A"B—AB' ^ = —K '■ = ^— ' '^ = K

Mais, en vertu des remarques précédemment faites, la valeur de k donnée par la formule (7) est précisément la résultante des coordonnées des trois points I , m , n qui coïncident avec les extrémités des longueurs x, y, z, dans le cas où l'on suppose ces longueurs réduites à lunité, et où l'on rapporte la position d'un point quelconque aux axes coordonnés de x^, j\, s. Pai-eillement , la vaJeur de K donnée par la formule (8) est précisément la résultante des coordonnées des trois points L, M, N qui coïncident avec les extrémités des longueurs x, , y, , z, , dans le cas où l'on suppose ces longueurs réduites à l'unité, et ou l'on rapporte la position d'un point quelconque aux axes coordonnés des x, j, z. Enfin, si dans chaque résultante on fait entrer, non plus les neuf coordonnées de trois points mesurées sur trois axes différents , mais les quatre coordonnées de deux de ces points mesurées sui' deux de ces axes, alors, à la place de chacune des résultantes

k et K,

ou pourra obtenir neuf résultantes diverses, qui seront précisément les numérateurs des fractions comprises dans les formules (9) ou (10). Donc chacune des formules (9), (10), qui servent à exprimer les coefficients

( 8i ) en fonction des coefficients

et réciproquement, a pour second membre le rapport entre deux résultantes à lieux et à trois directions, construites avec les coordonnées de deux ou trois points. Ajoutons que la valeur de cbacnne de ces résultantes pourra être aisément déduite des formules établies dans le § V. Ainsi, par exemple, eu vertu de la formule (28) du § V, la résultante K des coordonnées des points L, M, N , mesurées sur les axes des ce, j-, z, offrira une valeur numérique déterminée par l'équation ~ ,

le mouvemeut de rotation de x eu y autour de z étant considéré comme direct , en sorte qu'on ait

Alors, aussi, en vertu de la formule (26) du § V, la résultante

des coordoimées des points L , M , mesurées sur les axes des x et j^, offrira une valeur déterminée par l'équation

(/a) J'B" - AB' = ^i^^ ^-P^ ços(z?Z^j

Or les formules (i 1), (121, et autres semblables, fourniront évidemment un moyen facile de vérifier les équations (10). S'a;;ii-il, par exemple, de vérifier la dernière de ces équations? On commencera par observer qu en vertu

des formules (i4) et (i5) du § i , on a, en supposant aifjus les angles (z, Z) , [x,y, z] = [x, y] cosrz,Z), " ' ,

et, par suite, ilans tous les cas possibles,

1-''/ >"'■''! = (^t^t-"' yJt-^oKz.Z) = (x,y,Z)[x, y]cos(z,'^Z),

Ex.dAn. el de Phys. math.,T.\\ . iVJ' \\\x:'i ■ II

Donc la formule (i i) pourra s écrire comme il suit :

/, o\ E' (x„y„Z,) [x„y,] cos(z„Z,)

Gela posé, il suffira évidemment de combiner entre elles, par voie de division , les équations (la) et (i3), pour obtenir la formule

A'B"—A"B' cos(zfz,) •

K cos(z,,Z,)

ou , ce qui revient au même, eu égard à la dernière des équations (lo), la formule

qui couicide précisément avec la dernière des équations i^io). On pourrait, de la même manière, à l'aide des formules établies dans le § V, vérifier chacune (les équations (9) ou (10). Enfin, on pourrait encore vérifier ces mêmes équations, après y avoir substitué les valeurs des divers coefficients tirées des formules (2) et (4) , à l'aide des formules générales que nous avons établies dans le § IV. •

Il est bon d'observer que le système des équations (9) peut être remplacé pai' la seule formule

b"r — bc"

c" a — ca"

a"b — ab"

bc' — b'c

ca' —c'a

ab' — a'b "~^

et le système des équations (lo) par la seule formule