IV.* ANNiB
( 3o6 ) ou » ce qui revieni au même»
^ = 1--2-2 C081T — JsiDtT,
(45) ^ ir = iî±2!L-Al3!Lco.,T + ^«n«r, ' a a
2) = ^coiT + t«iDT,
(46) ) £ = — ^iînT + iDcosT,
F= ^"^ sinar + ^coiar, a
Ajoutons que des formules (45) et (46) ou tirera
(47) y< + J?=cH> + afi>, -4 — iî=(c)l, — ^)co8aT — a/sinar.
et par suke
oHo = H cosaT + ^"n«f »
(48) \ lfi> = cosar — Fsmar,
Sb = DcosT — fsin r ,
(49) J ^ = DsiuT 4- £cosr ,
^ = T- sinar 4-i^co8aT.
DésigDons à présent par jr et par » les accroisiements que reçoivent le rayon ▼ecteur ^ et Tangle t , tandis que le corps passe du premier état au second. On aura
IE = i.co8T — %{\ — y)cos(T — •) , « z= i^sint — . «'(i — y) «in (r — t) ;
puis on en conclura , en considérant les quantités i » j comme infiniment petites du premier ordre » et négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier.
(5l) 5 = — iï^slDr -4-7l>C08T , u = i^coiT+y^sioT,
ou » ce qoi revient au même ,
(5») ï = — /y+y>, ii = î«+y/.
D'aulre part , en considérant i> et r comme des fonctions de to , y , on trouvera eu égard aux formules (19) #
(55) i>-=:»*+jf\ tangt=-^,
et par suite
(54) ^dr^==mdai+y<fy, dr= "'j,'/^'!' , ou p ce qui revient au même »
(55) ai> = co8T£te +smT(fy, aT= '^
On aura donc
,„^^ dv dv , dx 1 . rfr l
(56) r-- = COST , -7- = smr , -— = — — SUIT , --- = -r COSr ; ^ ' dx dy dx V éy v
et , si Ton suppose « » j » C immédiatement exprimés en fonctions de t^ v et t, on trouvera encore
I di di 1 i/i . fl^i ifi . , 1 di
[ --=--- COST --^-smT, — -=s-— 8mT+ — -t-cost,
dx dy V dr dy dt v dr
dj dj ^ dj . dj dj . ,1 dj
-—- = -— COST -jLginT, -jL = ^8mT4- — -t^cost ,
dx dv V dr dy ds 9 dr
(58) --- = -;-cosT — — -j-8inT, — =:---8mT4- — -t-cost.
^ ' dx dv V dr dy dv ^ v dr
Cela posé, les formules (5a) donneront
dl . di . dj di . di , dj
é/u . , di . dj dn , , di . dj
(M) et l'oQ conclura de ces dernières, combinées avec les équations (19) et (57) ,
dx
dl dn fdj , di\ fdi dj\ .
d\ dyt . , dj di
dy dx dr do
On trouvera d'ailleurs
idl di , dj I di . , dj \
=jr + x-=.[-^..,nT + -C0ST].
M^ </<■ , dj [di . dj . \
Edûd , si Ton substitue dans les équations (56) «t (Sj) les Talevrs de
dx' dj" dx' dy ' dy'^ dx' dy dx * dt ' et '
tirées des formules (âS)»^ (60)» (61), (69) , on obtiendra de nouTeHea yateurs de j4 , B , C , D , E , jF , qui, substituées elles-mêmes dans les formules (4S} > (49)* fourniront le moyen d*exprimer les pressions olo > l)l> > C t <0 t £ > <^ en fonctions des quantités
et des coefficients différentiels
/fi/^ ^' d^ di^ dj d£ dj ^ ^C «^C
^^^^ i/^' dr' dz' dx.' dx' dz" dv' d^' "ST '
Si, après avoir obtenu « comme on fient de le dire, les valeurs de cil , H)> , Q , <0 , £ , ^ , exprimées en fonctions des quantités (65) et (64) > on cherclie œ qu'elles deviendraient dans le cas où Ton déplacerait , on le faisant tourner autour de Torigine , le demi-axe polaire , k partir Auquel se compte Tangle t ; il suffira d'observer qu'en
vortu d'uD semblable déplacement la variable t serait augmentée ou diminuée d*une quantité constante. Donc , pour ^éteroHncr les Valeurs qtie prendraient • A> , l)t> , 0 , JÔ , i^ f ^ après le déplacement dont il s'agit, il suffirait de remplacer , dans les formules (58), (60), (61)» (62), (48) et (49). Tangie t renfermé sous les signes sin. et ces. par Tangle t*^j, ^désignant une constante positive ou négative. Or il faudrait évidemment que les valeurs de JU , OJl) » G » <£) » £> > ^» ainsi trouvées, conservassent la même forme, quelque lût PangU i , pour que le corps, dans son premier état , pût être considéré comme offrant la même élasticité en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à Taxe des z . II reste à examiner quelles sont les relations que doiroBt avoir «ntre «Ux les -qùaniBle-deiix coeffieieats
^' a , a. , âfe , as , a4 p as ^ 86 , •
b , b, , b, , ba , b4 , bs , be ,
t % Ct » c. , C3 , €4 , C5 » C6 »
& , dg , d, , ds , d4 , ds , de •
^ , e, , ft, , Cj , 04 , es , Ce ,
* » f I »" f« # f j , f4 , f 5 » fe »
pour satisfaire à la condition que nous venons d'indiquer.
