ABC

puis, ensuite,

Aa + Bb + Ce I

On prouvera, de même, en partant des équations (17), que chacune des

fractions comprises dans la formule (t4) se réduit à -; et généralement on

pourra, du système des équations (16) ou (17), déduire à volonté, ou Ja formule (14); o" '^ formule (i5). Bailleurs, pour effectuer cette déduction, il suffira de s'appuyer, comme on vient de le faire, d'une part sur la formule à laquelle on parvient quand on élimine une seule inconnue entre deux équations linéaires qui renferment trois variables, sans aucun terme constant, et, d'autre part, sur ce principe, que la valeur commune de plusieurs fractions égales ne diffère pas du résultat qu'on obtient, quand, après avoir transformé chaque fraction eu multipliant ses deux termes par xm même facteur, on divise la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs. Ce qu on vient de dire prouve encore que le système des équations (17) est équivalent au système des équations (16). Chacun de ces systèmes peut certainement être remplacé par l'autre, puisqu'il est démontré que chacun d'eux peut être remplacé à volonté ou par la formule (i/j)? ou par la formule (i5).

Si l'on voulait, non plus tirerdes équations! 16) ou (17) les formules (i/j)? (i5), ou, ce qui revient au même, les équations (9) et (10), mais effectuer l'opération inverse, et revenir des équations (9), (10) aux équations (16) et (17), il suffirait évidemment de combiner par voie d'addition les formules (9) et f roi, après avoir multiplié les deux membres de chacune d'elles par un facteur convenablement choisi.

Obsei'vons encore que, si Ion applique le théorème sur les produits de résultantes au système des équalions (16), ou au système des équations (17), on en tirera, eu égard aux formules (7), (8),

(i8j • kK = i.

On arriverait aussi à la même conclusion, eu partant de l'équation (i i). En effet , cette équation , qui suppose que l'on considère comme direct le

mouvement de rotation de x en y autour de z , et que 1 ou a en conséquence ( X, y, z) = I. peut être, pour plus de généralité, présentée sous la forme

et s'étend, sous cette dernière forme, au cas même où, la jjosition d'un ijuint (|uelconque étant rapportée an:^ axes des j:,j", z, on considérerait comme direct, non plus le mouvement de x en v autour de z, mais i(; mouvement de x^ en y, autour de z,. D'ailleurs, en échangeant erUre eux les deux systèmes d'axes, on obtiendra évidemment, à la place de la formule (19), la suivante :

(20) '. ;^.^ (x.y.z) XiLLyi^

et il est clair que des formules (19) , (20) on peut immédiatement déduire l'équation (18).

Si les deux systèmes d axes coordonnés présentent chacun trois axes perpendiculaires l'un à l'autre , on aura

[ X , y, z I = I , [x, , y, , z, j = 1 , et, par suite, les formules (19) , (20) donneront

ou, ce qui revient au même,

Donc, alors, chacune des résultantes A , K se réduira simplenn^it a I unité, si les mouvements de rotation de x en y autour de z, et de x^ en y^ aiUouide z, , sont de même espèce, et à — 1 , dans le cas contraire. Alors aussi les diverses formules établies dans ce paragraphe se confondront avec les formules connues qui se rapportent à la transformation des coordonnées vvvtangulaires, et qui ont été rappelées dans un précédent Mémoire [voir le 1'' volume, page 273 ].

Nous renverrons à un autre Mémoire la recherche des lois suivant lesquelles les neuf coefficients renfermés dans les équations (i) et (3) dépendent de la forme des deux angles solides qui ont pour arêtes, d'une

part X, y, z, d'autre part x,, y,, z, , et de trois constantes propres à déterminer la position de 1 un de ces angles solides par rapport à l'autre.

Observons, en finissant, que les formules (i6), (17), (18) peuvent être étendues au cas général où, à la place des équations (i) et (3), on considérerait deux équations de la même forme , mais relatives à deux systèmes de variables, dont le nombre serait le même dans les deux systèmes, et d ailleurs aussi grand que l'on voudrait. Effectivement, les formules (22) de la page 176 du 2^ volume , qui se rapportent à deux systèmes d'équations semblables aux équations (i) et (3), se trouvent remplacées par d'autres formules dii même penre , quand on échange entre eux les coefficients qui occupent les mêmes places dans les deux systèmes d'équations; et, par conséquent, on peut , dans le cas général , obtenir deux systèmes de formules analogues aux fornmles(i6) et (17). Ajoutons que la formule (18) se trouve comprise. < omme cas particulier, dans la formule (24) de la page citée.