'on nomme di^/ercfitielles et variations.
§ \" . — Consiclératians générales. Notations,
Considérons, d'une part, m variables
a, S, '/,.., vj;
d'auti-e i)art, // fonctioiis linéaires et homogènes de ces variables, représentées par
)., /J.. V,..., ç, en S(jrte qu'on ait
X = rt, a + /', S + c, 7 -!-..+-//,/; ,
^1 ) ''l ; *- { 7 • • • ) '' I 7 '^a J ^2 ? ^2 5- • ■ > "2 5 '^3 1 -':î > ^-3 )■ • ■ î "3 ! ^n1 ''il-: ^It 1 • ■
étant des coefficients constants. Le produit
^ :-i57 ) (le ces fonctions niulli|)liies l'une par l'aiilre dans un ordre déterminé pourra être décomposé en produits partiels dont chacun renfernicrn ini coefficient constant avec ti facteurs variables ég-aux ou inégaux; et l'on |)ourra, dans chaque produit partiel, conserver la trace de l'ordre dans lequel les multiplications sont effectuées, en écrivant le premier le facteur variable qui appartient à la fonction ),; puis, à la suite de celui-ci, le fac^ leur variable qui appartient à la fonction p.,...; puis, à la dernière place, le facteur variable qui appartient à la fonction ç. De plus, après avoir ainsi décomposé le produit (2) en plusieurs termes, on jiourra , dans chaque terme, rem|)lacer le |)roduit des facteurs variables par une quantité arbitrairement choisie, et même substituts- deux quantités distinctes à deux produits cjui ne différeront enire eux que |)ai l'ordre des facteurs. En vertu des substitutions de cette nature, le protiuit (2) se îransformei-a en une quantité nouvelle que nous appellerons piodiiit sjniholkjiie, et que nous désignerons par la notation
(3) |),av...ç|,
en renfermant le produit donné entre deux traits verticaux. Nous indiquerons les substitutions elles-mêmes sous le nom de traimniUntions, ei chacune des quantités substituées par le produit auquel on la substitue, renfermé encore entre deux traits. Enfin, nous nommerons clejs algéhiicjrtes les variables a, §, 7,..., /? qui, momentanément admises dans le calcul, disparaissent quand on passe du produit (2) au |)roduit (3), et nous dirons que ce dernier produit a pour Jacierirs sji7iboli(ines les fonctions linéaires ),, ix, V,..., ç.
Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait m =: 2, n =^ a, en soite que les formules (1) se réduisent aux deux équations
/ = rt| a -I- y, c,
Un aura, dans cette hypothèse,
(5) ).iJ. = a,a.,a' + ii,b.jry.§ -h /i^a^cot. -i- h,l)në'^; par conséijuent,
(6) I X'x I == rt, r/j I a^ I -(- (7, l>2 I c.ê I + l>, o., \ Sa | + h, h^ et, si l'on assujettit les clefs a, S aux transnnilations
(7 ) \c/}\ = \, I ao I = 2, i êa I = j, I S- 1 = 4 ,
( 358 ) on trouvera
(8) I Xp. ! = C/, (7.. 4- 2f7, /)., + 3 /), (72 + 4 ^'( f>--
Ajoutons que la valeur du produit symbolique | X/j. | sera modifiée si Ton échange entre eux les deux facteurs X, [j.. En effet, en supposant toujours les clefs a, S assujetties aux transmutations (7), on trouvera
Comme on le voit, en multipliant l'une par l'autre des fonctions linéaires de clefs algébriques, on construit en quelque sorte un moule dans lequel des quantités arbitrairement choisies viennent prendre les places d'abord occupées par les divers produits de ces mêmes clefs. Le produit symbolique ainsi obtenu dépend tout à la fois et des coefficients des clefs dans les fonctions linéaires données, et des quantités substituées, ou, en d'autres termes, de la nature des transmutations. On conçoit, qu'en raison de cette nature, un produit symbolique peut acquérir des propriétés qui facilitent notablement la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème; et l'habileté du calculateur consiste à choisir les transmutations qui lui permettent d'atteindre avec moins de travail le but qu'il s'est proposé.
Si , en adoptant les notations ci-dessus mcntioiniées, on nomme /. un produit de clefs algébriques rangées dans un certain ordre, la substitution d'une quantité déterminée k au pioduit y. sera indiquée par la formule
.Si, dans cette formule on voulait supprimer les traits entre lesquels est renfermé le produit z, on devrait en même temps, pour éviter toute méprise, substituer au signe = un signe différent, par exemple le signe ^r; que j'ai déjà employé pour cet usage dans les Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences. Alors, à la place de la formule (10), on obtiendrait celle-ci fil) /.=^\\.
& II, — Décnmpnsiiinn cla sommes alternées, caiinnes sous Ir nom de résultantes, en facteurs
symboliques.
Les sommes alternées que nous avons déjà considérées dans le second .volume de cet ouvrage (page 160), peuvent être facilement décomposées en produits symboliques.
En effet, considérons d'abord la somme alternée s , formée avec les quatre
(359 ) lermes du tableau
et fournie par l'équation
(2) i = S il a, br.) = a, b.^ — a.J),.
Si l'on donne pour coefficients à deux clefs algébriques c/.. z dans deux fonctions linéaires /, a, les ternies que renferment la première et la seconde ligne horizontale du tableau i\ on aura non-seulement
mais encore
(4) I Ày. ] = a, «, ; a= I - rt, h, | aê | + b, a. 1 !a | + b, h, ê^ ;
et, pour c|ue le prot'.uit symbolique '/y. | se réduise à la résultante ,s , d sut- Hra évidemment de poser
(5) Ia=| = o, iagi = i, ;ia|=-i, |i-| = o. Sous cette condition, l'on aura
et ). , ;j. seront les facteurs symboliques de la résultante s. Si, aux formules (5) on substituait les suivantes :
(7) |a=! = o, |ca| = — ac|, [o-ji^o, alors, a la place de l'équation (6), on obtiendrait la lornude
; Xfj. 1 = 5 j aê I ,
ou
dans laquelle il suffirait de poser ! aS j = i pour retrouver l'équation (6). Remarquons d'ailleurs que la seconde des formules (7) peut s'écrire connue il suit :
(9) |aêl + |ca| = o,
et que la formule (9) donne 1 a' | = o ou | g^ | = o quand on y suppose c = a. Donc, en définitive, les transmutations (7) sont toutes trois comprises dans la formule (9". Donc il suffit de recourir à cette fornuile et à
telles qui s'en déduisent, pour obtenir ré<[uation (8), et, par suite, pour liécomposer en (acteurs symboliques la somme alternée s, c'est-à-dire la résultante algébrique formée avec les quatre termes du tableau (i).
Considérons maintenant la somme alternée s formée avec les divers termes du tableau
I rt, , /',, r„...., ^2,
et fournie jiar l'équation
(il) J = S(ih a,b.,C3...h„) = a^b^c,... //„ — ....
le nombre des lettres a, b,c,...,h étant é2;al à n. Représentons d'ailleins par
ti clefs algébriques distinctes, et par
n fonctions linéaires de ces mêmes clefs. Si Ion donne à ces clefs pour coefficients, dans les fonctions linéaires ). , fx, v,..., ç, les termes que renferment la première, la deuxième, la troisième, etc., la dernière ligne horizontale du tableau '5 , c'est-à-dire si l'on pose
>. = rt, a -^ ^1 ê -4- f I 7 -i- ... -f- //, y;,
: = a„ 7. 4- b„ 3 + <■„ 7 -4- . . -T- b„ r, ; le produit symbolique
(i3' |/av .. ;; —a, /'0C3... //„ 'acy... 'n] + ■■■
sera évidenumut une fonction liîiéaire du produit
et de tous ceux qu'on peiU obtenir en multipliant liai par l'autre n fadeurs distincts ou non distincts, pris dans la suite
rr, b, c,..., //,
et en plaçant, au bas de ces facteurs écrits à la suite les uns des autres, les indices i, 2, 3,..., n. Ajoutons que, si Ton représente par k Tun quelconque de ces produits et par k |/] le terme proportionnel à A dans le second membre de la formule (i3), il suftîra, pour obtenir le produit x, d'effacer dans le produit k les indices placés au bas des lettres, et d'y substituer partout la lettre a à la lettre rt, la lettre S à la lettre h, etc., la lettre >j à la lettre h.
D'autre part, pour que le produit A soit l'un de ceux que contient la résultante s, i! est nécessaire qu'il renferme une seule fois chacune des lettres
et, lorsque celte condition sera remplie, le produit k ])ourra être, dans la résultante s, affecté du signe + ou du signe — . Il y sera, en effet, aftécté du signe -t-, si, pour passer du produit
a, /KC3... h„
au produit k, il faut opérer entre les lettres (t, b, c,..., h, prises deux à deux, un nombre pair d'éclianges, et du signe — dans le cas contraire. Donc, pour réduire le produit symbolique |Xfj.y...ç|, déterminé par la formule ( i3), à la résultante ^, on devra poser
quand l'une quelconque des lettres
a, 6, 7,..., ri
entrera deux ou plusieurs fois comme facteur dans le produit x, et poser, au contraire,
ou
quand le prodint x renfermera une seule fois chacune des lettres
la formule (i5) étant relative au cas où l'on sera obligé d'opérer entre ces lettres prises deux à deux un nombre pair d'échanges, pour passer du produit laoy... r,\ au produit lx|. Sous ces conditions, la formule (i 3) donnera
(17) s = |Xp.v... ç|;
Ez. d\n. et ,/f fhs. math., T. IV. (48'= livr.) 4"
et, par conséquent, X, fi., v,.-., Ç seront les facteurs symboliques de la résultante s.