Aiin de résoudre plus facilement la question dont il s*agit, attribuons d'abord è ^ la valeur particulière tt , et supposons en conséquence que les valeurs do cilo > l/b , C > ^ , £ , <^ , déduites des formules (58) , (60) , (6i) , (6a) , (36) , (67) , (48) et (49) , conservent les mêmes formai, tandis qu'on 7 substitue l'angle t -f- ^ ^ l'aogle r. Il est clair qu'après cette substitution les valeurs des quantités
dy ' f/y'^iia' dy dx *
dx
fournies par les équations (45) , (46) , (60) , (61) , n'auront pas changé, tandis que les valeurs des quantités
dx djr dz dz
fournies par les équations (46) , (58) , (62) , auront simplement changé de signe. Donc les formules (36) , (37) continueront de subsister lorsqu'on y changera seulement les signes des quantités (67). Donc ces formules entraîneront l^s suivantes
(5io)
, = , + ... +e.- + e3;;^+ec^-+-j--(5^--).
Or les équations (70] » (71) devant subsister pour def^ valeurs quelconques de i , tu , K, et par conséquent pour des valeurs quelconques des quantités
di dri^ dK^ ^jt^ ^i^ ^i^!!l ^^ ^ — £1 ffi^ ds ' dy * ds * dt ^ (fy ' dx'^ dt ' dy '^ dx* dz dy ' d» d% ' dy dx"
on en conclura immédiatement
(73) î» = d, = d, = dj = d« = o, t = e, = e, = 63 = 66 =:o, f4 = f5 = o.
Gonceronsàprésenkqueron attribue à 9 la Taleor particulière — , et supposons
que les râleurs de A) , 'iSi) , Q , S) , C' p ^ doivent encore conserver les mêmes
formes quand on substltae l'angle t -^ -— à Tangle r. Cette nouvelle substitution ,
opérée dans les formules (45) , (46) , (58) , (6o), (6i), (6s), aura pour effet de changer les valeurs de
en celles de
^ rfC rf*ï rfÇ dy * dx *
dj ' dx ' [dy'^^dj:)' dz ' dt'
Donc les formules (68) , (6g) devront continuer de subsister quand on y remplacera les quantités (74) par les quantités (75) , et Ton aura nécessairement
C = f + c.-+c.^+c,^-cs^-^);
(77) j ^=-''*iïr-+^j+''H^+^)+-i-l^ •^j+Tl^ -57)'
Or, ces dernières valeurs ie A , B , C , D , E , F devant s'accorder avec celles
( 3ia )
que fournissent les formules (68) , (69) . quels que soient les déplacemenU 5 , *î , Ç . on en conclura
(78) a = b, a, = b. , o. = b, , a3 = b3, a6 = — hs . c, = e. , C6 = o,
(79) <'4 = e5, d5 = — e4, f=o, f.= — t. h=^P' Par suite les formules (68) , (6g) pourront être réduites à
et Ton en tirera
Concevons enfin que Ton attribue à ^ la valeur — » et supposons que les valeurs de A , ySi) , Q , £) , C p ^ doivent encore conserver les mêmes formes quand on substitue Tangle ^ + -7- & l*&ngle r . « Cette dernière substitution » opérée dans lies for-
mules (45) , (46) , (47) > (4^) » (60) , (61) » (6s) « aura pour effet de changer les valeurs de '
en celles de
x^ty ,
et les Taleon de
en celles de
-. </C rfÇ rfe rfn
^' rfï' ^' ^' ^*
Donc les formules (8o), (8i), (8s) continaerent de sabsister quand on y Mmplacera les quantités (85) et (85) par les quantités (84) et (86)» de sorte qu'on aura
Pour faire coïQcider les valeurs précédentes de — ^^ et F avec celles que fournissent les équations (81)^ (8»), il est nécesiabe d'ossujétir^lei coeCoitflfs *■"" , a«, f> , ft aux deox conditions
(89) -ÎI^ = f5, a<5 = -f..
Quant aux formules (88), elles s'accordent arec les deux premières des formules (81) » qmli que soient d'atUeiTrs les coefficients d4 , ds • a et C.
