J(^a:)' do; = (z a:)* a

-=ir (Za?) — 2a;Zic + 2x = a;r(/a:)* ~ 2Za; + 2l

/a? arc sin x r

^ j^ t dx = ^ ]/i — x\ arc sin x -\-j dx

— l/l -- x^. arc sin a; -j- ^ •

r ^ , ic a* 1 r ,

J l a l aJ

xa

l a (l ay (l a)'

Ixla — 1> .

; arc tg X c? a? = — arc tg x

__ 1 Ç x^ dx

— arc tg X

— i)dx

4 rc-

= -ôT arc tg.c - - a? -4- - arc tg a;

= 2(^' + l)arctga;— -a;.

arc

. , r(l 4- a:* — 1) arc tga; , tga; dx = ' — ! — \ Ë ix

arctgaîda; — larctga;

Or, I arc tg X. ■ , = I arc tg x d, arc tga; = ^ (arc tg x).

donc,

y = j arc tg X — i [/i -^ x^ —- (arc tg a?)

= /a; — - arc tg xj arc tg a? — Z |/l -j- x* .

. y = 1 tg^ ic d ic . En posant tg a? = z , il vient :

r z^dz f c2 -U 1 — 1 ^ f ^ f d z

= z — arc tg z = tg a? — a? .

ilufremeni. Il est facile de voir que Ton a :

f , , fsin' X , Ci — cos* X ,

V = \\g^ xdx= \ — r— dx == 1 dx

^ J ^ Jcos^x J cos*aj

= I — \dx = tgx — X .

J cos' X J

Remarque. — L'intégrale du n*» 17 peut être obtenue en posant arc tg a? ■= z , d'où a? = tg z ; par suite ,

Jf (1 — cos* c) z d s f z d z r , tg-z. zdz =r r^ = — I \zdz ; ^ J cos*z Jcos*z J

or,

I ^\ = z tg z — 1 tg z d z = z tg z + ^ cos z .

J COS' z J

Par conséquent,

1/ = z tg z + ^ cos z — — = a5 arc tg a; — - (arc tg a? 1

ou bien, comme ci-dessus,

y = a; arc tg a: — - ^arctg a;) — l |/'l + a?^ .

or,

Ç x*dx C xdx

•' ya^ — X* •' (/a* — X*

= — Xl/a* — X* -f \dx\/a* — x* ;

Ux y/^rzTW^ a*/-:^= - \-^^=.

Donc,

î/ =* — ^ K a* — as* + a' arc sin y:

d'où :

— — i- + — arc sin - .

fa;*

Applications.

ces xdx == x^sinx + 2iccosx — 2 sin'i .

as' ô* dx = e*

^i»' — 3aî«+6x — 6).

Je-*

5a;« + 6ic« + 8a? + 16L

^dx^-