Si, en conservant la formule (i4)> on remplaçait les formules (i5) et (i6) par les suivantes : ■ •
(19) |>t| = — laSy... rîl,
alors, à la place de l'équation (17), on obtiendrait la formule
|>.p... ç| =s\a§y... vjI, ou
dans laquelle il suffirait de poser
(21) I aSy... >3 1 r= I,
pour retrouver l'équation (17).
Au reste, pour déduire les formules (i4), (18) et (19) des transmutations de la forme
(22) |êa| = — I aê|, /
il suffit d'admettre que les transmutations de cette forme continuent de subsister quand on introduit une ou plusieurs fois de suite dans les deux membres, entre les traits verticaux, de nouveaux facteurs auxquels on assigne les mêmes places, et qu'elles continuent encore de subsister quand les divers facteurs ne sont pas tous distincts les uns des autres.
Ainsi, par exemple, si les clefs que l'on considère se réduisent à trois,
on pourra évidemment, avec ces trois clefs, former les six produits symboliques
i I a§7 1 , I gya | , | yaS | ,
f I ayê I , I êay | , | ySa | .
Alors aussi les transmutations de la forme (22) seront au nombre de trois, savoir :
(24) |7g| = — |gy|, |aY| — — lyal, |g!z| = — |ag|.
Or, si dans chacune de ces dernières transmutations on introduit la clef qu'elle ne renferme pas entre les traits verticaux en lui assignant dans
chaque membre ou la première ou la dernière place, on trouvera, dans le premier cas,
(25) I ayS I = - I aê'/ 1, | gay | = | gya |, | ySa | = - | yaS | ; dans le second cas,
(26) |yga| = -|gya„ |ayê| = - | yag|, | gay] = - |aêy | .
On aura donc
(27) ( |aêy|= lgya|= |yag|, I =-|ayg| = -|gayI=.-|yag|;
et, par suite, en nommant |x. | l'un quelconque des produits (23), on trouvera
(28) |/|= lagyl, ou
(29) |x.| = - lagyl,
suivant que le produit | z | se déduira du produit j agy | à l'aide d'un nombre pair ou impair d'échanges opérés entre les trois clefs a, g, y prises deux à deux. Ajoutons que, si les formules (a4) et celles qui s'en déduisent continuent de subsister quand ces formules renferment deux ou trois facteurs égaux entre eux, elles entraîneront avec elles les transmutations
(30) |aM = o, |g'| = o, 1/1 = 0;
(|g-y|=o, |y=a|=o, |a-ê| = o, ( I yc^ 1 = 0, I ya= | = o, | ga= | = o,
c" est-à-dire les transmutations de la forme
|x| étant le produit symbolique de trois facteurs dont deux au moins se confondent l'un avec l'autre, et chacun de ces facteurs étant l'une des trois clefs
On vient de voir avec quelle facilité s'opère la décomposition des sommes alternées en facteurs sj'mboliques. Cette décomposition une fois opérée, on peut s'en servir avec avantage pour découvrir ou pour démontrer les principales propriétés des sommes alternées. D'ailleurs, les transmutations auxquelles nous avons été conduits par le calcul , ont des formes spéciales
comprises elles-mêmes dans des formes plus générales qui méritent d"èlre remarquées, et qui seront indiquées dans le paragraphe suivant.
§ III. — Transmutations géométriques et homogènes. Transmutations et clefs anastrophiques.
Étant données n clefs diverses '
soient
divers produits symboliques dont chacun ait pour facteurs quelques-unes de ces clefs. Les transmutations auxquelles on assujettit les clefs a, ë, 7,..., r), pourront être de deux espèces différentes. En effet, chacune de ces transmutations pourra ou fournir immédiatement la valeur k d'un produit symbolique ) x | , et se réduire ainsi à la forme
ou établir une certaine relation entre divers produits symboliques | 5 ], \i\, \y.\ — On doit surtout remarquer les transmutations qui fournissent les rapports géométriques de ces produits, pris deux à deux, et qui seront nommées , pour cette raison , transmutations géométriques. Considérons, pour fixer les idées, inie transmutation géométrique qui fournisse le rapport rde deux produits symboliques |z|, |i|. Cette transmutation pourra s'écrire comme il suit :
et le rapport r prendra le nom de module. Cela posé, il est clair qu'à chaque transmutation géométrique correspondront généralement deux modules inverses l'un de l'autre. Car le module r étant le rapport géométrique de
I X I à I r I , le module inverse - ou r" ' représentera le rapport inverse de
\i\ à |x|, et la transmutation (2) pourra encore être présentée sous sa forme
Cette même transmutation sera nommée réciproque ^ si la formule (2) continue de subsister quand on échange entre eux les produits symboliques 1 1 1, |x|, c'est-à-dire si l'on a non-seulement
VA = r\t\,
( 365 ) mais, réciproquement ,
(4) hl = r|x|.
Dans cette dernière hypothèse, la formule (4) devant se confondre avec la formule (3), les deux modules r, /■"' deviendront égaux entre eux, et l'on aura en conséquence
ou, ce qui revient au même,
(5) /--., puis on en conclura ou
(6) r==i, ou
Les formules (a), (3), (4) seront réduites, dans le premier cas, à la transmutation
(8) l-^-l^lM;
dans le second cas, à la transmutation
(9) 1^1 = — l'I' que l'on pourra encore écrire comme il suit :
(10) |jt| + |i| = o.
Si, dans une transmutation géométrique
les produits symboliques 1x1,1(1, que renferment les deux membres, se réduisent à un seul et même produit symbolique | x |, le module r sera nécessairement l'unité, et la transformation réduite à la forme
sera ce que nous nommerons une transmutation identique.
Si les produits | x |, 1 1 1 sont distincts, mais composés des mêmes facteius, chacun des facteurs étant l'une des clefs
a, g, 7,..., Yi, et si ces deux produits ne diffèrent l'un de l'autre que par l'ordre dans le-
( 366 ) quel ces facteurs sont écrits, la transmutation
sera dite homogène, queï que soit le module /'. Elle sera homogène et réciproque si le module r se réduit à l'une des deux quantités — i , + t .
Le degré d'une transmutation homogène sera le degré même des produits dentelle détermine le rapport géométrique, c'est-à-dire le nombre m des clefs employées comme facteurs dans chaque produit. La transmutation sera dite binaire, lorsqu'on aura /?/ = 2; ternaire, lorsqu'on aura wz = 3; quaternaire , lorsqu'on aura m = 4; etc.
Ainsi, par exemple, les clefs données étant «, b , y, etc., les transmutations homogènes
I Sa I = I aS I , I êa I = — I aS I
seront binaires ou du second degré; les suivantes
I '/aS I = I aSy | , | aaS | = — | aêa | , . . • ,
seront ternaires ou du troisième degré ; etc.
Avant d'aller plus loin, il sera bon d'examiner attentivement les divers produits symboliques
\o\, VA^ in,
que l'on peut former avec m facteurs distincts arbitrairement choisis parmi les clefs
a, g, 7,..., ri,
et de comparer ces divers produits à l'un d'entre eux pris pour type, par exemple au produit symbolique |a|, dans leqviel les diverses lettres qui représentent ces mêmes facteurs se trouveraient rangées dans l'ordre indiqué par l'alphabet.
Soit I Q I l'un quelconque des produits en question. Lorsqu'une clef placée avant une autre clef dans l'alphabet, ou, ce qui revient au même, dans le produit |al sera, au contraire, placée après elle dans le produit |6|, nous dirons que le produit | 5 | offre une i?iversion relative au système de ces deux clefs. Le nombre total des inversions, dans le produit |ô |, sera évidemment égal ou inférieur au nombre des combinaisons que l'on peut former avec m lettres prises deux à deux , c'est-à-dire au rapport ,
et pourra d'ailleurs être pair ou impair. En d'autres termes, le nombre des
( 367 ) inversions, divisé par a, donnera ponr reste o ou i. Ce reste sera ce que nous nommerons Y indice du produit \6 \. Cela posé, on pourra partager en deux classes les divers produits symboliques formés avec m facteurs ilistincts, et ranger chacun de ces produits dans \a. première classe ou dans la seconde, suivant qu'il aura pour indice zéro ou l'unité. Soient maintenant
deux produits symboliques distincts formés avec les m facteurs donnés. ()i pourra déduire le produit | /. | du produit | ! | , soit à l'aide d'un seul échange opéré entre deux clefs, soit à l'aide de plusieurs échanges de cette espèce, et même supposer chaque échange opéré entre deux clefs juxtaposées, c'està-dire entre deux clefs dont l'une suit immédiatement l'autre dans le produit symbolique [i\. En effet, à l'aide de semblables échanges successivement opérés, on pourra toujours, dans le produit symbolique \i\, amener ime clef quelconc[ue à une place quelconqu.e. On pourra, par exemple, amener à la première place la clef qui occupe effectivement cette place dans le produit \y.\; on pourra ensuite amener à la seconde place la clef qui, dans j z |, occupe cette seconde place, etc.; et continuer ainsi jusqu'à ce que du produit symbolique | y. [ on ait déduit le produit symbolique 1 1 1, D'ailleurs, lorsque dans un produit de m clefs distinctes on échange entre elles deux clefs juxtaposées, lui tel échange fait évidemment naître nu disparaître une seule inversion; par conséquent, il fait passer ce produit de la première classe à la seconde, ou de la seconde classe à la première. Donc les produits |!|, |x| appartiendront l'un à la première classe, l'autre à la seconde, si on peut les déduire l'un de l'autre par un nombre impair d'échanges successivement opérés entre des clefs juxtaposées; ils seront tie même classe si le nombre des échanges de cette espèce, à l'aide desquels on peut déduire |zj de |!|, est ini nombre pair.