En rertu des formules (89), les équations (80) « (81) se réduisent à
Cela posé , les formules (48) » (49) donneroot
2 (\i^ dy I \dt dml
a (\rfi» ' «fy/ \rf« dm)
SIDt
SlUr
COSt
OOBT
Oi^ tirero d'ailleurs des équations (58) , (60) , (61) et (6fi)
' dx * djr dv dy dx v dr
(dl d7,\ ld% . dv\ . dl dj
[dl dr,\ (dl dn\ . dj , dl
, . rfÇ , «/« . </• «/« dl . dl
(97) ^«~^ + ^"»' = «^lfc» ^«>"— 5-"»' = '^'
Donc les équations (99) , (93) pourront être remplacées par les suivantes
Comme ces dernières valeurs de <k,, ^^, G , SÙ^ C^, S ne changent pas de forme.
quand on remplace Tangle t pfr t «f ^ » # déiigQaofc «HO qaaoUlé amêtêDl^ p il eo résulte que les conditions (79), (jS), (78), (79) et (89) sont les seules auxquelles il faille assujëtir les qaaranle-4<:ux coefficients a « b • f » )^ f • f ; a, • b, , c. , d. , Ot • fi • a» » b, , etc.. » pour que le corps, dans son premier étal, puisse être considéré comme offrant la même élasticité en tous sens autour d'un %%,e quelconque parallèle h Taxe des s* Lorsque ces conditions soni yérlflées, les Taleurs des pressions
se réduisent k celles que fournissent les équations (90) , (91) Si , pour plus de simplicité , on écrit dans cea équations
a, c, a\ a', c'. o\ d\ d^ T. {\ au lieu de
a t ^ » a, , as , c« , Cl , è^, df * ta tê$
on trouvera
Il est bon d'observer que les équations (90) , (91) ou (100) et (loi) reofermenl seulement dix coefficients dépendants de la nature du otrpa»
( 8i7 ) Si Ton combine la» CbrmtilM (4o) 4(4i) <vm 1«« conditions (7s) , (ji), » (78) » (7g) et (89) , an IrottTora
aj + a = c, + r = d4-
a. + aï=f6 — o.
puis » en écrÎTant a et c an liea de H , C » et posant
(io4) ai + a=:c. + c = d4— on tirera des équations (90) , (91)
d» aa-4-assi&----a = f, C3— *c=:k»
(io5)
^ = a + (Sf+a)5 + (r-a)$+(d-a)^,
dj
dz
i£ft
-fy
(,06) / B=(d + .)i|+(d + ci)J.
Ces dernières formules ne renferment que cinq coefficients dépendants de la nature du corps, savoir,
Ettea sont d^aittonv comprises, comme cas partteuiiers, danv hê éqnaftoos (t4) , (»5) des pages iS5 , 1S6 , et se déduiwnS de cet équations lonqa*eit sapposaaf
(107) 00 prend
a = CA, C5=U, d = QA, f=il4, k=^ffA.
( 3i8 ) Il suit, au reste, des principes exposés dans le troisième volume [pages 199 et soi] que les conditions (107) sont précisément celles auxquelles il faut assujétir lois quantités
Gt Ht L, M, P, Qf Ht
pour que l'élasticité du corps reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à Taxe dos c.
Si l'on veut que le corps, dans son premier état, puisse être considéré comme offrant la même élasticité en tous sens autour d'un point quelconque , et par conséquent autour d'un axe quelconque parallèle ou non parallèle à l'axe des t , il faudra que les valeurs de A,B^C,D,EtF, fournies par les équations (90) , (91), ou (100) et (101), ne changent pas de forme après un échange opéré entré let axes des 0,7,2. Or , si l'on remplace l'axe des jr par l'axe des z et réciproquement , on devra , dans les formules (100), (101), échanger entre elles les quantités B ei C , E ei F , jr et z , n et (• On aura donc par suite
Pour que ces dernières valeurs de A , B . C . D . E t F s'accordent avec celles que fournissent les équations (100) , (101) , il suffit d'assujétir les coefScients
a, c, a', a^ c', c% d', d', T, t' aux conditions
(110) a = c, a' = a^ = c', c' = c' + sf% d' = f^ d^ = r = o.
Cela posé, 8Î Ton désigne par / la valeur commune des deux quanlités a , c , par K la valeur commune des trois quantités a\ a^ c\ et par j^k la valeur commune des deux quantités d^ C, on trouvera , en ayant égard & la formule (lo) ,
(m) A = k^ + K^ + l. B = k^ + K^ + l, C=sk'^ + K. + l,
<•■') "Mi+'iy .*=H£+^- '-'*(5+£)-
Les/ormules (m) » (na) pourraient être établies directement par la méthode à l'aide de laquelle nous avons obtenu les formules (1*2) et (iS). En supposant / constant , c'est -è-dire, indépendant de x , j, z , on déduit de ces deux systèmes de formules les mêmes* équations d'éqnilibre-ou de mouvement intérieur des corps élastiques. Ajoutons que l'on peut tirer les formules (tu) • (na) des équations (67) de la page 178 du Iroisième volume des Exerciee$ , en posant dans ces équations jB = /Tu + /. ,
