III.* AlIlfiE
De plus, si l'on fait^ pour abréger,
(3) r = l/[(«-.ÇV+(y-«)' + (*-Çn, '
c'est-à-dire , si Ton désigne par r la dislance des deux pointa ((»»>()> (^i ^ j» ^) on tirera de la formnle (a)
^^ cosa cos^ COS7 '
le double signe devant être rédnit au signe -f- on an signe •— , suivant que lea angles «« p» 7 se rapporteront à la longueur r comptée à partir du point (C, n, C) , on à partir du point {x ,y, t). On aura donc , dans le premier cas ,
(5) w=zli'-{^rco9a, y = iï + rcosp, s=Ç+rcosyf et dans le second
(6) «=S — rcOsa, jrsn-^roosp, «rsÇ^rcosy.
Concevons à ptésent que la droite, étant prolongée à partir du point ($# n» C) , d» % ::y;TA%ftjèrer«i|brm^Uvec les demi-axes des coordonnées positives les anglea a, p, 7^ ' * * 'rôiicbptce. précisément la surface (1) av pomt {m, jr,z) » Les valeurs de 9» y, z, 'd^é^ j^ fÀ équations (5), vérifieront la formule (1). Donc , si Ton pose . •*.•' ;. *•::'•: :
V /t^'icér^ificdff'a+Bcos'p + Ccos'v + ajPcospcosy+aEcosvcosa + aFcosacosp,
(7) j f===(^Ç+F»ï+JSÇ+G)co8a + (FÇ+Bn+^C+i50c<>»P+(^+^«+^+')<»»^ ( u=^ç«4-B„« + Cç« + aZ>«Ç + aB« + aFÇiï4-aGÇ + affu + a/ç,
la distance r sera déterminée en fonction des angles « , P , 7 et des coordonnée» S , » , ( par Téquation du second degré
(8) sr^+Ur^u = K.
Or^ cette éqnation, devant fournir, par hypothèse, une valeur réelle et positive de r, on peut affirmer qu'elle admettra deux racines réelles, à moins que les angles a, P» 7 ne vérilient la condition s = o , ou
(9) ^cos»«4-Bcos«p4-Cco8'7 + 3Dcospcos7 + a£cos7C08« + ^cosacosp = o.
(5) Si cette condition n'est pas remplie, ane seconde Talenr réelle de r , positive ou négutive » satisfera encore à l'équation (8). En d'antres termes » une seconde valeur positive de r vérifiera l'équation (8) ou la suivante
(lo) *r* — air + a^if,
Par conséquent , la drfîtè qne nous avons déjà considérée » et qui se trouve rep^PRtéo par les équations (5) on par les équations (6) , suivant qu'on la suppose prolongée dans un certain sens ou en sens contraire « rencontrera de nouveau la surface (i). Si maintenant on fait coïncider le point (ç» », C) avec le milieu de la distance comprise entre les points d'intersection de la droite et de la sur£sice, r sera la moitié de cette distance; et» comme les formules (8)» (lo) devront subsister simultanément , on en conclura
(il) sr^ + u=zK,
et
(ta) l = o.
Il est bon d'observer que l'équation (la) peut s'écrire sous Tune ou l'autre des deuiT formes suivantes
(i3) (^Ç+F«+£Ç+C)cosa+(FÇ+B*ï'fJ5ç+£Ocosp-l-(BÇ+Dn-l-CÇ+/)co87 = o (14)
(itfcosa-fFcosp+£co87)Ç-f (Feo9a+Bco9p-f*Z)coS7)«} + (£co8a-f-Dco9p+(7cos7);
+Gcosa+fl^co8p+/cos7 = o.
Cette équation étant du premier degré par rapport aux coordonnées (»»,(, il en résulte que le point ((»>}» ç) décrira une surface plane» si la sécante de la surface (i) devient mobile , "mais de telle sorte que les angles a, p , y demeurent constants. Ainsi , des cordes parallèles de la surface (i) ont toujours leurs milieux situés dans un seul plan que l'on peut appeler diamétral, et qui se trouve représenté par l'équation (i5) ou (i4)> Soient >, fi, v les angles que forme la perpendiculaire à ce plan» prolongé dans un sens ou dans un autre, avec les demi-axes des coordonnées positives. Les cosinus de ces angles étant nécessairement proportionnels aux coefficients de S , «ï , ( dans l'équation (i4)> on aura
/ c> ^cosg-ff co8p-|-£cos7 Fco8a-|-Bco9p + Pco97 jEco8a-l-JDco8p+Coo87
COSX COSfA "^ C08V
<4) De plai, les trois fracUooi» i{U9 MBferme la formula (i5)» ifcant égales entre etlea, seront égales au rapport
(J cos a^^Fcosp^^£co97)co8a^■(Fco9a^|^Bco8p+Dco87)co8p^■(£cosa^■Dco8p^■Cc087)cos7
C08^C08a+C0SfAC0S^ + C08v CO87
et par conséquent à
cos^ * si Ton pose
(16] COAi=iOOB'kCOSa^CQêlLCOSP'\-CO%)tCOSy ,
c'est-à-dire » si Ton désigne par 9 Tun des denx angles que forme nne des cordes parallèles avec la perpendiculaire au plan diamétral qui passe par leurs milieux. On aura donc encore
^co9a+Fco9p+£co87 Fco9 tt-i-Bcos P-I-DC08 7 Ecos a-^Dcos p ■»- Ccos 7 s
^ '' COSX C0«|* 00 J y "cOsT*
et par suite l'équation du plan diamétral ou Téquation (j4) pourra ôtre réduite à
(i8) «(ÇcosX 4- lîcosft + Ccosv) 4- (Geosa + ff co8p -+• /CO87) co8 J = 0 .