Si l'on considérait , dans le produit | £ | , deux clefs 7., S, dont la seconde i occuperait, à la suite de a, non plus la première, mais la /'"""" place, il suffirait, pour échanger ces deux clefs entre elles, d'amener à l'aide de / échanges successivement opérés entre des clefs juxtaposées, la clef a à la ])lace primitivement occupée par la clef c, puis de ramener la clef ê de la place pn-'cédente à celle que la clef a occupait d'abord, à l'aide de /— i autres échanges opérés encore entre des clefs juxtaposées. Le nombre total des échanges effectués dans l'un et l'autre cas étant a/— i, par conséquent, un nombre impair, nous devons conclure que les ]M'oduits .symboliques [i\, jxj seront toujours de classes distinctes, s'Us se déduisent l'r.n de
l'autre à l'aide d'un seul échange opéré entre deux clefs, quelles que soient d'ailleurs les places contiguës ou non conligui'S occupées par les deux clefs dans chacun des deux produits.
Par suite aussi, le nombre des échanges à l'aide desquels on pourra déduire l'un de l'autre deux produits \t\, | x | de m facteurs distincts, sera toujours, quelles que soient les clefs échangées entre elles, un nombre pair si ces deux produits sont de même classe, ou, ce qui revient au même, si la différence de leurs indices est zéro; un nombre impair si les deux produits sont de classes différentes, ou, ce qui revient au même, si la différence de leurs indices est l'unité.
Concevons maintenant qu'après avoir formé les divers produits symboliques qui peuvent être construits avec m clefs distinctes, on égale entre eux tous ces produits, pris les uns avec le signe +, les autres avec le signe — , suivant qu'ils appartiennent à la première classe ou à la seconde. La formule ainsi obtenue déterminera les rapports géométriques de tous ces produits; et, si l'on nomme l;], |x| deux quelconques d'entre eux, on aura
(i^) ■- ■ |xi = (-iyh|,
l étant la différence entre les indices des deux produits 1 1 1, | x |. En d'autres termes, ces deux produits seront liés l'un à lautre par une transmutation homogène et réciproque , dont le module r sera
L'exposant / de — i dans ce module, c'est-à-dire la différence entre les indices des deux produits, toujours équivalente à zéro ou à l'unité, ser; V indice de la transmutation qui se réduira évidemment à la formule (8) S: l'on a / = o, à la formule (y) si l'on a / = i .
Parmi les transmutations comprises dans l'équation (12), on doit remarquer la transmutation qu'on obtient quand les deux produits |x|, |t| se déduisent l'un de l'autre à l'aide d'iui seul échange opéré entre deux clefs, et qui est toujours de la forme
Telle sera, par exemple, la transmutation binaire
1 6a I = — I ^^ i • Telle sera encore la transmutation
I û(.ây§i I := — I aëyâi \ ,
dans laquelle les deux produits S3'mboliqnes |ac'/c?c|, | ac?'/c£ | se déduisent Tun de l'autre à laide d'un seul échange opéré entre les deux clefs 5', c?. L^ne telle transmutation sera nommée anastrophique, son principal caractère étant l'espèce d'inversion \^ava7Tosçv;, in^'crsio, seu coiiversio inconiialinin pnrtein), qui résulte pour un produit symbolique \'.\ d'un échange opéré entre deux clefs. Pour bien voir en quoi consiste cette inversion, il suffit d'observer que la valeiu- d'un produit symbolique peut être représentée, comme toute autre quantité, par une longueur portée, à partir d'un point fixe, sur une certaine droite, dans une certaine direction lorsque cette valeur est positive, dans une dii-ection inverse ou contraire lorsque cette valeur est négative; et qu'une transmutation anastrophicp.ie fait correspondi-e à un échange opéré entre deux clefs ou , ce qui revient au même, à Vinversion du sjstènie des deux lettres qui désignent ces clefs dans ini produit symbolic{ue, une autre inversion, savoir le changement de direction de la longueur qui représente le produit symbolique, et qui se trouve , après l'échange, dirigée en sens inverse.
Lorsqu'on ne peut, du produit symbolique l;], déduire le produit \y.\. formé a\ec les mêmes clefs, à l'aide dun seul échange opéré entre deux de ces clefs, on peut du moins passer d'un produit à l'autre à l'aide de plusieurs semblables échanges. Alors, pour que les produits J!J, | xJ vérifient la formule (12 , il suffit évidemment de les assujettir, avec les produits intermédiaires successivement obtenus, aux transmutations anastrophiques dont chacune exprime que deux produits consécutifs offrent la même valein- numérique, l'un des deux étant égal a l'autre précédé du signe — .
Ainsi, par exemple, pour que les trois clefs
a, c, 7 vérifient la transnuitation
il suffit quelles vérifient les deux transmutations anastrophiques
formées avec les deux produits | aêy ], j yaé | et le produit intermédiaire | ayc j. De ce qu'on vient de due, il résulte que, pour assujettir un système de n clefs
à toutes les transmutations homogènes et réciproques de la forme indiquée
Er. dAn. cl de Ph. math., T. IV. (48= livr.) 47
par l'équation (12), il suffit de les assujettir aux diverses transmutations anastrophiques que l'on peut former avec des facteurs distincts arbitrairement choisis parmi ces mêmes clefs.
Jusqu'ici, nous avons supposé que, dans une transmutation anastro-
pliique
•r- - Il Il
les diverses clefs étaient distinctes l'une de l'autre. Supposons maintenant qu'il en soit autrement, et que des deux clefs échangées entre elles, la seconde ne diffère pas de la première. Alors les produits symboliques | ! |, I x I ne différeront pas l'un de l'autre, et la transmutation anastrophique donnera
ou, ce qui revient au même,
et, par suite, • -
Donc, lorsque dans le produit |x| les diverses clefs employées comme facteurs ne sont pas toutes distinctes les unes des autres, la transmutation (i4) peut être envisagée comme une transmutation anastrophique dans laquelle les deux facteurs échangés entre eux sont représentés par la même lettre. Ainsi, par exemple, les deux transmutations
I a.a§\ = o, I aSa \ = o, se confondent avec les deux formules
I aaê I = — I aaê | , | aêa | = — | aêa | ,
c'est-à-dire avec deux transmutations anastrophiques dans lesquelles les deux clefs échangées entre elles sont représentées Tune et l'autre par la lettre a. Ajoutons que, dans les transmutations de cette espèce, on peut sans inconvénient écrire sous la forme de puissance un produit de facteurs consécutifs égaux entre eux. Ainsi, en particulier, la transmutation
j aaaêoy | = o
pourra être présentée sous la forme
Les notions précédentes étant admises, considérons un système de clefs
assujetties à vérifier les diverses transmutations aiiastrophiques que l'on peut former avec des produits symboliques de facteurs distincts ou non distincts, arbitrairement choisis parmi ces mêmes clefs. Ce système et ces clefs seront nommés annitropJiirjues. Cela posé, si le système des clefs
est anastroj)ljique. tout |)roduit symbolique dans lequel une même clef entrera uiie ou [)!usietu's fois comme facteur, oftVira une valeur ludle. Quant aux produits symboliques qu'on pourra former avec des clefs déterminé; s, prises dans le système, mais distinctes les imes des autres, ils offriront tous la même valeur niuriérique, leurs sicties étant semblables ou contraires, suivant qu'ils seront de même classe ou de classes différentes. On connaîtra donc les rapports géométriques des divers produits symboliques dans lesquels entreront les mêmes clefs supposées distinctes les unes des autres. Mais les transmutations anastrophiqnes, qui établiront ces rapjiorts. permettront de choisir aibitrairement lun des produits symboliques construits avec des facteurs donnés. Il convient d'aiilciu-s <reffectuer ce choix de manière à simiilifier les formules. C'est ce que nous avons ih-j'i iait dans le § II , où les clefs
que renferment les facteiu's symboliques d'une somme allerm'e, peuvent être considérées comme des clefs anastrophiqnes assujetties à vérifier, nonseulement les transmutations anastrophiques dans lesquelles elles entrent comme facteurs, mais aussi la condition
aiy... v; î = t.
En supposant que
représentent des produits symboliques de degrés égaux ou inégaux, on peut. après avoir nudtijdié l'un par l'autre deux ou plusieurs de ces produits, remplacer le résultat par le produit luiique qu'on obtiendrait si l'on supprimait les traits verticaux qui séparent deux produits écrits à la suite l'un de l'autre. La transmutation qu'on formera de cette manière sera nommée transuuifation conjoncth-e. Telles sont, par exemple, les transnuitatioiis
I a= I I § 1 ^ , a= 1 1 , 1 ag | |7c?j | J 1 | — ' | a=Vo\ i , 1 aSy' c?£ — ; y^'l'^t |, ■ • • •
dans lesquelles ,c ne diffère pas de =, ni c' de a.
