I X e* doc; en posant a; = m, c* dx = dy, il vient

2/ = jxô* da; = xe* — le* dx= xe* — e*= «* fx — 11.

Remarque. - Cet exercice nous conduit à une remarque très importante que nous recommandons aux élèves. Le choix des quantités que l'on égale à u et à du n'est pas complètement arbitraire. Ainsi, si dans le n® 3 nous posions :

xdx = dvy e* = u , il viendrait :

Je* a;' 1 r xe' dx -^ —^ J c'.jr' dx ,

et Ton voit que la seconde intégrale est plus compliquée que la première.

Je xdx arc s\xixdx = x arc sin ac — I — =zr J[/\ — x^

= x arc sin x -}- |/l — a?* , en posant arc sin a? = u . 5. 1/ = jx'sin Jîrfic. En posantaj' = M,sina:cfir = du, on a :

2/ = — 5c' cos x -(- 2 j a? cos x dx . Or, on a, en posant de nouveau x = u^ cos rc dx = d v ,

j ;r cos X dx ^= xsinx -- j sin a: cf^ = a: sin a? -f- cos x . ParsuiJe, 1/ = j rr* sin a? da? = — a?' cos x -f 2 a? sin a? -[- 2 cos a? .

Remarque. — Il faut faire attention, quand on applique plusieurs fois de suite l'intégration par parties, de ne pas revenir sur ses pas. Ainsi, par exemple, pour intégrer rexpression

a; cos aj d j:, il faut prendre garde de poser cos a? = m , X dx = dv , ce qui nous donnerait :

ix cosx dx = -^ cos a? -f- ^T I a?* sin x dx , et, en remplaçant, nous serions conduits à une identité. 6. 2/ = j ^'sina:;daî = — e'cosa?-}- j e^cosxdx , en posant e*=u;

\e"cosxdx = e-" sin aï — I eitsina: dx, en posant aussi e^^=u;

donc,

y = jô* sin x dx = — e'' cos x + 6* sin x — J ^a-sina^dx .

D'où:

j e* sin X dx ^ - e* ^sin x — cos x\.

Ici le choix de u et de dv est arbitraire. Ainsi, en posant M = sin rr, do = c* dx^ on a :

1/ = j e* sin rc cfic = sin aï. e* — j e* cos a: cfa? , I e* cos xdx = cos a?, e* + j e* sin a; da; ;

y ^ je* sin ±dx=^ sin a:, e* — cos x. e* — j e* sin aj d a; ,

d'où y = - c* (sin x — cos a;) , comme ci-dessus.

C xdx . f ,

en posant w = a;; 2/ = — 2a; j/l — a. -j- 2 1 — .

, C dx f xdx

Donc,

2l/l —a* / , A ou bien y = 5— ^ (^ -f 2j .

On peut encore intégrer cette expression par substitution, en posant 1 — a: = z^ .

8. y = j H -j- 3 a?*) arc tg a; d a; ;^en posant arc tg a; = u ,

A -f- 3 a?*) dx = d V , on a :

/ . C(oc+x^)dx I , \ C

y = (aj4-a;Marctgrc — I a i \ =la;-|-x'jarctgx— J xdx

=^ (x -\- x^faivc tg ce — •-.

9 y z= j e~«* cos X dx = e~** sin a; + a j e- <** sin x dx ,

d'où :

y = j e-^'cosxdx*=^ e-«*sini;-— ae-**cosa:— a* I e^^'cosxdx;

g-ax (gin :r: — a cos x)

enfin, y = m ^ \ ' •

Ici encore le choix de u et de dv est arbitraire; en posant e-«*da; = dv, cosj: = w, on a:

y = I 6-^**008 X dx = tf~"*cosx I «-«^sinxcfx

^ a aJ

y = e-**cosi; ■+ — e-"*sin a; r | «-"^cosxt/x :

,1 If

X ■+ -1 e-«*Sin X r e-"

enfin,

^-"^(sinx — a cos a;) . ,

y = i — i — z • , comme ci- dessus.

. y = J 6«» COS hxdx =^-- e"'= sin i^x — - I e«* sin 6a; dx

I e"* sin bx dx = ^ - e««^cos 6x -f- - I e"** cosbxdx .

Par conséquent,

2/ == - e'»* sm yx H — r e"* cos yo? — rzV y b 6*

e^^(acosbx-{- b sin b œ)

= fe- sin 6.r dx = ^"^ (« «in 6a: ~ 6 cos 6^)

J arc tg a: d ic = x arc tg a: — \JLÉ^ .

arc tg a? - - Z (l J^ x^) ^ x arc tgic - Z l/r+^« .