Lorsque les cordes de la sur&ce (1) devienneot parallèles à IW des axes coordonnés , Tune des trois quantités cosa , cosp , cos 7 , se réduit à db 1 , les deux autres s'évanouissent, et l'équation (iS) da plan diamétral. prend ane des trois &>nBes
(19) ^Ç + Fiï + £ç+G = o,
(ao) Fi + Bn+JDK + H^o,
(ai) JEÇ + lJu+CÇ-t-/ =0.
Ces trois dernières éqnatioûs représentent donc les trois plans diamétraux qui passent par les milieux des cordes parallèles anx axes des x ^ y ci z. Lorsque ces trois plans se coupent en un même point , ou suivant une mémo droite , les coordonnées de ce point ou de cette droite vérifient évidemment la formule (iS)» quelles que soient d^ailleurs les valeurs attribuées aux angles » , ^ , y» Donc tous les plans diamétraux passent alors par ce point ou cette droite, qui est le centre ou le lieu des centres de la surface (1).
Pour qu'un plan diamétral coupe à angles droits les cordes parallèles dont il renferme les milieux, 00, ea d'autres termes, pour qu'un plan diamétral divise la surface (1)
eo deux parties symétriqaes , et derienne ce qu*on nomme on plan principal de cette surface , il est nécessaire^ ^.iLjJifiit (fm les coêiaot (Ïès-Aiigles X , p ^ v soient proproportionnels aux cosinus dôs angles a, p, y , cNost-^-dire » que Ton ait
eosX co§y-__ ces»
' ' cosa cosp C0S7
D'ailleurs, si Ton combine la formule (i5) jitec la première des équations (7)» et avec la suivante
(a5) cos*«-|-oos«f+»coê*Vàsi ,
oD.eaooMlam
, ,^ ^<3os«-f/'oosfi4'£cos7 igloos A-t-£co^û4Dces7 £cosa^2)cosp+Ccosy ^ ^ oosa v oosp C0S7
ou , ce qui reyient au même ,
1{J — «)cosce 4- Fcosp + £<^97 = o , F 008 a -f-(B *^#)ûDS^ «4* JD0OS7 s o , E008a-4-BC05p+(C — ')<^0S7=0 .
De plus, si Ton élimine cosa , cosp , CO87 entre les formules (a5) , on obtiendra une équation en $ du 3,* degré , savoir ,
(26) (^-,)(5-,)(C — #)-D»{i#-.#)-.JB-(B— 0 — -F'«(C-*) + aO£'' = o. Enfin , si Ton pose , dans les formules (a5) ,
(27) COiftsspOOS7 9 C0SpSs:7C0S7.
elles deviendront
(28) (^ — *)p4-F^ + E = o, FpJ^{B^4)g + Dt=:o, Ep + Dg + C-^s = 0;
et il est clair qu*à chaque racine réelle de l'équation (26) correspondront 1.^ des valeurs réelles finies ou infinies des variables p» qp déterminées par les formules (a8) , a.® des valeurs réelles de cosa , cosp , C0S7 » déterootinées par les équations (aS) et (37) , ou ce qui revient^ an même, par Tune des deux formules
cosa cosp CO87
.- . COStt C08p COSy 1
p ~^ i "*" i/r+pNw^
Par suite , si l'on nomme direetumê prineipaUê celles qa« prennent des droiles menées par Torigine » ou par mi point quelconque de Tespace , de manière h former avec les demi-axes des coordonnées positives des angles a » p , y^^ déterminés par le système des équations (a6) , (s8) , (29) , chaque racine réelle de Téquation (a6) fournira généralement une direction principale. Donc il sera démontré qu'une droite menée par l'origine , ou par un point quelconque de l'espace » peut toujours prendre , relalifement à la surface (1), trois directions principales» s'il est prouvé que l'équation (96) a ses trois racines réelles. Or la réalité de ces trois racines est évidente , dans le cas particulier où les quantités E , F s'évanouissent. Alors en effet , l'équation (s6) se partage en deux autres, savoir,
et
que l'on vérifie en prenant
et
Donc , si l'on fait
l'équation (96) , dans le cas particulier dont II est question , aura pour racines les trois quantités réelles A , s\ ê' . D'autre part , si Ton nomme
* Nom supposoni ici , conformément aux conTentioni généralement adoptéei , que chacun des an^ci «> /S, > est positif et inférieur à 200 degrés.
les valeurs réelles qu'acquiert la fonclion
(36) .J = (^— #)(B — s)(C- #)-/)»(-<— #) — E*(B-.0-'"(C-0 + aD£F,
quand oo altfibm iueoMSVf fflMil è la Tariable $ les quatre Talenrs
(57) ; #.=?— ie, #*=»'.. #=•', « = 00,
rangée», comawiNi le ▼oil.ioi, par ordre 4e grandeur, on aura
5'= — £*(2Ï— •') — F»(C— #') + ai)£F
•S' — ^E'{B^ê') --F'iC^ »')-{• i DBF
= a2)BF— ^(fi-O(^'-^0 + («' + iF»)V/j(-^)'+fi'j.
puu en bisant, pour abr^er,