( 'ij^ )
Cela posé, pour qu'un système donné de clefs
soit anastrophique, il suffit évidemment que ces clefs vérifient d'une part les transmutations anastrophiques binaires, c'est-à dire les transmutations qui se présentent sous l'une des deux formes
(i5) |ga| = -|a§|,
d'autre part, les diverses transmutations conjonctives forméesavec ces mêmes clefs. En effet, pour que les clefs a, S, '/vi '0 soient anastrophiques, il suffit qu'elles vérifient les transmutations anastrophiques dans lesquelles deux facteurs consécutifs sont échangés entre eux, et l'une quelconque de ces transmutations anastrophiques pourra toujours être déduite d'une transmutation anastrophique du second degré, jointe à deux transmutations conjonctives. Ainsi, par exemple, pour établir l'équation
|a7gc?£| = - \c/M'i^i\,
il suffira de joindre à la transmutation anastrophique binaire
I yS I = - I êy I
les deux transmutations conjonctives
\a.\yjî\\âi\:=^\a-i^^E\, | a | | gy 1 1 d's | :r:: | aSycS^s |.
Concevons à présent qu'étant données n clefs anastrophiques
a, S, y,..., -fi, on désigne, à l'aide des lettres
n fonctions linéaires de ces mêmes clefs. Soient d'ailleurs
deux produits symboliques formés avec m facteurs arbitrairement choisis, non plus parmi les clefs a, ê, y,..., /y, mais parmi les termes de la suite ?>, jx, V,..., g. Enfin, supposons que les produits |I|, |Rj, dont les facteurs sont les mêmes, se déduisent l'un de l'autre à l'aide d'un seul échange opéré entre ces facteurs. On pourra décomposer 1 1| et |K| en produits partiels qui,
( 373 ) pris deux à deux, se correspondront et revêtiront les formes
./^désignant un coefficient constant, et |!|, |/| deux produits svnibolicpies formés tous deux avec les clefs a, S, y,..., /i rangées dans un ordre tel. que i z| se déduise de 1 1 1 à Taide d'un seul écliange opéré entre ces clefs. Or, les clefs a, c, y,..., r, étant supposées anastrophiques, on aura
par conséquent,
Donc les j)roduits symboliques |I|, [K] se composeront de termes qui, pris tleux à deux, seront égaux, aux signes près, mais affectés désignes contraires, et l'on aiu-a encore
Ainsi, par exemple, dans l'hypothèse admise, les teinies de la suite
>,, ij., V,..., ;
vérifieront les transmutations anastrophiques
I ;jiX I ^ — I ).a I , I ).v^uL I = — i '/.!j.y ' , —
Il y a plus : la formule (17), qui subsistera quels que soient les facteurs échangés entre eux dans les produits |I| et |K|, s'étendra, dans l'hypothèse admise , tout comme la transmutation anastrophique
au cas même ou les deux facteurs échangés entre eux. seiout re[)ré>eiites par la même lettre, et donnera dans ce cas
|K| = -|Ri,
ou, ce qui revient au même,
et, par suite,
On aura, par exemple,
( 374 ) ou, ce qui levieut avi même, » •
I X' I = O, I X*/jr. I = O,....
Cela posé, la suite
composée de termes qui vérifieront les transnuitations de la forme (17) ou (18), c'est-à-dire les transmutations anastrophiques formées avec des produits symboliques de facteurs arbitrairement choisis parmi ces termes, pourra être considérée comme représentant un nouveau système de clefs anastrophiques. En conséquence, on poiura énoncer la proposition suivante :
Théoièinc. Si, avec n clefs anastrophiques
a, g, 7,..., T, on construit 11 fonctions linéaires
ces fonctions constitueront encore un système de clefs anastropiiiques.
§ IV. — Sur Icx fondions représentées par des produits syniholiqties de clefs anirstropliiiiues.
Dans le § II de ce Mémoire, la recherche des facteurs syndjoliques des sommes alternées nous a mis sur la trace des clefs anastrophiques. En suivant une marche inverse, nous allons déduire de la considération de ces mêmes clefs, non-seulement la notion des sommes alternées connues sous le nom de rcsulfantes , mais encore leurs principales propriétés.
Soient
n clefs anastrophiques, et
«fonctions linéaires de ces clefs, déterminées par les équations (1.2) du ^ II , c'est-à-dire par les formules
X = a, a + ^, g -H f, 7 -4- ... -I- //,/;, /:;. = rt, a + b^è + Co 7 -)- ... -^ h., r, . (i) . / V = c/3 a -t- 63 g + c\ 7 -J- . . . + //.T r, ,
( 375) I-o produit symbolique
|),^v...çl.
décomposé en produits |)artiels, ne pourra offrir aucun ternie dans leqnel entre deux ou plusieurs fois, comme facteur, Tune des clefs
par conséquent aucun terme dans lequel reparaiss-.' deux ou j)lusipuis fois l'une des lettres
mais il renfermera, outre le produit partiel
a,b.u\... h„ \rj.z-i... r, |,
fous ceux qu'on jieut en déduire, soit à l'aide d'un échange op('ré d'une part entre deux clefs, d'autre part entre celles des lettres
qui correspondent à ces deux clefs, soit à l'aide de j)iusieurs échanges ilf cette es|)ece. D'ailleurs, comme un échange opéré entre deux clefs dans nu produit de la forme
laoy... vîi
a pour effet unique tle changer le signe de ce produit, ou doit évidenuueut, de ce qu'on vient de dire, conclure que l'on aiu'a
(2) p.^v... ; = A i asy... r, ,
,f étant la souune iju'on obtient c]uand au produit
1 3) a, h.Cj.. . ft„
on ajoute ceux qu'on peut en déduire à l'aide d'un ou [.lusieurs échanges opérés entre les lettres (7, b, c,..., h, chacun de ces derniers produits étant pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant que le nombre des échanges est pair ou impair. Or la somme ainsi formée est précisément la somme alternée qu'on nomme la résultante du tahlenn
/ rti, /'., t.,..., /?,, l a., h., c\,..., h.,,
'■'/!> ^nf ^nJ-'-j "n:
et, pour réduire le produit symbolique |)./;.v... ç| à cette même somme, il suffit de poser
(5) lagy... vîl = I, ce qui réduit l'équation (2) à la formule
déjà obtenue dans le § II.
Le degré de la résultante s n'est autre chose que le degré du produit (3) et des produits de même espèce, c'est-à-dire le nombre n des facteurs renfermés dans chacun de ces produits.
Si la résultante s est du second degré, la formule (6 i donnera
Si la résultante s est du troisième degré, on trouvera
(8) s ^\ \iJ.'j I = «, h-:. C3 — a^ bj Co -+- ru b^ c, — a^b^c^ + n. b, c^ — û., b^ c, ,
etc.
En général, si l'on désigne par la notation
la somme qu'on obtient en ajoutant au produit (3) ceux qui s'en déduisent à l'aide d'échanges opérés entre les lettres a, b, c, etc., prises deux à deux, chacun de ces produits étant pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant cjue le nombre des échanges est pair ou impair, la formule (G) donnera
(9) s = {'/.(vj... :\~ S{± a,b.C3... h„).
Parmi les produits dont se compose la résultante s, le produit (3), c'està-dire le produit des termes rangés, dans le tableau (4), sur la diagonale qui renferme le premier terme rt, , mérite d'être remarqué. Nous le nommerons produit principal. Les diverses lettres qui entrent dans ce produit, et les divers indices écrits au bas de ces lettres caractérisent, dans le tableau (4), d'une part les termes situés dans les diverses ligues verticales, d'autre part les termes situés dans les diverses lignes horizontales. Un échange opéré , dans le produit principal a^b^c^... A, entre deux lettres que renferment deux lignes verticales données, a le même effet qu'un échange opéré entre les indices qu'elles portent; et chacun des produits qui se déduisent du produit principal, à l'aide de semblables échanges, renferme nécessairement un
(377) seul terme pris dans chaque ligne verticale du tableau (4), et un s(mi1 terme pris dans chaque ligne horizontale. D'ailleurs, ces produits peuvent être partagés en deux classes, chaque produit étant de première ou de seconde classe, suivant qu'il se déduit du produit principal par un nombre pair ou impair d'échanges; et la résultante s est simplement la somme qu'on obtient quand, aux produits de première classe pris avec le signe ->-, on ajoute les produits de seconde classe pris avec le signe — .
Lorsqu'on échange deux lettres entre elles ou deux indices entre eux, non plus dans le ])roduit principal, mais dans la résultante s, on voit chaque produit partiel, ec, par conséquent, la résultante elle-même, changer de signe. Donc la résultante s change de signe lorsqu'on échange entre elles deux lignes verticales gu deux lignes horizontales du tableau (4^.
