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Parmi les taéibo^to esiployées par ies géomèires poar discuter lea surfaces représentées par des équations du secoéddepé»rufie des plue simples ^% celle qui ccfnsiste à couper ces surfaces par des droites parallèles. En suivant cette méthode, on peut facilement déterminer la nature des suriaces doot il s'agit, leurs centres, s^il en. existe « leurs axes principaux, Ole... ; et l'on reconnaît en particulier que , pour fixer la direction de ces axes , il suffit de résoudre une équation du troisième degré* Cette équation, qui se représente dans diverses questions de géométrie ou de mécanique , et en particulier dans la théorie des moments d'inertie, a cela de.i^marqaable que sea trois racines sont toujours réelles. Mais jusqu'à présent on n'avait prouvé cette réalité qu'à l'aide de moyens indirects ^ par exemple, -en ayiaiit recourt à la tramformation des coordonnées , ou en faisant voir qae l'on parWéftdrail A des ceBelaaioiis absurdes » si l'on supposait drâ:i:raOiiieji ii69^it^ oâircs. Je me propose, dans cet article, i."" de montrer combien il eat.f^cîlA jde fixéf,' par la méthode ei-desaus meniiofanée , la posRinn du oeotre, des plaas pDa6jpa(ik:et«d'es axes principaux d'une surface du second degré, lorsque, pour simpIifieiflelfÇafeulr.eii^ . rendre^ pkrs syiàétriques , on écrit les équations de chaque droite sous Û'fVrmëindIcpBSé' dans Iqs Leçons sur les AppUcations du, calcul infinitésimal à la géométrie; a.® d'établir directement la réalité dés trois racines dé Téqûation qui sert à la détermination des axes principaux.

Soient x,j,z les coordonnées d'un point , rapportées à trois axes rectangulaires. L*équation générale du second degré en XpjTpZ sera de la forme

(i) Àx* + Bj* + Cz* 4- !ïD^z + ^'Ezx 4- aFxy + aGx + 2Hy + a/z = K ,

et les équations d'une droite menée par le point (5 , »i, S) , de manière qu'elle fasse , avec les deibi-éx^s dès coordonnées positives, les angles a, p, y, seront comprises <ïahs la fornoTuic

(2) ^-? .r-Tï ^-ç

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