Lor.squ'en faisant tourner le tableau (4) autour de la diagonale qui renferme le premier terme a^ , on échange entre elles les lignes 'verticales et horizontales de ce tableau, chaque classe comprend toujours les mêmes produits; et. par suite, l'échange opéré entre les deux espèces de lignes n'altère ni le produit princij)al formé avec les termes situés sur la diagonale autour de laquelle tourne le tableau (14), ni la résultante s. Donc la résul* tante s du tableau (4) est aussi la résultante du suivant :
et, dans l'écpiation
(6) S^\y.WJ... q\,
qui transforme cette résidtante en im produit symbolique, on peut supposer les facteurs X, [x, v,..., ç liés aux clefs anastrophiques a. S, 7,..., /j, ou par les formules (i), ou par les suivantes :
), = rt, a -!- rto § + «3 y H- . . . -t- rt„ -/j ,
(11) ' V = c, a -t- Cjo H- 6-37 + ... + c„/;,
ç = //, a H- /?o o + 7^3 7 + . . . + fi„ Ti .
Ex d'An, ri J,' Ph. mr.ili., T. IV. aH'' livi. )
La formule (6) suppose les clefs a, S, y,..., yj assujetties à la condition (5). Si l'on écartait cette condition, alors, comme on l'a déjà remarqué dans le § II, la formule (a) donnerait
.IVv..-ç|
Cette dernière équation renferme un théorème qu'on peut énoncer comme il suit : -.
i*^"^ Théorème. Soient
et
deux systèmes de clefs anasti'ophiques liés entre eux par des équations qui déterminent les clefs X, p., v,..., ; en fonctions linéaires des clefs a. S, 7,..., ï). La résultante algébrique s du tableau formé avec les coefficients de ces dernières clefs sera le rapport des produits symboliques | Xav... ; |,
laëy--- ■'îl-
Soit maintenant ~
un troisième système de clefs anastrophiques lié au second svstème par des équations linéaires qui déterminent les clefs A, M, N,..., 2 en fonctions linéaires des clefs X, p., v,..., ç; et nommons s la résultante du tableau formé avec les coefficients de ces dernières clefs dans les fonctions dont il s'agit. On aura encore
lAMN... 2|
).fiV. ,
Mais, d'autre part, si dans les équations qui déterminent A, M, N,..., 1 en fonctions linéaires des clefs X, /jl, v,..., ç on substitue les valeurs de ces 'dernières clefs exprimées en fonctions linéaires de a, S, 7, •■ , vj, on obtiendra de nouvelles équations .qui détermineront immédiatement A, M, N,..., 2 en fonctions linéaires de a, S, 7,..., t). Soit 8 la résultante du tableau formé avec les coefficients de a, 1, 7,..., n pris dans ces nouvelles équations. On aui'a encore . ■
.,^ , |AMN... 2| '. '
Or, des formules (12), (i 3), (i 4, S on tire
( 379 ' et la formule (i5) renferme évidemment un théorème qu'on peut énoncer comme il suit :
a*" Théorème. Soient
les résultantes algébriques de deux tableaux dont chacun renferme n} termes rangés sur n lignes verticales et sur n lignes horizontales. Soient encore
trois systèmes de clefs anastrophiques liés entre eux par deux systèmes d'équations qui déterminent : i° les clefs À, y., v,..., ç en fonctions linéaires de a, c, '/,..., r, . i° les clefs A, ^I, N,..., 2 en fonctions linéaires de À, a, V,..., ;. Enfin, supposons que les termes du premier tableau soient les coefficients de a, c, y,.--; 'fi dans le premier système d'équations, et que, pareillement, les termes du second tableau soient les coefficients de >. . a, •V,..,, ç dans le second système d'équations. I-e produit des deux résultantes algébriques s, s sera encore une résultante algébrique, savoir la résultante du tableau qui aura pour termes les coefficients des clefs a, §, y,..., ■/; dans A, ^I. N,.. ., 2 exprimés en fonctions linéaires de ces mêmes clefs. Concevons, pour fixer les idées, que les résultantes j, s se l'apportent à deux systèmes de quantités dont les unes, désignées par des lettres italiques, soient celles que renferme le tableau (4) ou (lo), les autres étant d/siguées par des lettres romaines et renfermées dans le tableau
3)5 b,, c,,..., Il,, a,, bo, c...... ho,
(i6) ' aj, bj, C3,..., hj,
En prenant les termes du tableau (16) pour coefficients de /, u. , v,..., ç dans les valeurs de A, M, N,..., 2, on aura
(17) ' >" = a.,). -!- b3y. 4- TsV — ... + hj/;,
puis, en substituant dans ces dernières équations les valeurs de 1, p., v,.--, ç tirées des formules (i i), et en posant, pour abréger,
(18) ki,,„ = aia,^-\-htb„, -+- CiC,„ -{-...+ hifi,n, quels que soient d'ailleurs les nombres entiers /, m, on trouvera
M = Ao, , a + Aa, 2 S + ^"2, 3 7 + • ■ • + ^"2, n -l )
(19) ' , { N = A-3,, a + Aj^aê + ^3,3 7 + ... + A3„-/],
Donc, en vertu du 2" tbéorème, le produit i's des deux résultantes algébriques s, s sera la résultante algébrique S des termes renfermés dans le tableau
/ "■'l.O "1,2) "t,3V» "i.nj
et l'on aura généralement : . ' .
(21) S(± Av,A.,„... A„,„) = S(±:a,ba...h„)S(±:rt,/^,... //„)• On trouvera, en particulier, pour ?i = 2,
(22) A,,, /.o... — A,,j Ao, , = (a.b, — a2b,)(a, h.2 — n^b,), ou, ce qui revient au même,
(a,«, -\-h,b,) (a^rta + b^^o) — (a, «2 + b, b^) (aja, + h^b,)
( = (a.bo — aob,) («, èo — ^2^,).
Concevons, à présent, que l'on veuille composer une résultante algébrique i), non plus avec tous les ternies du tableau (20), mais seulement avec quelques-uns d'entre eux, dont le nombre soit m^, savoir avec ceux que renferment m lignes verticales et m lignes horizontales déterminées. On poiura encore exprimer cette résultante à l'aide d'une équation analogue à la formule (14)5 pa'' le rapport entre deux produits symboliques du de-
( 38i ) gré m, formés le premier avec quelques-unes des clefs A, M, N,.... 2, w second avec <iuelques-unes des clefs a, §, y,..., y;, les clefs dont il s'agit étant celles qui, dans les formules (19), appartiennent aux mêmes lignes verticales ou horizontales que les termes du tableau (20; renfermés dans la résultante S. Effectivement, pour déduire des équations ',19) la résultantes sous la forme indiquée, il suffira évidemment d'annuler celles des clefs anastrophiques a, g, y,..., >, dont les coefficients seront tous distincts des termes renfermés dans s. Ainsi, par exemple, si l'on veut réduire s à la résultante
formée avec les lettres que Contiennent les deux premières lignes verticales et les deux premières lignes horizonta-les du tableau (-20), il suffira .i'annuler les clefs
a l'exception des deux premières, et alors les équations (19), réduites aux formules
M = As, , a -^ k donneront
Pareillement, si Ion veut réduire s à la résultante des termes compris dans les trois premières lignes horizontales et dans les trois premières lignes verticales du tableau (20), il suffira d'annuler les clefs anastrophiques
a l'exception des trois premières, et alors les équations (19), réduites aux formules
j A = A-,,,a-+- A-,,oJ-f- A-,,3 7, (26) M= Aj,,a + A,,,§ + A,,,7,
( N = A-3, , 7. -<- A3, j g -K A3, 3 7, donneront
Gela posé, on pourra généralement énoncer la proposition suivante :
3^ Théorème. Supposons qu'après avoir effacé dans le tableau (20) tous les termes non compris dans m lignes verticales et m lignes horizontales déterminées, on cherche la résultante S des termes conservés. Il suffira, pour l'obtenir, d'effacer, dans les deux termes du rapport
|AMN... 2| -
d'une part, quelques-unes des fonctions linéaires de a, ê, y,..., >j représentées par A, M, N,..., 2, savoir celles qui ne renferment aucun des termes conservés; d'autre part, quelques unes des clefs a, ê, 7,..., v;, savoir celles qui, dans les formules (19), n'ont jamais pour coefficients ces mêmes termes, puis d'annuler, dans les valeurs de X, p., v,..., ; données par les formules (u), les clefs effacées dans le produit symbolique |(zê'/... y; |.
En s'appuyant sur le théorème précédent, on pourra facilement exprimer la résultante S supposée du degré ?«, non plus par le produit unique sj des résultantes construites avec les termes des tableaux (4) et (16), coramt dans le cas où l'on avait m = n, mais par luie somme de produits de résultantes du degré m , formées chacune avec les fermes compris à la fois dans n lignes verticales et dans m lignes horizontales de l'un de ces tableaux. Ainsi, par exemple, si l'on suppose /«=: 3, « = 2, les deux premières de; équations (17), réduites aux formules
A = a, X + b, [j. -+■ c, V, M = aj). + bo/z + CaV,
donneront ^'
I AM 1 = s I ivj i + s' I vX I = s" I Xp. I ,
les valeurs de s, s', s" étant
s = b,C2 — b^c,, s' = c, a„ — Coa,, s" = ajbj — a., b,. Mais, d'autre part, les équations (i i), réduites aux formules
iX = rt, a -H fTjê, IJ.= b,a -+- biê, V =: c,a -h c^ê,
par l'annulation de y, donneront
\lM\ = s\a§\, |vX| = y|a6|, {lix] ^ s"\a§\,
( 383 ) les valeurs de s, s', s" étant
j,' =: b,C2 — b^Ci, s' = f, a^ — t'off,, s" := a, lu — (i„ b Donc, en définitive, on aura
|AM| = (sjr-i-s'^' + s"s")\az\, et ia formule (aS) donnera (3o) s = sj -h s'j' + s" y.
Donc, en substituant à chaque résultante sa valeur, on aura
(a, n, -+• b, ^1 + c, C|) (aortj + bo ^2 + ^^c (3,)
— (a, a^ -+- b, ^2 + <-") Co) (ajrt, -t- bo^, + c^ c,)
= (b,Co — b2C,')(/;,Co — b.,c,) + (c,a3 — c.;.3i,){c\a. — c.,a,)
La valeur de s que fournit l'une quelconque des formules [i5), (27), etc., pourra toujours être ainsi décomposée en produits partiels, par une équation de la forme
ei l'on pourra ainsi déduire du 3*^ théorème celui que nous allons énoncer : 'l*^ Théorème. Concevons que, dans chacun des tableaux (4) et (16), on efface tous les termes non compris dans m lignes horizontales, ces lignes ])onvant occuper des places différentes dans les deux tableaux, puis ajoutons entre eux les produits binaires qu'on obtiendra en multipliant respectivement les divers termes d'une ligne horizontale conservée dans le tableau (4) p^'" les termes correspondants d'une ligne horizontale conservée dans le tableau (ï6). La somme ainsi formée et les sommes semblables seront représentées dans le tableau (20) par divers termes compris dans m lianes horizontales et m lignes verticales déterminées. Nommons 8 la résultante de ces derniers termes. Soient d'ailleurs i la résidtante du degré m formée avec les termes qui occupent m places arbitrairement choisies dans les lignes horizontales conservées du tableau (4), et s la résultante formée avec les termes correspondants du tableau (16 ). Le produit s s, ajouté à tous les produits du même genre, donnera pour somme la résultante -S.
Parmi les propriétés que possèdent les résultantes algébriques, on doit
remarquer celles qu'expriment les 2*" et 4" théorèmes, ou, ce qui revient au même, les formules (i5) et (Sa). Ces formules, que j'ai données pour la première fois clans le 17*^ cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique [voir aussi dans le même cahier un Slémoire de M. Binet], sont d\'ai!leurs des conséquences immédiates des i"^ et 1" théorèmes compris dans la formule (12), qui, dans le cas où l'on pose |acy... y; | = i, se réduit à l'équation (6). Ils se rattachent donc intimement à la décomposition des résultantes en facteurs symboliques représentés par des fonctions linéaires de clefs anastrophiques.
En appliquant à des cas spéciaux les formules établies dans ce paragraphe, on en obtient d'autres qu'il sera bon de mentionner et que nous allons rappeler en peu de mots.
Si le tableau (4) coïncide avec le tableau (16), les formules (i5) et (3o) donneront, la première,
(33) s = s=; la seconde,
et, en conséquence, la résultante algébrique S se trouvera réduite à un carré parfait ou à la somme de plusieurs carrés. Alors aussi , on tirera en particulier de la formule (aS)
(35) {a\ + h\){al + bl) — (0,^2 + b^ b^f = {atb^ — a^b,)', ou, ce qui revient au même,
(36) {a; -+- b;) (al -+- b^f = («,«2 + *i ^2/ + ('?, b^ — a^hif, et, de la formule (3i),
«ï + ^7 -^ c^) {al + b'I -^ cl) — {a, «, + b, b^ + c, c.f
( = [bfC^ + b^CfY -+- [c, «2 — Cofl,)- + (a, b^ — anb,)-.
En réduisant a,, b, ; a^, bn à des nombres entiers, on tire de l'équation (20) un théorème connu , savoir qu'une somme de deux carrés, multipliée par une autre somme de deux carrés , donne encore pour produit une somme de deux carrés. Quant à la formule (37), elle est précisément celle qu'on obtient lorsqu'on projette sur trois plans rectangulaires la surface d'un triangle dont les trois sommets ont pour coordonnées respectives les
( 385 ) quantités
C/,. !>,, C, rt.j, h.,, c-2, «3, />3, ^3,
et qu'on (-gale le carré de cette surface à la somme des carrés de ses trois projections.
Si des trois systèmes de clefs anastrophiques
le troisième conicide avec le premier, les équations (17), réduites à la forme
a = a, ). + b, a -+- c,v + ... -h h,r, , g = a^ X -+- h.^ fj. + Co y + . . . -h h^ n , (38^ { V = a;, /, + h, p. -u C3 V 4- . . . -f- 113 r, ,
ne devront pas différer de celles (jui se déduiraient des formules (i) résolues par rapport à a, c, y,..., r,. Dans le même cas, la formule (i")) donnera
(39) . ss = i,
et l'on pourra, en conséquence, énoncer la proposition suivante • S** Théorème. Soient
a, ê, Y;..., yj; /, ix, v...., ç
deux systèmes composés chacim de « variables., et supposons les variables ). , jU. , V,..., ç représentées par des fonctions linéaires et homogènes de a, c, y,..., y;. On pourra, pour l'ordinaire, exprimer aussi a, ê, y,..., yj en fonctions linéaires et de A, a, v,..., ç, et les deux tableaux formés i" avec les coefficients de a, ê, y,..., r, dans les valeurs de "/, p., v,..., ç; 1" avec les coefficients de 1, a, v,..., ç dans les valeurs de a, §, 7,..., yj, auront pour résultantes algébriques deux quantités dont le produit sera l'imité.
La résultante algébrique des termes que comprend un tableau doimé peut être présentée sous une forme remarquable, lorsque, dans ce tableau, chacune des lignes horizontales ou verticales est composée de termes qui forment une progression géométrique. Supposons, po'u- fixer les idées , que le
Ex. d'An. ,-t Je Ph. math.. T. 1\ .f/(8<^ lin-, ; 49
( 386 ) tableau (4) se réduise au suivant :
An, Bb, Ce,..., Hh, ;4o) { An\ Bh\ Cc\..., Hh\
A a"-', Bb"-', Ce"- ,..., Hk"\
flans lequel chaque l'igne verticale est composée de termes qui forment une progression géométrique , le reste de cette progression étant a dans la première ligne verticale, b dans la seconde. La résultante s des termes que renferme le tableau (4o) sera, en vertu de la formule (9),
(4il s= ABC... H^{±n''b'c-...h"-').
Si chacune des quantités A, B, C,--.., H se réduit à Tunité, ou, ce qui revient au même, si le tableau ( 4o) se réduit au suivant .
I, I, Iv) '>
on aura simplement
et cette dernière valeur de s, considérée comme fonction de l'une quelconque des quantités a, b, c,..., h sera ime fonction entière du degré n — i. D'ailleurs, un échange opéré entre deux de ces quantités, par exemple entre a et b, changera ^ en — s. Donc s s'évanouira si l'on pose b = a; et si l'on pose
s s'évanouira pour une valeur nulle de /'. Donc, dans cette deinière supposition, la résultante s, réduite à une fonction entière des quantités a, c ,..., h et de la différence
ne renfermera aucun terme indépendant de r, et sera de la forme
s = rR,
R étant une fonction entière de a, c,..., h, r, ou , ce qui revient au même, de a, b, c,..., h. Ainsi la résultante j, déterminée par la formule (4^), a pour facteurs algébriques la différence b — a. On prouvera de même qu'elle a pour facteur chacune des différences
que l'on forme en retranchant l'inie de laiitre les quantités
combinées deux à deux de toutes les manières possibles. Donc, si J'ou nomme k le produit des différences comprises dans le tableau (44) i la formule (43) donnera
K étant ou lui nombre constant ou une fonction entière de a, b, c,..., h. J'ajoute que, de ces deux hypothèses, la première est seule admissible. En effet, comme , dans le tableau (44)) " — i termes, savoir ceux que contient la première ligne, renferment la quantité a, le produit k considéré comme fonction de o, sera, ainsi que s, du degré n — i. Donc le coefficient K devra être indépendant de a-, on prouvera de même qu'il est indépendant de i,, de c, etc.. de/^. 7v sera donc un nonjbre. Pour obtenir ce nombre équivalent au rapport y il suffira d'observer que le produit principal f45) u^'b'c\..h"-',
formé avec les termes situés dans le tableau [^i] sur la diagonale qui renferme le premier terme i , se présente une seule fois, pris avec le signe + , non-seulement dans le développement de la résultante
s = S(:=ia''b'c'... b" :.
mais aussi dans le développement du produit k des différences comprises dans le tableau 44 ], attendu que, dans ce dernier développement, le seul produit partiel de la forme
bc-... h"-'
est évidemment celui que l'on trouve en réduisant chacune de ces diffé-
rences à son premier terme. Donc le nombre K ne ponrra différer de l'unité, et la formule (43) donnera
on, ce qui revient au même,
(46) ,v = {b ~a)x{c - a) {c — b) x ...x [h- a) {/i - b)...(h- g). Par suite aussi, la formule (40 donnera
(47) s = ABC...H[b -a)x{c-d) {c-b) x...x{h - a)(h- b)...{li - g).
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
&" Théorème. Lorsque les termes avec lesquels se forme une résultante du degré n sont, dans chaque ligne verticale du tableau qui la renferme, en progression géométrique, il suffit, pour obtenir cette résultante, de multiplier le produit des termes
compris dans la première ligne horizontale de ce tableau, par le produit des différences que fournissent les rapports
des progressions géométriques auxquelles appartiennent ces mêmes termes, quand on retranche successivement chacun de ces rapports de tous ceux qui le suivent.
§ V. — Méthodes diverses pour la détermination des résultantes nlgébriqucs.
Soit toujours s la résultante du tableau
a,, b,, c,,..., //,, «2, ^2, Ci,..., fu,
' '^«5 "m ^if'J ^^ni
en sorte qu'on ait
(2) s = S{±a,b^c^...hn).
Le calcul direct des produits partiels, dont la lettre 5 indique la somme et
(389) dont le nombre /^^"est déterminé par la formule
deviendra évidemment tres-pénible pour de grandes valeurs de n. Mais l'emploi des clefs anastrophiqiies offre divers moyens d éviter ce calcul dans la détermination de s.
En premier lieu, pour déduire s de la formule
(4) ' = ûjr. — IV
dans laquelle on a
(5) ', V = rt,a + b^% -^ £'37 -h...-i- Z^-/;,
il suffira de multiplier successivement l'un par l'autre les facteurs )., ^a, V,..., ç, en assujettissant les clefs a, o, 7.... v; aux transmutations anastrophiques binaires et aux transmutations conjonctives des divers degrés. Si, pour abréger, l'on désigne, à l'aide des notations
(«, b), [ci, />, f),..., [n. h, c, h),
les résultantes algébriques
S[-J^n,b.,), S •^ztia^b.c^),.... S ± a, b^c^. .. h„\
et à l'aide de notations semblables les i-ésultantes semblables déduites des précédentes par des écbanges opérés entre les lettres a, h, c,..., h; si d'ailleurs on range les facteurs que renferme chaque produit symbolique dans l'ordre indiqué par l'alphabet, on aura successivement
>.a I = (a, h) I ac I + {a, C; | 7.7 j -i- . . . + [b, c)\§y\ -h ...,
),u.v| = {a, b, c) !a!7| + {a, b, r/) |aSÔ*| +...-+- (è, c, d) ^Êyâ] -^...,
|>.|7.v... ç\ — {a, h, c,..., h)\ff.§y... y)\, et l'on reconnaîtra que, pour déterminer les coefficients
( 390) dont le dernier est précisément la résultante s , il suffit de recourir à des équations de la forme
(a, /;) =^ a, bo — b,an,
{a, h, c) = (fl, b) C3 — (a, c) bj -4- (b, c) a^, (7) [ {a, b, c,d) = {a, b,c)d„ — {a, b,d)c„ + [a, c,d)b„ — {b, c, d) a„,
Lorsqu'on opère ainsi , le calcul de la résultante s exige la formation de produits composés chacun, non plus de n facteurs, mais de deux facteurs seulement, et le nombre 3t. de ces produits, déterminé par la formule
croît beaucoup moins rapidement que le nombre iV= 1 . 2 . i. . . n.
Lorsque les divers termes du tableau (i) sont connus et donnés en nombres, on peut se dispenser d'écrire les équations (7) et autres semblables, et se borner à déduire, de multiplications successives, la valeur du produit I X|xv... ç I qui, divisé par ] aSy... >3 |, donne pour quotient la résultante s.
Supposons, pour fixer les idées, que le tableau (1) se réduise au suivant :
ou aura
et,
par
suite.
= -p|aSl-
|ag| -7l
ay|
aêyl
= i8|aê7|,
3)iê7l
( 391 ) Pour déduire la résultante s de la formule (4), il n'est pas nécessaire de construire chacun des produits
|Xpi|, \h,jy\, |>,y.vp|,.--;
il suffit de multiplier l'un par 1 autre, dans l'ordre qu'indique l'alphabet, d'abord les facteurs X, a, v,..., ç pris deux à deux ou trois à trois, etc., puis les produits binaires ou ternaires, etc., ainsi formés, de manii re à obtenir facilement le produit |X,av... ç\. Ainsi, par exemple, si l'on a n = h, alors, pour obtenir le produit final | X^avp | , et, par suite, la résultante s, il suffira de former les deux produits binaires | ),y. |, | yp | , puis de les multiplier l'un par l'autre. Quelquefois, cette méthode est préférable à celle qui consiste dans la formation successive des trois produits | ).u |, | >,jr> |, | Xfr./p |. Concevons, pour fixer les idées, que l'on demande la résultante s d'un tableau de la forme
ri, a, h, c, c. (-/, a, b,
on aura
X — aa -h bS + cy -h dâ,
lj.= dv. -h ne -h by -+- cô*, V = ca. -h d§ -h a-/ -h bâ, p = ba 4- ce -h dy +- aâ; et, |)ar suite,
I la I = [a- — bd) | ao | -f- {ab - cd) | ay | -I- {ac -■ d^)\a.â\ =: (/,= ac)\èy \-hibc - nd) \^â\-^ (c» - M i |7c?|.
De plus, comme pour déduire v de À, ou p de [x, et, par suite, \vp\ de |>.j7. |, il suffira d'échanger entre elles, d'une part les clefs a, 7, d'autre part les clefs S, o\ la formule qui précède entraînera la suivante :
I vp I = («2 - hd) \yâ\ + [ah — cd) \ ya \ -^ [ne - d'')\ y^\ + [b^ - ac)\âff.\^[bc - ad)\âè\ -+- [c' - bd)\aê\.
Après avoir ainsi obtenu les valeurs des deux produits symboliques |Xfjt.|, |vjo|, on pourra, de ces deux produits multipliés l'un par l'autre, tirer immédiatement la valeur du produit symbolique |X,«.vp|, par consé-
( 392 ) qiient celle de
et l'on trouvera définitivement
s = {a- - hdf -t- [c- - hàf - [b^ - acf - {d' - acf + 2 {ab — cd) (bc — ad).
Lorsque, dans la formule (4), le facteur X dépend uniquement de la clef a, c'est-à-dire lorsque la première des équations (5) se réduit à
la formule (4) donne simplement
et l'on peut, dans les valeurs de jul, v,..., ç remplacer a par zéro. En s'appuyant sur ces remarques, on démontre aisément les propositions suivantes :
i*"^ Théorème. Étant donnés deux systèmes anaslropliiques
a, g, 7,..., Ti, et )., ,y., v,..., ;,
composés chacun de n clefs, et liés l'un à l'autre par les équations (5), concevons que l'on exprime a, S, y,..., r, en fonctions linéaires de clefs nouvelles
dont le nombre soit égal ou supérieur à /i — i , mais de manière à vérifier l'équation de condition
La résultante s, déterminée par la formule (4), sera équivalente au produit du coefficient de a dans 1 par le rapport géométrique des valeurs nouvelles qu acquerront les deux produits symboliques
I av... ç I, I §'/... Yi\-
Corollaire. Les nouvelles clefs (f, y, t|/,..., U; dont le nombre doit être égal ou supérieur à n— i, pourraient n'être pas distinctes des clefs ê, y,..., yj, et alors, à la place du premier théorème, on obtiendrait le suivant : . ■
2® Théorème. La résultante ^, déterminée par la formule (4), est égale au produit du coefticient de a dans ). par la valeur qu'acquiert le rapport
I fiv . . . ç I
lorsque, dans ce rapport, ou exprime p., v , ç en fonction des n — i
clefs o, '/,.••» vj, à l'aide des formules (5) jointes à l'équation (9). Supposons, pour fixer les idées, n = 3. Alors la résultante
~ I (7, b^ — a^bt)c^ — {a,C2 — a^c,) b^ -h {b,Ci — b., c,) a^ pourra être, en vertu du second théorème, présentée sous la forme
c. rt
bi '■ a^
on pourra donc la déterminer en calculant trois rapports géométriques, savoir.
cinq produits binaires et un seul produit ternaire. Généralement, à l'aide du second théorème, on pourra déterminer une résultante du degré «, en calculant des rapports géométriques dont le nombre sera
I -+- 2 + . . . -H (« — I ') = des produits binaires dont le nombre sera
n In — I,
n{n — i){2n — 1) " iT3 '
et un seul produit composé de n facteurs.
Il est bon d'observer que de la formule (11) on tire immédiatement la
suivante :
(a,b, — a,b,) (a,c^ — ihc^ — [a^<:^ — ai<:^){a^f>^-a,b,) ^ (12) "-
qui peut être facilement réduite à la formule (10).
Ex. dAn. et <k n. math., T IV. f 48^ livr.)
( 394 ) Observons encore que la transmutaHon anastrophique
I X'' I = o donnera .'
si l'on pose
ii4) <I'=|aX|, X = |gX|, W=\yl\,..., l] = \-n}.\,
ou, ce qui revient au même,
<^ = o -h h,\ff.§\ + c, \a.y\ + ... ~h h, [ar,], X = — rt, I aê I + o H- C, I §7 1 + . . . + A, I ê»7 1, (i 5) ^ W = — a,\(/.y\ — h,\§y\ -h o ^ ... -h h,\jn\,
U = — a, I a>7 1 — h,\ëy}\ — c, | yy; | — . . . + o. Or, si dans ces dernières formules on remplace les produits symboliques
|aê|, \ay\,..., \a-n\, \Sy\,..., \ëTn\,...,
dont le nombre est " • " ~ *- ^ par autant de clefs nouvelles et anastrophiques
alors $. X, W,..., U seront des fonctions linéaires de ces clefs qui, prises pour valeurs de a, 6, y,.-, »3, vérifieront la formule (i3). Alors aussi, en attribuant à a, ê. 7,.., ^ ces mêmes valeurs dans les facteurs p., v,..., ç, on tirera du second théorème
On peut d'ailleurs annuler plusieurs des nouvelles clefs et réduire ainsi leur valeur à « — i . On doit surtout remarquer le cas où Ton n'attribue des valeurs distinctes de zéro qu'à celles qu'on substitue aux n — 1 produits symboliques
. - |ag|, lêyl, |y(?i,..., iÇrj).
Dans ce cas particulier, les formules (i5) donneront
,17) <^=b,(p, X = c,y- a^cp, W = (i,^- hr/.,---, U = — g,y,
( 395 ) et l'on aura , par suite ,
f'«) \XW...l]\ = {-i)'-'a,b,...g,\(py^...u\.
Donc alors la formule (16) donnera
b,...g, \,fy. ..«I
poiu'vu que dans les fonctions de a, g, y,..., n, représentées par fji, v,..., ç, on pose
(20) a — h,(p, è = c,y^ — a,(p, y = r/, tj; — ^, /,..., >, = ^, u.
Si, pour fixer les idées, on suppose « = 3, la formule (19) donnera
§ VI. — Usage des clrfs iinastrophiqucs dans Vélimination.
Les clefs anastro])hiques peuvent être employées avec avantage dans un grand nombre de questions, et s|)écialement quand il s'agit d'éliminer plusieurs inconnues entre des équations données.
Considérons d abord // inconnues
liées entre elles par n équations linéaires; eî soient
(i) .V=o, Z=o, Z = o Fr=o,
ces équations dans lesquelles X, ï , Z,..., /7^ représenteront des fonctions linéaires de J;, J", z,..., tv. Si ces fonctions sont liomogenes, les équations \i) détermineront seulement les rapports des inconnues, dont l'une quelconque pourra être choisie arbitrairement, et l'élimination des inconnues fournira entre leurs coeflicients une équation de condition qu'on obtiendra sans peine, en opérant comme on va le dire.
Observons, en premiei' lieu, que des équations (i) respectivement multipliées par Ti facteurs varial)les,
a. g. 7...., ri,
puis ajoutées Tune à l'autie, on déduira unmédialemenl une équation nouvelle,
(396 ) dont le premier membre
(3) 12= aZ+gr+7Z + ... + y:?r
sera encore une fonction linéaire de x ,y, s,..., \v, et pourra, en conséquence, être présenté sous la forme
:iv,
À, ,u. , V,..., ç étant des fonctions linéaires de a, ê, '/,.-., r,. Remarquons dailleurs que la formule (a ) peut être substituée au système des équations (i), er que. pour déduire l'une quelconque des équations (i) de la formule (a), d suffit d'y remj)lacer l'un des facteurs variables a, S, y,..., t) par l'unité, en annulant tous les autres.
Concevons maintenant que les n facteurs variables a, ê, y,. •> >/ soient des clefs anastrophiques. Les fonctions hnéaires de a, è, y,..., /;, représentées par X, p., V,..., ç, seront encore des clefs anastrophiques; et comme on aura , par suite ,
on pourra évidemment éliminer de l'équation (a), l'inconnue x, en multipliant Q. par X, l'inconnue j-, en multipliant Q. par [x,..., l'inconnue tv, en multipliant Q, par ç. Donc , pour éliminer toutes les inconnues, à l'exception d'une seule, il suffira de multiplier la fonction û par les coefficients des auti-es inconnues dans cette même fonction. On éliminera, par exemple, j, z,..., w de la formule (a), en midtipliant 12 par le produit /j(.v.. . î, ou ce produit par û. On obtiendra ainsi l'équation
(5) I ûjav...(S 1 = 0, que la formule (4) réduira effectivement à
(6) X |>./xv ...^ I = o;
et, puisque la valeur de x peut être arbitrairement choisie, la formule (6) entraînera la suivante:
(7) iX,av...ç| = o,
qui sera précisément l'équation de condition à laquelle devront satisfaire les coefficients des inconnues dans les valeurs données de .Y, }', Z,..., IV.
Si, pour fixer les idées, on suppose ces coefficients représentés par les divers termes du tableau (i) du paragraphe précédent, en sorte que
on ait
/ A' = (7, JC -1- b,J -4- 6', Z -H ... + //, U',
les valeurs de X, p., v,..., ç seront fourmes par les équations (5) du inèrne paragraphe; et comme on aura
I >./j.v...;l = |aS7...iî|S(rt aju c, ... h„),
! équation (7) donnera
D'ailleurs, pour obtenir cette dernière équation, il suffira évidemment de j)Oser
(10) XFZ...FFr=o,
en considérant x, y, z,..., w comme des clefs anastropliiques , puisque, dans cette hypothèse, on aura
I XYZ ...W\=.\ xyz... w \%[±a,h.^c^... h„).
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. Si n inconnues vérifient n équations linéaires et homogènes , il suffira d'égaler à zéro le produit symbolique de leurs premiers membres, en considérant ces inconnues comme des clefs anastropliiques, pour obtenir l'équation de condition à laquelle devront satisfaire les coefficients de ces inconnues dans les équations données.
Supposons maintenant que les équations linéaires données cessent d'être homogènes. Chacune d'elles sera, non plus de la forme
ax ~\- hj -I- cz + . . . + hw = o, mais de la forme
nx + hj + cr. + . . . -f- hw = A,
ou, ce qui revient au même, de la forme
ox -+- hj -{- cz -\- . . . + hw — A- = o, (7, I), c,..., h, k étant des quantités constantes. Alors aussi la formule (4)
( 398 ) sera remplacée par la suivante :
(ji) ù = 'kx -i- [j.j' -h vz + ... -h çw — cù,
M étant une nouvelle fonction linéaire de a, ê, y,.. , y;; et l'équation (5) donnera
x I ÀfJLV ... ç I — I ap.v ... ç\ = o,
par conséquent,
//iv ... ; I
Si l'on désigne par k,, k.,,..., k„ les valeurs que prend successivement la constante k dans la première, la seconde, etc., la dernière des équations donnée», on aura
I wp.v. . . ç I = I aêy. . . y]\S [± kib^c^... h„),
et, en substituant dans la formule (12) les valeurs des produits symboliques qu'elle renferme, on retrouvera l'équation connue
S { zt rti b^c,, . . /i„)
Lorsque les équations linéaires proposées sont numériques, l'emploi des clefs anastrophiques permet de calculer directement les valeurs des inconnues, sans que l'on soit obligé de recourir aux formules générales, c'est-àdire à l'équation (i4) et aux équations analogues.
Concevons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de résoudre les équations
„ I œ -i- ij -\- "^z = i, , . ^ ■
(i5) \ I Sa- -H j -h az = 3,
[ 2JC -i- 3 j- -+- 3 = 5.
De ces équations respectivement multipliées par a, ê, y, puis ajoutées l'une à l'autre, on tirera
(16) Xjt + /jt.r + vz = w,
les valeurs de X. ijt., v, u étant
X=a+3S + a7, ix = -îa + S + 3y.. v = 3a-i-2ê + 7,
( 399 ) et la valeur de x sera
(17) * = rTn-
On trouvera d'ailleurs
|p,v| = |ao| - 7|a7| - 5|ê7|;
puis en posant, pour plus de commodité, |a§7| = 1,
I wp.v |= — 5 + 3.7-1-5 = 21,
La valeur de x étant ainsi déduite de la formule (17), on pourra tirer de la formule (16), multipliée par v, la valeur dey. En opérant de la sorte, et posant, pour abréger, y = o, | ao] = i, on trouvera
I MV I — I Xv I J
puis
I /xv I = 1 , I ).v I = I ojv I = - 7 ;
par conséquent ,
^ 7 Enfin la dernière des formules (i5) donnera
Z =: 5 — IX — 3l- = — ;5-
b On aura donc, en définitive,
Supposons maintenant que Ton veuille éliminer une ou plusieurs variables entre des équations qui cessent d'être linéaires. Les clefs anastrophiques fourniront encore un moyen facile d'opérer l'élimination. Ainsi, par exemple, pour élimmer x entre les équations
(18) a -^ bx -¥■ cx'^ = 0, a' + b' X -^ c' x''' = o.
on ajoutera l'une à l'autre ces équations respectivement multipliées par deux binômes de la forme
a -f- êx, y -t- âx.
( 4oo ) On trouvera ainsi
(19) X + IX.X + VX- + fîX^ = o,
)., [j., V, p étant des fonctions linéaires et homogènes des variables a, ê, y, â; puis, en considérant ces variables comme des clefs anastrophiques , on tirera de la formule (19), multipliée par le produit jxvp ,
(20) * I X.avp 1 = 0.
Cette dernière formule sera précisément l'équation résultante de l'élimination de j: entre les équations (18).
En général, pour éliminer x entre deux équations algébriques dont l'une serait du degré m, l'autre du degré n, il suffira d'ajouter entre elles ces équations respectivement multipliées par deux polynômes dont le premier serait du degré n — i , le second du degré m — 1 , puis d'égaler à zéro le produit symbolique des coefficients des diverses puissances de jc dans l'équation finale obtenue comme on vient de le dire , en considérant les coefficients que renferment les polynômes multiplicateurs comme autant de clefs anastrophiques.
On peut voir, dans les Comptes rendus des séances de l'académie des Sciences pour l'année i853, d'autres applications de la théorie des clefs sur laquelle nous reviendrons dans d'autres articles.
